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Simona Sorce
22/11/2025
Matematica
Teoremi sui limiti
1746
•
22 nov 2025
•
Simona Sorce
@simonasorcee
I teoremi sui limiti sono strumenti fondamentali per capire il... Mostra di più
Immagina di essere "intrappolato" tra due amici che camminano verso la stessa meta - questo è esattamente quello che fa il teorema del confronto! Se hai tre funzioni h(x), f(x) e g(x) definite nello stesso intorno di x₀, e f(x) è sempre "schiacciata" tra le altre due (h(x) ≤ f(x) ≤ g(x)), allora succede qualcosa di magico.
Quando sia h(x) che g(x) tendono allo stesso limite ℓ per x che tende a x₀, anche f(x) deve per forza tendere a ℓ. È come se le due funzioni "esterne" costringessero quella centrale a seguirle!
La dimostrazione si basa sulla definizione di limite con epsilon: se entrambe le funzioni h(x) e g(x) stanno in un intorno di ℓ di raggio ε, allora anche f(x) ci deve stare per forza, visto che è schiacciata in mezzo.
Trucco per ricordare: Pensa ai Carabinieri che scortano un prigioniero - se vanno tutti e tre nella stessa direzione, il prigioniero non può scappare!
Qui viene dimostrata una cosa che sembra ovvia ma non lo è: il limite di una funzione, se esiste, è unico. Non possono esistere due limiti diversi per la stessa funzione nello stesso punto!
La dimostrazione usa la tecnica del ragionamento per assurdo: supponiamo che esistano due limiti diversi ℓ₁ e ℓ₂. Scegliendo un epsilon abbastanza piccolo (ε < |ℓ₁ - ℓ₂|/2), si arriva a una contraddizione matematica.
Il trucco è che se la funzione deve stare contemporaneamente vicino a due valori diversi, prima o poi questa richiesta diventa impossibile da soddisfare.
Questo teorema ti dice una cosa super utile: se il limite di una funzione è diverso da zero, allora la funzione mantiene lo stesso segno del limite in un intorno del punto! In parole semplici, se il limite è positivo, la funzione sarà positiva vicino a quel punto.
La dimostrazione è elegante: scegliendo ε = |ℓ| nella definizione di limite, si ottiene che la funzione deve stare nell'intervallo (ℓ - |ℓ|, ℓ + |ℓ|). Se ℓ > 0, questo intervallo è (0, 2ℓ), quindi f(x) > 0. Se ℓ < 0, l'intervallo è (2ℓ, 0), quindi f(x) < 0.
Attenzione: il teorema non vale se ℓ = 0! In quel caso la funzione può cambiare segno quanto vuole nell'intorno.
Applicazione pratica: Questo teorema è fondamentale per studiare il comportamento delle funzioni e per risolvere disequazioni con i limiti!
Il nostro assistente AI è costruito specificamente per le esigenze degli studenti. Sulla base dei milioni di contenuti presenti sulla piattaforma, possiamo fornire agli studenti risposte davvero significative e pertinenti. Ma non si tratta solo di risposte, l'assistente è in grado di guidare gli studenti attraverso le loro sfide quotidiane di studio, con piani di studio personalizzati, quiz o contenuti nella chat e una personalizzazione al 100% basata sulle competenze e sugli sviluppi degli studenti.
È possibile scaricare l'applicazione dal Google Play Store e dall'Apple App Store.
Sì, hai accesso completamente gratuito a tutti i contenuti nell'app e puoi chattare o seguire i Creatori in qualsiasi momento. Sbloccherai nuove funzioni crescendo il tuo numero di follower. Inoltre, offriamo Knowunity Premium, che consente di studiare senza alcun limite!!
App Store
Google Play
L'applicazione è molto facile da usare e ben progettata. Finora ho trovato tutto quello che cercavo e ho potuto imparare molto dalle presentazioni! Utilizzerò sicuramente l'app per i compiti in classe! È molto utile anche come fonte di ispirazione.
Stefano S
utente iOS
Questa applicazione è davvero grande! Ci sono tantissimi appunti e aiuti con lo studio [...]. La mia materia problematica, per esempio, è il francese e l'app ha così tante opzioni per aiutarmi. Grazie a questa app ho migliorato il mio francese. La consiglio a tutti.
Samantha Klich
utente Android
Wow, sono davvero stupita. Ho appena provato l'app perché l'ho vista pubblicizzata molte volte e sono rimasta assolutamente sbalordita. Questa app è L'AIUTO che cercate per la scuola e soprattutto offre tantissime cose, come allenamenti e schede, che a me personalmente sono state MOLTO utili.
Anna
utente iOS
È bellissima questa app, la adoro. È utilissima per lo studio e mi aiuta molto, anzi moltissimo, ma soprattutto mi aiutano molto i quiz, per memorizzare anche quello che non sapevo
Anastasia
utente Android
Fantastica per qualsiasi materia avere gli appunti anche di altre persone è molto utile perchè posso confrontarmi e vedere come migliorarmi. con i quiz riesco ad apprendere al meglio.
