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Matematica
5 dic 2025
14.750
17 pagine
Sofia Mazzasette @sofii.mazza
Le funzioni sono uno dei concetti più importanti della matematica! Pensale come delle "macchine" che prendono un numero... Mostra di più
Immagina di avere una relazione tra due insiemi una funzione è speciale perché ogni elemento del primo insieme (chiamato dominio) è collegato a uno e un solo elemento del secondo insieme (il codominio). È come avere una regola ferrea niente confusione, ogni input ha il suo output preciso!
La notazione matematica è semplice f A → B significa che la funzione f va dall'insieme A all'insieme B. Quando scrivi f(x) = y, stai dicendo che x (la variabile indipendente) viene trasformata in y (la variabile dipendente).
L'insieme delle immagini raccoglie tutti i valori y che ottieni applicando la funzione. È un sottoinsieme del codominio e ti dice effettivamente dove "arriva" la tua funzione.
💡 Trucco per riconoscere una funzione traccia delle rette verticali sul grafico. Se ogni retta tocca la curva al massimo una volta, hai una funzione!
Le funzioni si dividono in due grandi famiglie algebriche e trascendenti. Le algebriche usano solo operazioni "normali" , mentre le trascendenti includono seno, coseno, logaritmi.
Le funzioni algebriche si suddividono ulteriormente razionali (senza radici) e irrazionali (con radici). Le razionali possono essere intere o fratte .
Per trovare il dominio ricorda queste regole funzioni intere hanno dominio ℝ, funzioni fratte escludono i valori che annullano il denominatore, funzioni irrazionali richiedono che il radicando sia ≥ 0.
⚠️ Attenzione Prima di studiare qualsiasi funzione, trova sempre il dominio! È il primo passo fondamentale.
Una funzione iniettiva è come un codice segreto ogni output corrisponde al massimo a un input. Se due valori diversi di x danno lo stesso y, la funzione non è iniettiva. Il test della retta orizzontale ti aiuta se tocca il grafico più di una volta, non è iniettiva.
Una funzione suriettiva "copre" tutto il codominio ogni elemento del secondo insieme ha almeno un'immagine nel primo. In pratica, non ci sono valori y "sprecati" nel codominio.
La funzione biettiva è il meglio dei due mondi è sia iniettiva che suriettiva. Ogni elemento del codominio corrisponde esattamente a un elemento del dominio. Solo le funzioni biettive hanno un'inversa!
🎯 Strategia Per verificare l'iniettività, usa il test della retta orizzontale. Per la suriettività, controlla se tutto il codominio viene "raggiunto".
Le funzioni inverse esistono solo per le funzioni biettive e sono come "premere il tasto indietro". Se f(x) = y, allora f⁻¹(y) = x. È incredibile come dominio e codominio si scambino di ruolo!
Per trovare la funzione inversa risolvi y = f(x) per x, ottieni x = f⁻¹(y), poi scambia x e y. Esempio da y = 2x - 1 ottieni x = /2, quindi f⁻¹(x) = /2.
I grafici di f e f⁻¹ sono simmetrici rispetto alla retta y = x. È come guardare allo specchio! Ogni punto (a, b) sulla funzione originale diventa (b, a) sulla funzione inversa.
💡 Trucco utile Per verificare se hai calcolato bene l'inversa, controlla che f(f⁻¹(x)) = x. Se funziona, hai fatto tutto giusto!
La parabola y = x² non è biettiva su tutto ℝ perché non è iniettiva (fallisce il test della retta orizzontale). Ma puoi "aggiustarla" restringendo il dominio!
Se prendi solo x ≥ 0, la funzione diventa biettiva f ℝ⁺ → ℝ⁺. Ora ogni output ha esattamente un input nel dominio ristretto.
La funzione inversa diventa f⁻¹(x) = √x. Ecco perché la radice quadrata è definita solo per x ≥ 0 e restituisce solo valori positivi è l'inversa della parabola "di destra"!
🔧 Strategia pratica Quando una funzione non è biettiva, restringi il dominio alla parte che ti serve. È un trucco usatissimo in matematica!
