Materie

Matematica

Relazioni e funzioni

Funzioni

Zeri e segno di una funzione

Le funzioni matematiche spiegate in modo semplice PDF - Appunti e Schemi

Name: Knowunity
Brand: Knowunity

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Le funzioni matematiche spiegate in modo semplice PDF - Appunti e Schemi

Giammarco Laise

@giamz_

230 Follower

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Le funzioni matematiche sono relazioni che associano elementi di un insieme di partenza (dominio) a elementi di un insieme di arrivo (codominio). Questo concetto fondamentale della matematica è alla base di molte applicazioni pratiche e teoriche. Il documento fornisce una panoramica completa delle funzioni, dalla loro definizione alle proprietà più avanzate.

Le funzioni possono essere rappresentate in forma esplicita o implicita
Esistono diversi tipi di funzioni: algebriche, trascendenti, razionali, irrazionali, ecc.
Le proprietà delle funzioni includono iniettività, suriettività, monotonia, parità/disparità
L'analisi di una funzione comprende lo studio del dominio, codominio, zeri, segno e andamento

15/11/2022

18381

Funzioni
Es x = anno
y = n° di abitanti
ANNIE
Una funzione associa ad ogni
uno e un solo
elemento x
elemento y
f=
=A÷B
·↓.
dominio codominio

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Parità e disparità delle funzioni

Le funzioni possono essere classificate come pari o dispari in base al loro comportamento rispetto all'origine:

Funzione pari: f(x) = f(-x) per ogni x nel dominio.
- Il grafico di una funzione pari è simmetrico rispetto all'asse y.
Funzione dispari: f(x) = -f(-x) per ogni x nel dominio.
- Il grafico di una funzione dispari è simmetrico rispetto all'origine degli assi.

Esempio: La funzione y = x² è pari, mentre y = x³ è dispari.

Highlight: La parità o disparità di una funzione può essere determinata osservando le potenze di x presenti nell'espressione della funzione.

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Funzioni composte e inverse

Le funzioni composte si ottengono combinando due o più funzioni:

Definizione: La funzione composta (g ∘ f)(x) si ottiene applicando prima la funzione f e poi la funzione g al risultato.

Esempio: Se f(x) = 2x + 3 e g(x) = 1/x, allora (g ∘ f)(x) = 1/(2x + 3).

La funzione inversa di una funzione biunivoca f è una funzione che "annulla" l'effetto di f:

Vocabulary: La funzione inversa f⁻¹ associa a ogni elemento del codominio di f la sua controimmagine nel dominio di f.

Highlight: Non tutte le funzioni hanno un'inversa. Solo le funzioni biunivoche ammettono una funzione inversa.

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Introduzione alle funzioni

Le funzioni matematiche sono relazioni fondamentali in matematica che associano elementi di un insieme di partenza (dominio) a elementi di un insieme di arrivo (codominio). Questo concetto è alla base di molte applicazioni pratiche e teoriche.

Definizione: Una funzione f associa ad ogni elemento x del dominio uno e un solo elemento y del codominio.

Le funzioni possono essere rappresentate in diversi modi, tra cui:

Forma esplicita: y = f(x)
Forma implicita: f(x,y) = 0

Esempio: La funzione lineare y = mx + q è un esempio di funzione in forma esplicita.

Il grafico di una funzione è una rappresentazione visiva della relazione tra la variabile indipendente (x) e la variabile dipendente (y). I grafici delle funzioni elementari sono fondamentali per comprendere il comportamento delle funzioni più complesse.

Highlight: La comprensione dei grafici funzioni elementari è essenziale per l'analisi di funzioni più avanzate.

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Monotonia e periodicità

Le funzioni possono essere caratterizzate dal loro andamento in termini di crescita o decrescita:

Funzione crescente: f(x₁) < f(x₂) per ogni x₁ < x₂ nell'intervallo considerato.
Funzione decrescente: f(x₁) > f(x₂) per ogni x₁ < x₂ nell'intervallo considerato.
Funzione monotona: sempre crescente o sempre decrescente in un dato intervallo.

Definizione: Una funzione si dice monotona in un intervallo se è sempre crescente o sempre decrescente in quell'intervallo.

Le funzioni periodiche sono quelle che assumono valori che si ripetono a intervalli regolari:

Vocabulary: Una funzione periodica è una funzione i cui valori si ripetono esattamente a intervalli regolari.