Francesca
utente Android
moooolto utile,gli appunti sono belli e funzionanti,schoolGPT da dei consigli formidabili!!
Marianna
utente Android
L'applicazione è semplicemente fantastica! Tutto ciò che devo fare è inserire l'argomento nella barra di ricerca e ottengo la risposta molto velocemente. Non devo guardare 10 video di YouTube per capire qualcosa, quindi risparmio tempo. Consigliatissima!
Sudenaz Ocak
utente Android
A scuola andavo malissimo in matematica, ma grazie a questa applicazione ora vado meglio. Vi sono molto grato per aver creato questa app.
Greenlight Bonnie
utente Android
Knowunity è un applicazione fantastica,considerando che ha degli schemi veramente molto carini e sfiziosi e che ci sono dei quiz,oltre al fatto che questa cosa dell intelligenza artificiale "school gpt" è almeno per me molto utile, perché a differenza di Chatgpt ti da le spiegazioni, ti spiega ciò che non è chiaro! Posso studiare più velocemente tramite gli schemi e che posso pubblicare io stessa gli schemi è una funzione utilissima per gli altri studenti. Knowunity è PERFETTA
Aurora
utente Android
L’app funziona benissimo e puoi trovare qualsiasi tipo di informazione. Non ho l’abbonamento ma la parte gratuita è sufficiente per uno studio approfondito.
Martina
utente iOS
in questi ultimi mesi di scuola dove il tempo è ormai poco, mi sta aiutando molto perché piuttosto che farmi io gli schemi su quello che leggo sul libro guardo questi già fatti e li uso come ripasso piuttosto che rileggermi tutto il libro
Chiara
utente IOS
Questa app è una delle migliori, nient’altro da dire.
Andrea
utente iOS
L'applicazione è molto facile da usare e ben progettata. Finora ho trovato tutto quello che cercavo e ho potuto imparare molto dalle presentazioni! Utilizzerò sicuramente l'app per i compiti in classe! È molto utile anche come fonte di ispirazione.
Stefano S
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Questa applicazione è davvero grande! Ci sono tantissimi appunti e aiuti con lo studio [...]. La mia materia problematica, per esempio, è il francese e l'app ha così tante opzioni per aiutarmi. Grazie a questa app ho migliorato il mio francese. La consiglio a tutti.
Samantha Klich
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Wow, sono davvero stupita. Ho appena provato l'app perché l'ho vista pubblicizzata molte volte e sono rimasta assolutamente sbalordita. Questa app è L'AIUTO che cercate per la scuola e soprattutto offre tantissime cose, come allenamenti e schede, che a me personalmente sono state MOLTO utili.
Anna
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È bellissima questa app, la adoro. È utilissima per lo studio e mi aiuta molto, anzi moltissimo, ma soprattutto mi aiutano molto i quiz, per memorizzare anche quello che non sapevo
Anastasia
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Fantastica per qualsiasi materia avere gli appunti anche di altre persone è molto utile perchè posso confrontarmi e vedere come migliorarmi. con i quiz riesco ad apprendere al meglio.
Francesca
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Marianna
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L'applicazione è semplicemente fantastica! Tutto ciò che devo fare è inserire l'argomento nella barra di ricerca e ottengo la risposta molto velocemente. Non devo guardare 10 video di YouTube per capire qualcosa, quindi risparmio tempo. Consigliatissima!
Sudenaz Ocak
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A scuola andavo malissimo in matematica, ma grazie a questa applicazione ora vado meglio. Vi sono molto grato per aver creato questa app.
Greenlight Bonnie
utente Android
Knowunity è un applicazione fantastica,considerando che ha degli schemi veramente molto carini e sfiziosi e che ci sono dei quiz,oltre al fatto che questa cosa dell intelligenza artificiale "school gpt" è almeno per me molto utile, perché a differenza di Chatgpt ti da le spiegazioni, ti spiega ciò che non è chiaro! Posso studiare più velocemente tramite gli schemi e che posso pubblicare io stessa gli schemi è una funzione utilissima per gli altri studenti. Knowunity è PERFETTA
Aurora
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Chiara
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Simona Sorce
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La dimostrazione è elegante: scegliendo ε = |ℓ| nella definizione di limite, si ottiene che la funzione deve stare nell'intervallo (ℓ - |ℓ|, ℓ + |ℓ|). Se ℓ > 0, questo intervallo è (0, 2ℓ), quindi f(x) > 0. Se ℓ < 0, l'intervallo è (2ℓ, 0), quindi f(x) < 0.
Attenzione: il teorema non vale se ℓ = 0! In quel caso la funzione può cambiare segno quanto vuole nell'intorno.
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teoremi, significato di limite, limiti notevoli, infiniti e infinitesimi, punti di discontinuità, asintoti, punti per fare il grafico di una funzione
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