Gli zeri di una funzione sono i punti dove il grafico tocca l'asse x risolvi f(x) = 0. Il numero di zeri dipende dal grado primo grado = 1 zero, secondo grado = 0, 1 o 2 zeri.
Per studiare il segno, risolvi f(x) > 0 e trova dove la funzione è positiva (sopra l'asse x) o negativa (sotto l'asse x). È fondamentale per capire il comportamento della funzione.
La tecnica della tabella dei segni è il metodo più efficace scomponi la funzione in fattori, studia il segno di ogni fattore, poi combina i risultati.
📊 Metodo vincente Disegna sempre la tabella dei segni! Ti fa vedere a colpo d'occhio dove la funzione è positiva o negativa.
Prendiamo f(x) = ²/. Prima cosa il dominio esclude x = 1 (denominatore zero). Lo zero si trova ponendo ² = 0, quindi x = 2.
Per il segno il numeratore ² è sempre positivo , mentre il denominatore x-1 è positivo per x > 1 e negativo per x < 1.
Risultato la funzione è positiva per x > 1 e negativa per x < 1. Il grafico non può attraversare la retta x = 1!
⚡ Punto chiave Quando hai una frazione, studia separatamente numeratore e denominatore, poi combina i risultati!
La funzione y = ∛ ha dominio ℝ perché la radice cubica è definita ovunque. Per gli zeri x³ - x = 0 diventa x = 0, quindi x = 0, x = ±1.
Il segno si studia con x ≥ 0. La tabella dei segni mostra che la funzione è positiva per x ≤ -1 e 0 ≤ x ≤ 1.
Questo esempio dimostra come scomporre in fattori semplifichi enormemente lo studio del segno. Ogni fattore ha il suo comportamento semplice, poi li combini!
🎪 Trucco della scomposizione Cerca sempre di scomporre l'espressione in fattori semplici. Rende tutto più gestibile!
Una funzione pari è simmetrica rispetto all'asse y f = f(x). È come se la parte sinistra del grafico fosse il riflesso perfetto di quella destra!
Riconosci una funzione pari quando tutti gli esponenti di x sono pari (inclusi i termini noti che sono x⁰). Esempi x², x⁴ + 2, |x|. Le parabole con termine in x nullo sono sempre pari.
L'esempio f(x) = /x² è pari perché f = /² = /x², identica all'originale.
👁️ Test visivo Se pieghi il foglio lungo l'asse y e le due parti del grafico coincidono, la funzione è pari!
Una funzione dispari ha simmetria centrale rispetto all'origine f = -f(x). Se ruoti il grafico di 180° attorno all'origine, ottieni lo stesso grafico!
Le funzioni dispari hanno tutti gli esponenti di x dispari. Una proprietà utile il prodotto di due funzioni dispari diventa una funzione pari.
Attenzione all'esempio f(x) = x/ sembra dispari ma non lo è! Verifica sempre con f ottieni -x/ = x/, che è f(x), non -f(x).
🔄 Test di rotazione Ruota mentalmente il grafico di 180° attorno all'origine. Se coincide con l'originale, la funzione è dispari!
Il nostro assistente AI è costruito specificamente per le esigenze degli studenti. Sulla base dei milioni di contenuti presenti sulla piattaforma, possiamo fornire agli studenti risposte davvero significative e pertinenti. Ma non si tratta solo di risposte, l'assistente è in grado di guidare gli studenti attraverso le loro sfide quotidiane di studio, con piani di studio personalizzati, quiz o contenuti nella chat e una personalizzazione al 100% basata sulle competenze e sugli sviluppi degli studenti.
È possibile scaricare l'applicazione dal Google Play Store e dall'Apple App Store.
Sì, hai accesso completamente gratuito a tutti i contenuti nell'app e puoi chattare o seguire i Creatori in qualsiasi momento. Sbloccherai nuove funzioni crescendo il tuo numero di follower. Inoltre, offriamo Knowunity Premium, che consente di studiare senza alcun limite!!
