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Le funzioni matematiche spiegate in modo semplice PDF - Appunti e Schemi

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Giammarco Laise

15/11/2022

Matematica

Le Funzioni

Le funzioni matematiche spiegate in modo semplice PDF - Appunti e Schemi

A comprehensive guide to mathematical functions and their properties, covering essential concepts from basic definitions to complex analysis. This resource provides detailed explanations of Funzioni matematiche esempi and Classificazione delle funzioni matematiche.

• Introduces fundamental concepts of functions, including domain, codomain, and variable relationships
• Covers various function types including Funzioni algebriche e trascendenti
• Details function properties such as injectivity, surjectivity, and periodicity
• Explains function analysis techniques and graphical representations
• Includes practical examples of Grafici funzioni elementari and their applications

...

15/11/2022

25190

Funzioni
Es x = anno
y = n° di abitanti
ANNIE
Una funzione associa ad ogni
uno e un solo
elemento x
elemento y
f=
=A÷B
·↓.
dominio codominio

Vedi

Classificazione delle funzioni

Le funzioni possono essere classificate in diverse categorie in base alle loro caratteristiche. Le principali categorie includono:

  1. Funzioni algebriche: definite solo da operazioni algebriche +,,×,÷,,x2+, -, ×, ÷, √, x²
  2. Funzioni trascendenti: includono funzioni esponenziali, logaritmiche e trigonometriche

Vocabulary: Le funzioni trascendenti sono quelle che non possono essere espresse mediante un numero finito di operazioni algebriche.

All'interno delle funzioni algebriche, possiamo distinguere:

  • Funzioni razionali: non contengono radici
  • Funzioni irrazionali: contengono radici
  • Funzioni intere: non contengono frazioni
  • Funzioni fratte: contengono frazioni

Esempio: y = √x è un esempio di funzione irrazionale.

Un tipo particolare di funzione è la funzione a tratti, definita da espressioni diverse in base al valore della variabile indipendente.

Highlight: La classificazione delle funzioni è fondamentale per comprendere le loro proprietà e il loro comportamento.

Funzioni
Es x = anno
y = n° di abitanti
ANNIE
Una funzione associa ad ogni
uno e un solo
elemento x
elemento y
f=
=A÷B
·↓.
dominio codominio

Vedi

Proprietà delle funzioni

Le funzioni possono avere diverse proprietà che ne caratterizzano il comportamento. Alcune delle proprietà più importanti sono:

  1. Campo di esistenza dominiodominio: l'insieme dei valori di x per cui la funzione è definita.

Definizione: Il campo di esistenza di una funzione è l'insieme di tutti i valori della variabile indipendente per cui la funzione è definita e ha senso.

  1. Zeri di una funzione: i valori di x per cui fxx = 0.
  2. Segno di una funzione: determina quando la funzione è positiva o negativa.

Highlight: L'analisi del segno di una funzione è cruciale per comprendere il suo andamento grafico.

  1. Iniettività, suriettività e biunivocità: Una funzione è iniettiva se ogni elemento del codominio è immagine di al massimo un elemento del dominio. Una funzione è suriettiva se ogni elemento del codominio è immagine di almeno un elemento del dominio. Una funzione è biunivoca se è sia iniettiva che suriettiva.

Esempio: La funzione y = 2x - 1 è biunivoca e ha come inversa x = y+1y + 1 / 2.

Funzioni
Es x = anno
y = n° di abitanti
ANNIE
Una funzione associa ad ogni
uno e un solo
elemento x
elemento y
f=
=A÷B
·↓.
dominio codominio

Vedi

Monotonia e periodicità

Le funzioni possono essere caratterizzate dal loro andamento in termini di crescita o decrescita:

  1. Funzione crescente: fx1x₁ < fx2x₂ per ogni x₁ < x₂ nell'intervallo considerato.
  2. Funzione decrescente: fx1x₁ > fx2x₂ per ogni x₁ < x₂ nell'intervallo considerato.
  3. Funzione monotona: sempre crescente o sempre decrescente in un dato intervallo.

Definizione: Una funzione si dice monotona in un intervallo se è sempre crescente o sempre decrescente in quell'intervallo.

Le funzioni periodiche sono quelle che assumono valori che si ripetono a intervalli regolari:

Vocabulary: Una funzione periodica è una funzione i cui valori si ripetono esattamente a intervalli regolari.

Esistono funzioni periodiche in senso stretto e in senso lato, a seconda della precisione con cui si ripetono i valori.

