Formulario matematica

Didascalia alternativa:

f(x) · g'(x) g² (x) D[f(g(x))] = f'(g(x))-g'(x) D[f(x)] = a[f(x)]a-¹f'(x) = VI D[f¹(y)] = ' f'(x) con x =f(y) Punti di non derivabilità Sia f(x) una funzione continua e non derivabile in c. Un punto di ascissa c del grafico di y = f(x) è: un flesso a tangente verticale se f(c)=f(c)=+∞o oppure f'(c) = f(c) ==∞0; 2 una cuspide se f(c)=-∞ e f(c) = +∞ oppure f(c) = +∞e f(c)=-∞0; 3 un punto angoloso se f(c) #f(c), dove almeno una delle due derivate ha un valore finito. Teorema di Rolle Ipotesi: f(x) continua in [a; b]; f(x) derivabile in Ja; b[; f(a) = f(b). Teorema di Lagrange Ipotesi: f(x) continua in [a; b]; f(x) derivabile in Ja; b[. Teorema di Cauchy Ipotesi: f(x) e g(x) continue in [a; b]; f(x) e g(x) derivabili in Ja; b[; g'(x) #0 per ogni x € Ja; b[. Studio di funzione -dominio - int. Cou Funzioni crescenti e decrescenti e derivate Data una funzione y = f(x), continua in un intervallo I e derivabile nei suoi punti interni: • se f'(x) > 0 per ogni x interno a I, allora f(x) è crescente in I; • se f'(x) < 0 per ogni x interno a I, allora f(x) è decrescente in I. Il teorema è invertibile. - studio del seguo: y so e gli essi - ASINTOTI : liли f(x)=co x=xo х-ухо live f(x) = l y = l ASINT худо live f(x) = ∞0 ASINT. OBLIQUO X-700 0.00 => 10° 0 % ASINT. VERTICALE => ORIZZONTALE TEOREMA di DE L'HOSPITAL f'(x) ģ¹(x) f(x) g(x) opp => e Tesi: 3c Ja; b[ in cui: f'(c) = 0. Tesi: 3c Ja; b[ in cui: f(b)-f(a) b-a 7 m = live f(x) 1 #0 x 1 g(x) g(x) lu f(x) 19 = live [f(x)-mx] X 00 = f'(c). Tesi: 3c Ja; b[ in cui: f(b)-f(a) f'(c) g(b)-g(a) g'(c) - y¹=0 punti stozionori studio del sequo: y's nox min - flessi: y = 0 ✪ - Coucovité : ** • orizzontole: y ₁ = y "=0 • tong. oblique: y' tu derivabile = 0 verticale: nou • toug. f" so C.V.Q f"20 c.v.b sait mox, min, flesso a tag. orizzontale flesso à tou dizz. 7 TEOREMA di FERMAT -> non vole il vicevers a 1&p= f (x) cout [a, b] 2 Gp: f (x) derivabile in Ja, b[ 3p in xo € Ja, b[ mox o min relotivo To: 8'(xo) = 0 punto stozionario INTEGRALI INDEFINITI Integrali immediati fxªdx = +1+c, con a #-1 fdx=In\x|+c fe*dx = e³ + c ax + c fa* dx = Ina fsinx dx = -cosx+c fcosx dx = sinx + c 1 cos²x 1 sin²x S -dx = tan x + c V1 -x² -dx=-cotx+c 1+₁2dx = arctan x + c -dx = arcsin x+c Metodi di risoluzione 1) METODO DI SOSTITUZIONE: 2) METODO PER PARTI: ● Funzione razionale fratta 1) дела дев I ㅍ 2) gr №z gr F N₂ ● • 430 D: • A 20 A=0 2 P(x) + 9 = S8 (₁) N(x) dx D(x) + 9 ex2+bx+c +9 SP(x-x1)(x-x₂) Integrali con una funzione composta [f(x)]a+1 a +1 f[f(x) ff'(x) dx = f f(x) dx = ln | f(x) + c ff'(x)ex) dx f(x) dx = ef(x) + c [f'(x)a²x) dx = f(x) Ina ff'(x) sinf(x)dx=-cosf(x)+c ff'(x)cosf(x) dx = sinf(x)+c f'(x) cos²f(x) dx = f'(x) dt S8'(x) · g(x) = f(x) · g(x) - Sf(x). g'(x) = D(x).Q(x) D(x) f'(x) た -dx=-cot f(x)+c sin² f(x) S dx f(x)=t f'(x) -dx = arcsin f(x) + c √1-[f(x)} √1+[f(x) dx = arctan f(x) + c -dx = tan f(x) + c A X-X₁ + S + c DIVISIONE FRA POLINOMI N(X) = D(X). Q(x)+R N(x) [D(x) Q(x) R(X) A (x-x₁)² Sax²+bx+c = √ ₁ + [8(A)] ² R(X) D(X) B X-X₂ +c, con a -1 actg x Se la funzione integranda contiene al denominatore sinxo cos x al primo grado, si pone 1-t² 1+t² sinx = 2t 1+ t² C0SX = FORMULE PARAMETRICHE Ĵ X <= 2 αctg x t dx = 2 dt 1+4² con t = tan INTEGRALI DEFINITI 1) A (trapezoide) = {² f(x) dx = [F(x) Jou a PRIMITIVA P(x) · g(x) SPL) de - 58(4) de b ми S[8(a)- g(x)] de dx Q => JO f₁ 8¹20 cos²x = f' f'he un max I he un min Teorema della media: f(z) = baff(x)dx è il valore medio di f(x) in [a; b]. Dal grafico f a quello della sua derivata f' he dove max/min 8 ・f'(x) = 0 intersezione cau l'osse x сче не => dove f dove & decresce => flesso ascendente => flesso discendente => Formule goniometriche DUPLICAZIONE: sim 2x = 2seu x cosx cos2x = cos²x - sim ² x tg2x = 2tg x 1-xg²x ALTRE FORMULE : cos²x = 1 + cos2x 2 1- seu 2x Disequazioni irrazionali -n pori: √(x) < B(x) => = 8(b)-8(e) ~√√A(X) B(x) => J Sim ²x = 1 - cos2x 2 1 - cos x sim ²x = JA(X) 20 B(x) Jo A (x) < B(x)m Derivata della funzione integrale F(x)= = S $(t) dt => F'(x) = f(x) · dx DERIVATA =7 I (B(X) 10 (A(X) JB (x)m Volumi solidi di rotazione 1) ATTORNO ALL'ASSE X: 2) ATTORNO ALL'ASSEY : BISEZIONE: Sim x = + sim ž 3) ROTAZIONE di UNA FIGURA PIANA ATTORNO ALL'ASSEY fi=o cos x = ± cost I B(x) 20 (A(X) 20 V=TS 88²(x) dx 1 - cosx 2 V = π To Sg² (y) dy e f'so => 8 чене de cresel f₁L0 => 8 f' cresce => SO 0 11 C.V.Q. f' decusle => f"1 f" 20 c.v.b. f' he un mox/ min (f "=0) 1+ cos x V=<x Jx8 (1) de π Dal grafico di f' a quello di f f he en max, min opp flesso e tangente orizzontale tg £/ = X 8 1- cos x 1+csx avcă eu FLESSO