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Strumenti Intelligenti NUOVO
Trasforma questi appunti in: ✓ 50+ Domande di Pratica ✓ Flashcard Interattive ✓ Simulazione Completa d'Esame ✓ Schemi per Saggi
3 tipi diversi di equazioni con moduli: semplice, con 2 moduli, con un modulo dentro l'altro
Matematicafunzioni
Matematicaspiegazione valore assoluto, equazioni e disequazioni con modulo, proprietà del modulo
MatematicaFunzioni
MatematicaArgomenti: -Disequazioni di secondo grado; -Diseqazioni di grado superiore al secondo e disequzioni fratte; -Disequazioni con valori assoluti; -Disequazioni irrazionali. Le tabelle sono prese dal libro Matematica.blu 2.0 vol.3. Spero vi sia utile!💘
MatematicaSchema sintetico sulle disequazioni fratte. Buono studio!
MatematicaApp Store
Google Play
L'applicazione è molto facile da usare e ben progettata. Finora ho trovato tutto quello che cercavo e ho potuto imparare molto dalle presentazioni! Utilizzerò sicuramente l'app per i compiti in classe! È molto utile anche come fonte di ispirazione.
Stefano S
utente iOS
Questa applicazione è davvero grande! Ci sono tantissimi appunti e aiuti con lo studio [...]. La mia materia problematica, per esempio, è il francese e l'app ha così tante opzioni per aiutarmi. Grazie a questa app ho migliorato il mio francese. La consiglio a tutti.
Samantha Klich
utente Android
Wow, sono davvero stupita. Ho appena provato l'app perché l'ho vista pubblicizzata molte volte e sono rimasta assolutamente sbalordita. Questa app è L'AIUTO che cercate per la scuola e soprattutto offre tantissime cose, come allenamenti e schede, che a me personalmente sono state MOLTO utili.
Anna
utente iOS
È bellissima questa app, la adoro. È utilissima per lo studio e mi aiuta molto, anzi moltissimo, ma soprattutto mi aiutano molto i quiz, per memorizzare anche quello che non sapevo
Anastasia
utente Android
Fantastica per qualsiasi materia avere gli appunti anche di altre persone è molto utile perchè posso confrontarmi e vedere come migliorarmi. con i quiz riesco ad apprendere al meglio.
Francesca
utente Android
moooolto utile,gli appunti sono belli e funzionanti,schoolGPT da dei consigli formidabili!!
Marianna
utente Android
L'applicazione è semplicemente fantastica! Tutto ciò che devo fare è inserire l'argomento nella barra di ricerca e ottengo la risposta molto velocemente. Non devo guardare 10 video di YouTube per capire qualcosa, quindi risparmio tempo. Consigliatissima!
Sudenaz Ocak
utente Android
A scuola andavo malissimo in matematica, ma grazie a questa applicazione ora vado meglio. Vi sono molto grato per aver creato questa app.
Greenlight Bonnie
utente Android
Knowunity è un applicazione fantastica,considerando che ha degli schemi veramente molto carini e sfiziosi e che ci sono dei quiz,oltre al fatto che questa cosa dell intelligenza artificiale "school gpt" è almeno per me molto utile, perché a differenza di Chatgpt ti da le spiegazioni, ti spiega ciò che non è chiaro! Posso studiare più velocemente tramite gli schemi e che posso pubblicare io stessa gli schemi è una funzione utilissima per gli altri studenti. Knowunity è PERFETTA
Aurora
utente Android
L’app funziona benissimo e puoi trovare qualsiasi tipo di informazione. Non ho l’abbonamento ma la parte gratuita è sufficiente per uno studio approfondito.
Martina
utente iOS
in questi ultimi mesi di scuola dove il tempo è ormai poco, mi sta aiutando molto perché piuttosto che farmi io gli schemi su quello che leggo sul libro guardo questi già fatti e li uso come ripasso piuttosto che rileggermi tutto il libro
Chiara
utente IOS
Questa app è una delle migliori, nient’altro da dire.
Andrea
utente iOS
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Stefano S
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Questa applicazione è davvero grande! Ci sono tantissimi appunti e aiuti con lo studio [...]. La mia materia problematica, per esempio, è il francese e l'app ha così tante opzioni per aiutarmi. Grazie a questa app ho migliorato il mio francese. La consiglio a tutti.