Highlight: La periodicità è una proprietà importante in molte applicazioni pratiche, come lo studio dei fenomeni ciclici.

Funzioni
Es x = anno
y = n° di abitanti
ANNIE
Una funzione associa ad ogni
uno e un solo
elemento x
elemento y
f=
=A÷B
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dominio codominio

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Parità e disparità delle funzioni

Le funzioni possono essere classificate come pari o dispari in base al loro comportamento rispetto all'origine:

  1. Funzione pari: fxx = fx-x per ogni x nel dominio. Il grafico di una funzione pari è simmetrico rispetto all'asse y.
  2. Funzione dispari: fxx = -fx-x per ogni x nel dominio. Il grafico di una funzione dispari è simmetrico rispetto all'origine degli assi.

Esempio: La funzione y = x² è pari, mentre y = x³ è dispari.

Highlight: La parità o disparità di una funzione può essere determinata osservando le potenze di x presenti nell'espressione della funzione.

Funzioni
Es x = anno
y = n° di abitanti
ANNIE
Una funzione associa ad ogni
uno e un solo
elemento x
elemento y
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Funzioni composte e inverse

Le funzioni composte si ottengono combinando due o più funzioni:

Definizione: La funzione composta gfg ∘ fxx si ottiene applicando prima la funzione f e poi la funzione g al risultato.

Esempio: Se fxx = 2x + 3 e gxx = 1/x, allora gfg ∘ fxx = 1/2x+32x + 3.

La funzione inversa di una funzione biunivoca f è una funzione che "annulla" l'effetto di f:

Vocabulary: La funzione inversa f⁻¹ associa a ogni elemento del codominio di f la sua controimmagine nel dominio di f.

Highlight: Non tutte le funzioni hanno un'inversa. Solo le funzioni biunivoche ammettono una funzione inversa.

Funzioni
Es x = anno
y = n° di abitanti
ANNIE
Una funzione associa ad ogni
uno e un solo
elemento x
elemento y
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=A÷B
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Analisi di una funzione

L'analisi di una funzione comprende lo studio di diverse caratteristiche:

  1. Dominio: l'insieme dei valori di x per cui la funzione è definita.
  2. Codominio: l'insieme dei valori che la funzione può assumere.
  3. Zeri: i valori di x per cui fxx = 0.
  4. Segno: gli intervalli in cui la funzione è positiva o negativa.
  5. Monotonia: gli intervalli in cui la funzione è crescente o decrescente.

Esempio: Per la funzione fxx = x² - 2, abbiamo:

  • Dominio: tutti i numeri reali
  • Codominio: y ≥ -2
  • Zero: x = ±√2
  • Segno: negativa per -√2 < x < √2, positiva altrove
  • Monotonia: decrescente per x < 0, crescente per x > 0

Highlight: L'analisi completa di una funzione fornisce una comprensione approfondita del suo comportamento e delle sue caratteristiche.

Questi concetti e tecniche di analisi sono fondamentali per lo studio delle funzioni matematiche e trovano applicazione in numerosi campi, dalla fisica all'economia, dall'ingegneria alla statistica.

Funzioni
Es x = anno
y = n° di abitanti
ANNIE
Una funzione associa ad ogni
uno e un solo
elemento x
elemento y
f=
=A÷B
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dominio codominio

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Page 8: Function Symmetry

This page elaborates on function symmetry properties.

Definition:

  • Even function: fxx = fx-x
  • Odd function: fxx = -fx-x

Highlight: Even functions are symmetric about the y-axis, while odd functions are symmetric about the origin

Funzioni
Es x = anno
y = n° di abitanti
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Una funzione associa ad ogni
uno e un solo
elemento x
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Page 9: Composite Functions

This page explains the concept of function composition.

Definition: A composite function is formed by applying one function to the result of another function.

Example: If fxx = 2x + 3 and gxx = 1/x, then gfg∘fxx = 1/2x+32x + 3

Funzioni
Es x = anno
y = n° di abitanti
ANNIE
Una funzione associa ad ogni
uno e un solo
elemento x
elemento y
f=
=A÷B
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Page 10: Function Analysis

This page presents methods for analyzing functions comprehensively.

Highlight: Key analysis points include:

  • Determining domain
  • Finding zeros
  • Identifying intervals of increase/decrease
  • Analyzing function behavior

Example: Analysis includes finding critical points, determining monotonicity intervals, and identifying extreme values

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Adoro questa applicazione [...] consiglio Knowunity a tutti!!! Sono passato da un 5 a una 8 con questa app

Stefano S, utente iOS

L'applicazione è molto semplice e ben progettata. Finora ho sempre trovato quello che stavo cercando

Susanna, utente iOS

Adoro questa app ❤️, la uso praticamente sempre quando studio.

