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VALERIO
19/11/2025
Matematica
Equazioni e disequazioni con valore assoluto
7301
•
19 nov 2025
•
VALERIO
@valerio.dn
Hai mai visto quelle sbarre verticali attorno a un numero... Mostra di più
Il valore assoluto |x| rappresenta sempre la distanza di un numero da zero, quindi è sempre positivo o nullo. La definizione matematica dice che |x| = x se x ≥ 0, mentre |x| = -x se x < 0.
Quando risolvi equazioni come |ax| = bx, devi sempre considerare due casi separati. Nel primo caso, supponi che l'espressione dentro il valore assoluto sia positiva, nel secondo che sia negativa. Questo ti porta a creare due sistemi di equazioni da risolvere.
Il metodo è sempre lo stesso: applichi la definizione del valore assoluto e risolvi i sistemi che ne derivano. Ricorda che ogni soluzione deve soddisfare sia l'equazione che la condizione sul segno!
💡 Ricorda: Il valore assoluto "spezza" un'equazione in due casi da analizzare separatamente.
Vediamo come funziona con un esempio concreto: |5x-3| = 2x-20. Prima semplifichi l'equazione, poi crei i due sistemi considerando quando l'espressione dentro il valore assoluto è positiva o negativa.
Nel primo sistema hai 5x-3 = 2x-20 con 5x-3 ≥ 0, che ti dà x = -17/3 e x ≥ 3/5. Ma -17/3 non è ≥ 3/5, quindi questa soluzione non va bene.
Nel secondo sistema hai - = 2x-20 con 5x-3 < 0, che ti dà x = 23/7 e x < 3/5. Anche qui 23/7 non è < 3/5, quindi neanche questa soluzione funziona. L'equazione non ha soluzioni!
Equazioni del tipo |ax| = k sono più semplici: se k > 0 hai due soluzioni, se k = 0 una sola, se k < 0 nessuna.
💡 Attenzione: Controlla sempre che le soluzioni rispettino le condizioni sui segni!
Quando hai due valori assoluti come |ax| + |bx| = k, il procedimento si complica un po' ma resta gestibile. Devi studiare il segno di entrambe le espressioni dentro i valori assoluti.
Supponiamo che ax ≥ 0 per x ≥ a e bx ≥ 0 per x ≥ b. Questo ti crea tre intervalli sulla retta dei numeri: prima di a, tra a e b, e dopo b. In ogni intervallo, i segni delle espressioni sono diversi.
Per ogni intervallo ottieni un sistema diverso da risolvere. Ad esempio, se x < a, entrambe le espressioni sono negative, quindi hai -ax - bx = k. Risolvi tutti e tre i sistemi e poi controlla quali soluzioni rispettano le condizioni dell'intervallo.
Nel caso di |x-2| - |x+8| = 6, solo il sistema intermedio ha una soluzione valida: x = -6.
💡 Strategia: Disegna sempre gli intervalli sulla retta per visualizzare meglio i casi!
Le disequazioni con valore assoluto seguono lo stesso principio delle equazioni, ma devi fare attenzione ai segni di maggiore e minore. Per |ax| > bx crei due sistemi: uno con ax > bx e ax ≥ 0, l'altro con -ax > bx e ax < 0.
La tabella dei casi ti aiuta a non sbagliare: ogni tipo di disequazione (>, <, ≥, ≤) ha la sua combinazione di sistemi da risolvere. L'importante è essere metodici e non saltare passaggi.
Nell'esempio |3x+1| > 3x+17, il primo sistema non ha soluzioni perché 0 > 16 è falso. Il secondo sistema ti dà x < -3 come soluzione finale.
La chiave è sempre unire correttamente le soluzioni dei due sistemi, rappresentandole graficamente sulla retta dei numeri.
💡 Consiglio: Usa sempre una tabella per organizzare i diversi casi delle disequazioni!
Quando hai disequazioni del tipo |ax| > k, |ax| < k con k numero, la soluzione dipende dal segno di k. Se k < 0, le disequazioni con > sono sempre vere (tutti i reali), quelle con < mai vere.