Samantha Klich
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Anna
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Anastasia
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Francesca
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Marianna
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Sudenaz Ocak
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A scuola andavo malissimo in matematica, ma grazie a questa applicazione ora vado meglio. Vi sono molto grato per aver creato questa app.
Greenlight Bonnie
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Chiara
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Sofia Mazzasette
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Le funzioni sono uno dei concetti più importanti della matematica! Pensale come delle "macchine" che prendono un numero in entrata e ne producono uno in uscita seguendo regole precise. Una volta che capisci come funzionano, diventeranno il tuo strumento preferito... Mostra di più
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Immagina di avere una relazione tra due insiemi: una funzione è speciale perché ogni elemento del primo insieme (chiamato dominio) è collegato a uno e un solo elemento del secondo insieme (il codominio). È come avere una regola ferrea: niente confusione, ogni input ha il suo output preciso!
La notazione matematica è semplice: f: A → B significa che la funzione f va dall'insieme A all'insieme B. Quando scrivi f(x) = y, stai dicendo che x (la variabile indipendente) viene trasformata in y (la variabile dipendente).
L'insieme delle immagini raccoglie tutti i valori y che ottieni applicando la funzione. È un sottoinsieme del codominio e ti dice effettivamente dove "arriva" la tua funzione.
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Le funzioni algebriche si suddividono ulteriormente: razionali (senza radici) e irrazionali (con radici). Le razionali possono essere intere o fratte .
Per trovare il dominio ricorda queste regole: funzioni intere hanno dominio ℝ, funzioni fratte escludono i valori che annullano il denominatore, funzioni irrazionali richiedono che il radicando sia ≥ 0.
⚠️ Attenzione: Prima di studiare qualsiasi funzione, trova sempre il dominio! È il primo passo fondamentale.
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Una funzione suriettiva "copre" tutto il codominio: ogni elemento del secondo insieme ha almeno un'immagine nel primo. In pratica, non ci sono valori y "sprecati" nel codominio.
La funzione biettiva è il meglio dei due mondi: è sia iniettiva che suriettiva. Ogni elemento del codominio corrisponde esattamente a un elemento del dominio. Solo le funzioni biettive hanno un'inversa!
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Per trovare la funzione inversa: risolvi y = f(x) per x, ottieni x = f⁻¹(y), poi scambia x e y. Esempio: da y = 2x - 1 ottieni x = /2, quindi f⁻¹(x) = /2.
I grafici di f e f⁻¹ sono simmetrici rispetto alla retta y = x. È come guardare allo specchio! Ogni punto (a, b) sulla funzione originale diventa (b, a) sulla funzione inversa.
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Se prendi solo x ≥ 0, la funzione diventa biettiva: f: ℝ⁺ → ℝ⁺. Ora ogni output ha esattamente un input nel dominio ristretto.
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Gli zeri di una funzione sono i punti dove il grafico tocca l'asse x: risolvi f(x) = 0. Il numero di zeri dipende dal grado: primo grado = 1 zero, secondo grado = 0, 1 o 2 zeri.
Per studiare il segno, risolvi f(x) > 0 e trova dove la funzione è positiva (sopra l'asse x) o negativa (sotto l'asse x). È fondamentale per capire il comportamento della funzione.
La tecnica della tabella dei segni è il metodo più efficace: scomponi la funzione in fattori, studia il segno di ogni fattore, poi combina i risultati.
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Prendiamo f(x) = ²/. Prima cosa: il dominio esclude x = 1 (denominatore zero). Lo zero si trova ponendo ² = 0, quindi x = 2.
Per il segno: il numeratore ² è sempre positivo , mentre il denominatore x-1 è positivo per x > 1 e negativo per x < 1.
Risultato: la funzione è positiva per x > 1 e negativa per x < 1. Il grafico non può attraversare la retta x = 1!
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La funzione y = ∛ ha dominio ℝ perché la radice cubica è definita ovunque. Per gli zeri: x³ - x = 0 diventa x = 0, quindi x = 0, x = ±1.