 

Matematica

25.190

15 nov 2022

10 pagine

Le funzioni matematiche spiegate in modo semplice PDF - Appunti e Schemi

G

Giammarco Laise

@giamz_

A comprehensive guide to mathematical functions and their properties, covering essential concepts from basic definitions to complex analysis. This resource provides detailed explanations of Funzioni matematiche esempi and Classificazione delle funzioni matematiche.

• Introduces fundamental concepts of functions, including... Mostra di più

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Es x = anno
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Classificazione delle funzioni

Le funzioni possono essere classificate in diverse categorie in base alle loro caratteristiche. Le principali categorie includono:

  1. Funzioni algebriche: definite solo da operazioni algebriche +,,×,÷,,x2+, -, ×, ÷, √, x²
  2. Funzioni trascendenti: includono funzioni esponenziali, logaritmiche e trigonometriche

Vocabulary: Le funzioni trascendenti sono quelle che non possono essere espresse mediante un numero finito di operazioni algebriche.

All'interno delle funzioni algebriche, possiamo distinguere:

  • Funzioni razionali: non contengono radici
  • Funzioni irrazionali: contengono radici
  • Funzioni intere: non contengono frazioni
  • Funzioni fratte: contengono frazioni

Esempio: y = √x è un esempio di funzione irrazionale.

Un tipo particolare di funzione è la funzione a tratti, definita da espressioni diverse in base al valore della variabile indipendente.

Highlight: La classificazione delle funzioni è fondamentale per comprendere le loro proprietà e il loro comportamento.

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Proprietà delle funzioni

Le funzioni possono avere diverse proprietà che ne caratterizzano il comportamento. Alcune delle proprietà più importanti sono:

  1. Campo di esistenza dominiodominio: l'insieme dei valori di x per cui la funzione è definita.

Definizione: Il campo di esistenza di una funzione è l'insieme di tutti i valori della variabile indipendente per cui la funzione è definita e ha senso.

  1. Zeri di una funzione: i valori di x per cui fxx = 0.
  2. Segno di una funzione: determina quando la funzione è positiva o negativa.

Highlight: L'analisi del segno di una funzione è cruciale per comprendere il suo andamento grafico.

  1. Iniettività, suriettività e biunivocità: Una funzione è iniettiva se ogni elemento del codominio è immagine di al massimo un elemento del dominio. Una funzione è suriettiva se ogni elemento del codominio è immagine di almeno un elemento del dominio. Una funzione è biunivoca se è sia iniettiva che suriettiva.

Esempio: La funzione y = 2x - 1 è biunivoca e ha come inversa x = y+1y + 1 / 2.

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Monotonia e periodicità

Le funzioni possono essere caratterizzate dal loro andamento in termini di crescita o decrescita:

  1. Funzione crescente: fx1x₁ < fx2x₂ per ogni x₁ < x₂ nell'intervallo considerato.
  2. Funzione decrescente: fx1x₁ > fx2x₂ per ogni x₁ < x₂ nell'intervallo considerato.
  3. Funzione monotona: sempre crescente o sempre decrescente in un dato intervallo.

Definizione: Una funzione si dice monotona in un intervallo se è sempre crescente o sempre decrescente in quell'intervallo.

Le funzioni periodiche sono quelle che assumono valori che si ripetono a intervalli regolari:

Vocabulary: Una funzione periodica è una funzione i cui valori si ripetono esattamente a intervalli regolari.

Esistono funzioni periodiche in senso stretto e in senso lato, a seconda della precisione con cui si ripetono i valori.

Highlight: La periodicità è una proprietà importante in molte applicazioni pratiche, come lo studio dei fenomeni ciclici.

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Parità e disparità delle funzioni

Le funzioni possono essere classificate come pari o dispari in base al loro comportamento rispetto all'origine:

  1. Funzione pari: fxx = fx-x per ogni x nel dominio. Il grafico di una funzione pari è simmetrico rispetto all'asse y.
  2. Funzione dispari: fxx = -fx-x per ogni x nel dominio. Il grafico di una funzione dispari è simmetrico rispetto all'origine degli assi.

Esempio: La funzione y = x² è pari, mentre y = x³ è dispari.