Per k > 0 devi risolvere i sistemi come negli esempi precedenti. È fondamentale organizzare tutto in una tabella che consideri il tipo di disequazione e il segno del termine noto.
Negli esempi più complessi, come quello con 3²ˣ, puoi usare sostituzioni per semplificare il lavoro. Poni y = 3ˣ e risolvi |y²-2y| ≥ 3, poi torni alla variabile originale.
Le disequazioni fratte con valore assoluto richiedono lo studio separato di numeratore e denominatore, poi l'analisi del segno complessivo attraverso una tabella dei segni.
💡 Trucco: Per le disequazioni complesse, usa sempre sostituzioni per semplificare i calcoli!
Le disequazioni come |x-2|/|x-1| ≤ 0 richiedono lo studio del segno sia del numeratore che del denominatore. Ricorda che il denominatore non può mai essere zero!
Per il numeratore |x|-2 ≥ 0, ottieni x ≤ -2 ∨ x ≥ 2. Per il denominatore |x-1| > 0, la condizione è x ≠ 1. Combinando tutto nella tabella dei segni, trovi la soluzione finale.
Quando hai espressioni esponenziali con valore assoluto, spesso conviene fare sostituzioni come negli esempi precedenti. Questo trasforma il problema in qualcosa di più familiare.
La chiave del successo è sempre la stessa: metodicità, tabelle dei segni e controllo delle soluzioni. Non avere fretta e segui sempre lo stesso schema di risoluzione.
💡 Importante: Nelle disequazioni fratte, il denominatore deve sempre essere diverso da zero!
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È possibile scaricare l'applicazione dal Google Play Store e dall'Apple App Store.
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Google Play
L'applicazione è molto facile da usare e ben progettata. Finora ho trovato tutto quello che cercavo e ho potuto imparare molto dalle presentazioni! Utilizzerò sicuramente l'app per i compiti in classe! È molto utile anche come fonte di ispirazione.
Stefano S
utente iOS
Questa applicazione è davvero grande! Ci sono tantissimi appunti e aiuti con lo studio [...]. La mia materia problematica, per esempio, è il francese e l'app ha così tante opzioni per aiutarmi. Grazie a questa app ho migliorato il mio francese. La consiglio a tutti.
Samantha Klich
utente Android
Wow, sono davvero stupita. Ho appena provato l'app perché l'ho vista pubblicizzata molte volte e sono rimasta assolutamente sbalordita. Questa app è L'AIUTO che cercate per la scuola e soprattutto offre tantissime cose, come allenamenti e schede, che a me personalmente sono state MOLTO utili.
Anna
utente iOS
È bellissima questa app, la adoro. È utilissima per lo studio e mi aiuta molto, anzi moltissimo, ma soprattutto mi aiutano molto i quiz, per memorizzare anche quello che non sapevo
Anastasia
utente Android
Fantastica per qualsiasi materia avere gli appunti anche di altre persone è molto utile perchè posso confrontarmi e vedere come migliorarmi. con i quiz riesco ad apprendere al meglio.
Francesca
utente Android
moooolto utile,gli appunti sono belli e funzionanti,schoolGPT da dei consigli formidabili!!
Marianna
utente Android
L'applicazione è semplicemente fantastica! Tutto ciò che devo fare è inserire l'argomento nella barra di ricerca e ottengo la risposta molto velocemente. Non devo guardare 10 video di YouTube per capire qualcosa, quindi risparmio tempo. Consigliatissima!
Sudenaz Ocak
utente Android
A scuola andavo malissimo in matematica, ma grazie a questa applicazione ora vado meglio. Vi sono molto grato per aver creato questa app.
Greenlight Bonnie
utente Android
Knowunity è un applicazione fantastica,considerando che ha degli schemi veramente molto carini e sfiziosi e che ci sono dei quiz,oltre al fatto che questa cosa dell intelligenza artificiale "school gpt" è almeno per me molto utile, perché a differenza di Chatgpt ti da le spiegazioni, ti spiega ciò che non è chiaro! Posso studiare più velocemente tramite gli schemi e che posso pubblicare io stessa gli schemi è una funzione utilissima per gli altri studenti. Knowunity è PERFETTA
Aurora
utente Android
L’app funziona benissimo e puoi trovare qualsiasi tipo di informazione. Non ho l’abbonamento ma la parte gratuita è sufficiente per uno studio approfondito.
