Teorema del Confronto (o dei Carabinieri)

Immagina di essere "intrappolato" tra due amici che camminano verso la stessa meta - questo è esattamente quello che fa il teorema del confronto! Se hai tre funzioni h(x), f(x) e g(x) definite nello stesso intorno di x₀, e f(x) è sempre "schiacciata" tra le altre due (h(x) ≤ f(x) ≤ g(x)), allora succede qualcosa di magico.

Quando sia h(x) che g(x) tendono allo stesso limite ℓ per x che tende a x₀, anche f(x) deve per forza tendere a ℓ. È come se le due funzioni "esterne" costringessero quella centrale a seguirle!

La dimostrazione si basa sulla definizione di limite con epsilon: se entrambe le funzioni h(x) e g(x) stanno in un intorno di ℓ di raggio ε, allora anche f(x) ci deve stare per forza, visto che è schiacciata in mezzo.

Trucco per ricordare: Pensa ai Carabinieri che scortano un prigioniero - se vanno tutti e tre nella stessa direzione, il prigioniero non può scappare!

Teorema dell'Unicità del Limite

Qui viene dimostrata una cosa che sembra ovvia ma non lo è: il limite di una funzione, se esiste, è unico. Non possono esistere due limiti diversi per la stessa funzione nello stesso punto!

La dimostrazione usa la tecnica del ragionamento per assurdo: supponiamo che esistano due limiti diversi ℓ₁ e ℓ₂. Scegliendo un epsilon abbastanza piccolo (ε < |ℓ₁ - ℓ₂|/2), si arriva a una contraddizione matematica.

Il trucco è che se la funzione deve stare contemporaneamente vicino a due valori diversi, prima o poi questa richiesta diventa impossibile da soddisfare.

Teorema della Permanenza del Segno

Questo teorema ti dice una cosa super utile: se il limite di una funzione è diverso da zero, allora la funzione mantiene lo stesso segno del limite in un intorno del punto! In parole semplici, se il limite è positivo, la funzione sarà positiva vicino a quel punto.

La dimostrazione è elegante: scegliendo ε = |ℓ| nella definizione di limite, si ottiene che la funzione deve stare nell'intervallo (ℓ - |ℓ|, ℓ + |ℓ|). Se ℓ > 0, questo intervallo è (0, 2ℓ), quindi f(x) > 0. Se ℓ < 0, l'intervallo è (2ℓ, 0), quindi f(x) < 0.

Attenzione: il teorema non vale se ℓ = 0! In quel caso la funzione può cambiare segno quanto vuole nell'intorno.

Applicazione pratica: Questo teorema è fondamentale per studiare il comportamento delle funzioni e per risolvere disequazioni con i limiti!