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Funzioni composte e inverse

Le funzioni composte si ottengono combinando due o più funzioni:

Definizione: La funzione composta gfg ∘ fxx si ottiene applicando prima la funzione f e poi la funzione g al risultato.

Esempio: Se fxx = 2x + 3 e gxx = 1/x, allora gfg ∘ fxx = 1/2x+32x + 3.

La funzione inversa di una funzione biunivoca f è una funzione che "annulla" l'effetto di f:

Vocabulary: La funzione inversa f⁻¹ associa a ogni elemento del codominio di f la sua controimmagine nel dominio di f.

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Analisi di una funzione

L'analisi di una funzione comprende lo studio di diverse caratteristiche:

  1. Dominio: l'insieme dei valori di x per cui la funzione è definita.
  2. Codominio: l'insieme dei valori che la funzione può assumere.
  3. Zeri: i valori di x per cui fxx = 0.
  4. Segno: gli intervalli in cui la funzione è positiva o negativa.
  5. Monotonia: gli intervalli in cui la funzione è crescente o decrescente.

Esempio: Per la funzione fxx = x² - 2, abbiamo:

  • Dominio: tutti i numeri reali
  • Codominio: y ≥ -2
  • Zero: x = ±√2
  • Segno: negativa per -√2 < x < √2, positiva altrove
  • Monotonia: decrescente per x < 0, crescente per x > 0

Highlight: L'analisi completa di una funzione fornisce una comprensione approfondita del suo comportamento e delle sue caratteristiche.

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Page 8: Function Symmetry

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Definition:

  • Even function: fxx = fx-x
  • Odd function: fxx = -fx-x

Highlight: Even functions are symmetric about the y-axis, while odd functions are symmetric about the origin

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Page 9: Composite Functions

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Definition: A composite function is formed by applying one function to the result of another function.

Example: If fxx = 2x + 3 and gxx = 1/x, then gfg∘fxx = 1/2x+32x + 3

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Page 10: Function Analysis

This page presents methods for analyzing functions comprehensively.

Highlight: Key analysis points include:

  • Determining domain
  • Finding zeros
  • Identifying intervals of increase/decrease
  • Analyzing function behavior

Example: Analysis includes finding critical points, determining monotonicity intervals, and identifying extreme values

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Introduzione alle funzioni

Le funzioni matematiche sono relazioni fondamentali in matematica che associano elementi di un insieme di partenza dominiodominio a elementi di un insieme di arrivo codominiocodominio. Questo concetto è alla base di molte applicazioni pratiche e teoriche.

Definizione: Una funzione f associa ad ogni elemento x del dominio uno e un solo elemento y del codominio.

Le funzioni possono essere rappresentate in diversi modi, tra cui:

  • Forma esplicita: y = fxx
  • Forma implicita: fx,yx,y = 0

Esempio: La funzione lineare y = mx + q è un esempio di funzione in forma esplicita.

Il grafico di una funzione è una rappresentazione visiva della relazione tra la variabile indipendente xx e la variabile dipendente yy. I grafici delle funzioni elementari sono fondamentali per comprendere il comportamento delle funzioni più complesse.

Highlight: La comprensione dei grafici funzioni elementari è essenziale per l'analisi di funzioni più avanzate.

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L'applicazione è molto facile da usare e ben progettata. Finora ho trovato tutto quello che cercavo e ho potuto imparare molto dalle presentazioni! Utilizzerò sicuramente l'app per i compiti in classe! È molto utile anche come fonte di ispirazione.

Stefano S

utente iOS

Questa applicazione è davvero grande! Ci sono tantissimi appunti e aiuti con lo studio [...]. La mia materia problematica, per esempio, è il francese e l'app ha così tante opzioni per aiutarmi. Grazie a questa app ho migliorato il mio francese. La consiglio a tutti.

Samantha Klich

utente Android

Wow, sono davvero stupita. Ho appena provato l'app perché l'ho vista pubblicizzata molte volte e sono rimasta assolutamente sbalordita. Questa app è L'AIUTO che cercate per la scuola e soprattutto offre tantissime cose, come allenamenti e schede, che a me personalmente sono state MOLTO utili.

Anna

utente iOS

È bellissima questa app, la adoro. È utilissima per lo studio e mi aiuta molto, anzi moltissimo, ma soprattutto mi aiutano molto i quiz, per memorizzare anche quello che non sapevo

Anastasia

utente Android

Fantastica per qualsiasi materia avere gli appunti anche di altre persone è molto utile perchè posso confrontarmi e vedere come migliorarmi. con i quiz riesco ad apprendere al meglio.