Il segno si studia con x ≥ 0. La tabella dei segni mostra che la funzione è positiva per x ≤ -1 e 0 ≤ x ≤ 1.
Questo esempio dimostra come scomporre in fattori semplifichi enormemente lo studio del segno. Ogni fattore ha il suo comportamento semplice, poi li combini!
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Una funzione pari è simmetrica rispetto all'asse y: f = f(x). È come se la parte sinistra del grafico fosse il riflesso perfetto di quella destra!
Riconosci una funzione pari quando tutti gli esponenti di x sono pari (inclusi i termini noti che sono x⁰). Esempi: x², x⁴ + 2, |x|. Le parabole con termine in x nullo sono sempre pari.
L'esempio f(x) = /x² è pari perché f = /² = /x², identica all'originale.
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Attenzione all'esempio: f(x) = x/ sembra dispari ma non lo è! Verifica sempre con f: ottieni -x/ = x/, che è f(x), non -f(x).
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È possibile scaricare l'applicazione dal Google Play Store e dall'Apple App Store.
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MatematicaArgomenti: -Disequazioni di secondo grado; -Diseqazioni di grado superiore al secondo e disequzioni fratte; -Disequazioni con valori assoluti; -Disequazioni irrazionali. Le tabelle sono prese dal libro Matematica.blu 2.0 vol.3. Spero vi sia utile!💘
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L'applicazione è molto facile da usare e ben progettata. Finora ho trovato tutto quello che cercavo e ho potuto imparare molto dalle presentazioni! Utilizzerò sicuramente l'app per i compiti in classe! È molto utile anche come fonte di ispirazione.
Stefano S
utente iOS
Questa applicazione è davvero grande! Ci sono tantissimi appunti e aiuti con lo studio [...]. La mia materia problematica, per esempio, è il francese e l'app ha così tante opzioni per aiutarmi. Grazie a questa app ho migliorato il mio francese. La consiglio a tutti.
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Wow, sono davvero stupita. Ho appena provato l'app perché l'ho vista pubblicizzata molte volte e sono rimasta assolutamente sbalordita. Questa app è L'AIUTO che cercate per la scuola e soprattutto offre tantissime cose, come allenamenti e schede, che a me personalmente sono state MOLTO utili.
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È bellissima questa app, la adoro. È utilissima per lo studio e mi aiuta molto, anzi moltissimo, ma soprattutto mi aiutano molto i quiz, per memorizzare anche quello che non sapevo
Anastasia
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Fantastica per qualsiasi materia avere gli appunti anche di altre persone è molto utile perchè posso confrontarmi e vedere come migliorarmi. con i quiz riesco ad apprendere al meglio.
Francesca
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moooolto utile,gli appunti sono belli e funzionanti,schoolGPT da dei consigli formidabili!!
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L'applicazione è semplicemente fantastica! Tutto ciò che devo fare è inserire l'argomento nella barra di ricerca e ottengo la risposta molto velocemente. Non devo guardare 10 video di YouTube per capire qualcosa, quindi risparmio tempo. Consigliatissima!
Sudenaz Ocak
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Greenlight Bonnie
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Knowunity è un applicazione fantastica,considerando che ha degli schemi veramente molto carini e sfiziosi e che ci sono dei quiz,oltre al fatto che questa cosa dell intelligenza artificiale "school gpt" è almeno per me molto utile, perché a differenza di Chatgpt ti da le spiegazioni, ti spiega ciò che non è chiaro! Posso studiare più velocemente tramite gli schemi e che posso pubblicare io stessa gli schemi è una funzione utilissima per gli altri studenti. Knowunity è PERFETTA
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Francesca
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Sudenaz Ocak
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Martina
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in questi ultimi mesi di scuola dove il tempo è ormai poco, mi sta aiutando molto perché piuttosto che farmi io gli schemi su quello che leggo sul libro guardo questi già fatti e li uso come ripasso piuttosto che rileggermi tutto il libro
Chiara
utente IOS
Questa app è una delle migliori, nient’altro da dire.
Andrea
utente iOS
Fisica
Altro
Ed. civ.