Martina
utente iOS
in questi ultimi mesi di scuola dove il tempo è ormai poco, mi sta aiutando molto perché piuttosto che farmi io gli schemi su quello che leggo sul libro guardo questi già fatti e li uso come ripasso piuttosto che rileggermi tutto il libro
Chiara
utente IOS
Questa app è una delle migliori, nient’altro da dire.
Andrea
utente iOS
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Stefano S
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Questa applicazione è davvero grande! Ci sono tantissimi appunti e aiuti con lo studio [...]. La mia materia problematica, per esempio, è il francese e l'app ha così tante opzioni per aiutarmi. Grazie a questa app ho migliorato il mio francese. La consiglio a tutti.
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Anastasia
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Sudenaz Ocak
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A scuola andavo malissimo in matematica, ma grazie a questa applicazione ora vado meglio. Vi sono molto grato per aver creato questa app.
Greenlight Bonnie
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VALERIO
@valerio.dn
Hai mai visto quelle sbarre verticali attorno a un numero e ti sei chiesto cosa significano? Il valore assoluto è uno degli strumenti più utili della matematica, ma le equazioni e disequazioni che lo contengono possono sembrare complicate. In realtà,... Mostra di più
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Il valore assoluto |x| rappresenta sempre la distanza di un numero da zero, quindi è sempre positivo o nullo. La definizione matematica dice che |x| = x se x ≥ 0, mentre |x| = -x se x < 0.
Quando risolvi equazioni come |ax| = bx, devi sempre considerare due casi separati. Nel primo caso, supponi che l'espressione dentro il valore assoluto sia positiva, nel secondo che sia negativa. Questo ti porta a creare due sistemi di equazioni da risolvere.
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💡 Ricorda: Il valore assoluto "spezza" un'equazione in due casi da analizzare separatamente.
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Nel primo sistema hai 5x-3 = 2x-20 con 5x-3 ≥ 0, che ti dà x = -17/3 e x ≥ 3/5. Ma -17/3 non è ≥ 3/5, quindi questa soluzione non va bene.
Nel secondo sistema hai - = 2x-20 con 5x-3 < 0, che ti dà x = 23/7 e x < 3/5. Anche qui 23/7 non è < 3/5, quindi neanche questa soluzione funziona. L'equazione non ha soluzioni!
Equazioni del tipo |ax| = k sono più semplici: se k > 0 hai due soluzioni, se k = 0 una sola, se k < 0 nessuna.
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Supponiamo che ax ≥ 0 per x ≥ a e bx ≥ 0 per x ≥ b. Questo ti crea tre intervalli sulla retta dei numeri: prima di a, tra a e b, e dopo b. In ogni intervallo, i segni delle espressioni sono diversi.
Per ogni intervallo ottieni un sistema diverso da risolvere. Ad esempio, se x < a, entrambe le espressioni sono negative, quindi hai -ax - bx = k. Risolvi tutti e tre i sistemi e poi controlla quali soluzioni rispettano le condizioni dell'intervallo.
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La tabella dei casi ti aiuta a non sbagliare: ogni tipo di disequazione (>, <, ≥, ≤) ha la sua combinazione di sistemi da risolvere. L'importante è essere metodici e non saltare passaggi.
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Schema sintetico sulle disequazioni fratte. Buono studio!
MatematicaAppunti e schemi sugli argomenti iniziali delle funzioni matematiche
Matematicadisequazioni fratte ( anche disequazioni non ridotte) e sistemi di disequazioni [possibile utilizzare schema (per dsa) da tenere in verifica]
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Matematica.
Matematica3 tipi diversi di equazioni con moduli: semplice, con 2 moduli, con un modulo dentro l'altro
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Stefano S
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Martina
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