Francesca

utente Android

moooolto utile,gli appunti sono belli e funzionanti,schoolGPT da dei consigli formidabili!!

Marianna

utente Android

L'applicazione è semplicemente fantastica! Tutto ciò che devo fare è inserire l'argomento nella barra di ricerca e ottengo la risposta molto velocemente. Non devo guardare 10 video di YouTube per capire qualcosa, quindi risparmio tempo. Consigliatissima!

Sudenaz Ocak

utente Android

A scuola andavo malissimo in matematica, ma grazie a questa applicazione ora vado meglio. Vi sono molto grato per aver creato questa app.

Greenlight Bonnie

utente Android

Knowunity è un applicazione fantastica,considerando che ha degli schemi veramente molto carini e sfiziosi e che ci sono dei quiz,oltre al fatto che questa cosa dell intelligenza artificiale "school gpt" è almeno per me molto utile, perché a differenza di Chatgpt ti da le spiegazioni, ti spiega ciò che non è chiaro! Posso studiare più velocemente tramite gli schemi e che posso pubblicare io stessa gli schemi è una funzione utilissima per gli altri studenti. Knowunity è PERFETTA

Aurora

utente Android

L’app funziona benissimo e puoi trovare qualsiasi tipo di informazione. Non ho l’abbonamento ma la parte gratuita è sufficiente per uno studio approfondito.

Martina

utente iOS

in questi ultimi mesi di scuola dove il tempo è ormai poco, mi sta aiutando molto perché piuttosto che farmi io gli schemi su quello che leggo sul libro guardo questi già fatti e li uso come ripasso piuttosto che rileggermi tutto il libro

Chiara

utente IOS

Questa app è una delle migliori, nient’altro da dire.

Andrea

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L'applicazione è molto facile da usare e ben progettata. Finora ho trovato tutto quello che cercavo e ho potuto imparare molto dalle presentazioni! Utilizzerò sicuramente l'app per i compiti in classe! È molto utile anche come fonte di ispirazione.

Stefano S

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Questa applicazione è davvero grande! Ci sono tantissimi appunti e aiuti con lo studio [...]. La mia materia problematica, per esempio, è il francese e l'app ha così tante opzioni per aiutarmi. Grazie a questa app ho migliorato il mio francese. La consiglio a tutti.

Samantha Klich

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Wow, sono davvero stupita. Ho appena provato l'app perché l'ho vista pubblicizzata molte volte e sono rimasta assolutamente sbalordita. Questa app è L'AIUTO che cercate per la scuola e soprattutto offre tantissime cose, come allenamenti e schede, che a me personalmente sono state MOLTO utili.

Anna

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È bellissima questa app, la adoro. È utilissima per lo studio e mi aiuta molto, anzi moltissimo, ma soprattutto mi aiutano molto i quiz, per memorizzare anche quello che non sapevo

Anastasia

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Francesca

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Marianna

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L'applicazione è semplicemente fantastica! Tutto ciò che devo fare è inserire l'argomento nella barra di ricerca e ottengo la risposta molto velocemente. Non devo guardare 10 video di YouTube per capire qualcosa, quindi risparmio tempo. Consigliatissima!

Sudenaz Ocak

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A scuola andavo malissimo in matematica, ma grazie a questa applicazione ora vado meglio. Vi sono molto grato per aver creato questa app.

Greenlight Bonnie

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Knowunity è un applicazione fantastica,considerando che ha degli schemi veramente molto carini e sfiziosi e che ci sono dei quiz,oltre al fatto che questa cosa dell intelligenza artificiale "school gpt" è almeno per me molto utile, perché a differenza di Chatgpt ti da le spiegazioni, ti spiega ciò che non è chiaro! Posso studiare più velocemente tramite gli schemi e che posso pubblicare io stessa gli schemi è una funzione utilissima per gli altri studenti. Knowunity è PERFETTA

Aurora

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L’app funziona benissimo e puoi trovare qualsiasi tipo di informazione. Non ho l’abbonamento ma la parte gratuita è sufficiente per uno studio approfondito.

Martina

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in questi ultimi mesi di scuola dove il tempo è ormai poco, mi sta aiutando molto perché piuttosto che farmi io gli schemi su quello che leggo sul libro guardo questi già fatti e li uso come ripasso piuttosto che rileggermi tutto il libro

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Questa app è una delle migliori, nient’altro da dire.

Andrea

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