Esistono funzioni periodiche in senso stretto e in senso lato, a seconda della precisione con cui si ripetono i valori.

Highlight: La periodicità è una proprietà importante in molte applicazioni pratiche, come lo studio dei fenomeni ciclici.

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Proprietà delle funzioni

Le funzioni possono avere diverse proprietà che ne caratterizzano il comportamento. Alcune delle proprietà più importanti sono:

Campo di esistenza (dominio): l'insieme dei valori di x per cui la funzione è definita.

Definizione: Il campo di esistenza di una funzione è l'insieme di tutti i valori della variabile indipendente per cui la funzione è definita e ha senso.

Zeri di una funzione: i valori di x per cui f(x) = 0.
Segno di una funzione: determina quando la funzione è positiva o negativa.

Highlight: L'analisi del segno di una funzione è cruciale per comprendere il suo andamento grafico.

Iniettività, suriettività e biunivocità:
- Una funzione è iniettiva se ogni elemento del codominio è immagine di al massimo un elemento del dominio.
- Una funzione è suriettiva se ogni elemento del codominio è immagine di almeno un elemento del dominio.
- Una funzione è biunivoca se è sia iniettiva che suriettiva.

Esempio: La funzione y = 2x - 1 è biunivoca e ha come inversa x = (y + 1) / 2.

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Classificazione delle funzioni

Le funzioni possono essere classificate in diverse categorie in base alle loro caratteristiche. Le principali categorie includono:

Funzioni algebriche: definite solo da operazioni algebriche (+, -, ×, ÷, √, x²)
Funzioni trascendenti: includono funzioni esponenziali, logaritmiche e trigonometriche

Vocabulary: Le funzioni trascendenti sono quelle che non possono essere espresse mediante un numero finito di operazioni algebriche.

All'interno delle funzioni algebriche, possiamo distinguere:

Funzioni razionali: non contengono radici
Funzioni irrazionali: contengono radici
Funzioni intere: non contengono frazioni
Funzioni fratte: contengono frazioni

Esempio: y = √x è un esempio di funzione irrazionale.

Un tipo particolare di funzione è la funzione a tratti, definita da espressioni diverse in base al valore della variabile indipendente.

Highlight: La classificazione delle funzioni è fondamentale per comprendere le loro proprietà e il loro comportamento.

Vedi

Analisi di una funzione

L'analisi di una funzione comprende lo studio di diverse caratteristiche:

Dominio: l'insieme dei valori di x per cui la funzione è definita.
Codominio: l'insieme dei valori che la funzione può assumere.
Zeri: i valori di x per cui f(x) = 0.
Segno: gli intervalli in cui la funzione è positiva o negativa.
Monotonia: gli intervalli in cui la funzione è crescente o decrescente.

Esempio: Per la funzione f(x) = x² - 2, abbiamo:

Dominio: tutti i numeri reali

Codominio: y ≥ -2

Zero: x = ±√2

Segno: negativa per -√2 < x < √2, positiva altrove

Monotonia: decrescente per x < 0, crescente per x > 0

Highlight: L'analisi completa di una funzione fornisce una comprensione approfondita del suo comportamento e delle sue caratteristiche.

Questi concetti e tecniche di analisi sono fondamentali per lo studio delle funzioni matematiche e trovano applicazione in numerosi campi, dalla fisica all'economia, dall'ingegneria alla statistica.

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Le funzioni possono essere classificate come pari o dispari in base al loro comportamento rispetto all'origine:

Funzione pari: f(x) = f(-x) per ogni x nel dominio.
- Il grafico di una funzione pari è simmetrico rispetto all'asse y.
Funzione dispari: f(x) = -f(-x) per ogni x nel dominio.
- Il grafico di una funzione dispari è simmetrico rispetto all'origine degli assi.

Esempio: La funzione y = x² è pari, mentre y = x³ è dispari.

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Funzioni composte e inverse

Le funzioni composte si ottengono combinando due o più funzioni:

Definizione: La funzione composta (g ∘ f)(x) si ottiene applicando prima la funzione f e poi la funzione g al risultato.

Esempio: Se f(x) = 2x + 3 e g(x) = 1/x, allora (g ∘ f)(x) = 1/(2x + 3).

La funzione inversa di una funzione biunivoca f è una funzione che "annulla" l'effetto di f:

Vocabulary: La funzione inversa f⁻¹ associa a ogni elemento del codominio di f la sua controimmagine nel dominio di f.

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Introduzione alle funzioni

Definizione: Una funzione f associa ad ogni elemento x del dominio uno e un solo elemento y del codominio.

Le funzioni possono essere rappresentate in diversi modi, tra cui:

Forma esplicita: y = f(x)
Forma implicita: f(x,y) = 0

Esempio: La funzione lineare y = mx + q è un esempio di funzione in forma esplicita.

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Monotonia e periodicità

Le funzioni possono essere caratterizzate dal loro andamento in termini di crescita o decrescita:

Funzione crescente: f(x₁) < f(x₂) per ogni x₁ < x₂ nell'intervallo considerato.
Funzione decrescente: f(x₁) > f(x₂) per ogni x₁ < x₂ nell'intervallo considerato.
Funzione monotona: sempre crescente o sempre decrescente in un dato intervallo.

Definizione: Una funzione si dice monotona in un intervallo se è sempre crescente o sempre decrescente in quell'intervallo.

Le funzioni periodiche sono quelle che assumono valori che si ripetono a intervalli regolari:

Vocabulary: Una funzione periodica è una funzione i cui valori si ripetono esattamente a intervalli regolari.

Esistono funzioni periodiche in senso stretto e in senso lato, a seconda della precisione con cui si ripetono i valori.

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Proprietà delle funzioni

Le funzioni possono avere diverse proprietà che ne caratterizzano il comportamento. Alcune delle proprietà più importanti sono:

Campo di esistenza (dominio): l'insieme dei valori di x per cui la funzione è definita.

Definizione: Il campo di esistenza di una funzione è l'insieme di tutti i valori della variabile indipendente per cui la funzione è definita e ha senso.

Zeri di una funzione: i valori di x per cui f(x) = 0.
Segno di una funzione: determina quando la funzione è positiva o negativa.

Highlight: L'analisi del segno di una funzione è cruciale per comprendere il suo andamento grafico.

Iniettività, suriettività e biunivocità:
- Una funzione è iniettiva se ogni elemento del codominio è immagine di al massimo un elemento del dominio.
- Una funzione è suriettiva se ogni elemento del codominio è immagine di almeno un elemento del dominio.
- Una funzione è biunivoca se è sia iniettiva che suriettiva.

Esempio: La funzione y = 2x - 1 è biunivoca e ha come inversa x = (y + 1) / 2.

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Classificazione delle funzioni

Le funzioni possono essere classificate in diverse categorie in base alle loro caratteristiche. Le principali categorie includono:

Funzioni algebriche: definite solo da operazioni algebriche (+, -, ×, ÷, √, x²)
Funzioni trascendenti: includono funzioni esponenziali, logaritmiche e trigonometriche

Vocabulary: Le funzioni trascendenti sono quelle che non possono essere espresse mediante un numero finito di operazioni algebriche.

All'interno delle funzioni algebriche, possiamo distinguere:

Funzioni razionali: non contengono radici
Funzioni irrazionali: contengono radici
Funzioni intere: non contengono frazioni
Funzioni fratte: contengono frazioni

Esempio: y = √x è un esempio di funzione irrazionale.

Un tipo particolare di funzione è la funzione a tratti, definita da espressioni diverse in base al valore della variabile indipendente.

Highlight: La classificazione delle funzioni è fondamentale per comprendere le loro proprietà e il loro comportamento.

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Analisi di una funzione

L'analisi di una funzione comprende lo studio di diverse caratteristiche:

Dominio: l'insieme dei valori di x per cui la funzione è definita.
Codominio: l'insieme dei valori che la funzione può assumere.
Zeri: i valori di x per cui f(x) = 0.
Segno: gli intervalli in cui la funzione è positiva o negativa.
Monotonia: gli intervalli in cui la funzione è crescente o decrescente.

Esempio: Per la funzione f(x) = x² - 2, abbiamo:

Dominio: tutti i numeri reali

Codominio: y ≥ -2

Zero: x = ±√2

Segno: negativa per -√2 < x < √2, positiva altrove

Monotonia: decrescente per x < 0, crescente per x > 0

Highlight: L'analisi completa di una funzione fornisce una comprensione approfondita del suo comportamento e delle sue caratteristiche.

Questi concetti e tecniche di analisi sono fondamentali per lo studio delle funzioni matematiche e trovano applicazione in numerosi campi, dalla fisica all'economia, dall'ingegneria alla statistica.