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Matematica
12 dic 2025
2077
4 pagine
Maria Doro @mariadoro_faos
I limiti sono uno strumento fondamentale per capire il comportamento delle funzioni quando ci avviciniamo a un punto... Mostra di più
Quando una funzione non è continua in un punto, può presentare tre tipi di discontinuità. La discontinuità di prima specie (o salto) si verifica quando i limiti destro e sinistro esistono ma sono diversi - immagina una funzione che "salta" da un valore all'altro.
La discontinuità di seconda specie è più drastica almeno uno dei limiti laterali non esiste o vale infinito. È come se la funzione "esplodesse" in quel punto.
La discontinuità di terza specie è quella più "gentile" - il limite esiste, ma o la funzione non è definita nel punto, oppure il valore della funzione è diverso dal limite. Si chiama eliminabile perché potresti "aggiustare" la funzione ridefinendola in quel punto.
Il teorema di permanenza del segno è super utile se il limite di una funzione è positivo, allora la funzione sarà positiva in un intorno del punto. È come dire che se una funzione "tende" verso qualcosa di positivo, deve essere positiva anche nei dintorni.
💡 Tip Per riconoscere il tipo di discontinuità, calcola sempre prima i limiti laterali!
Il primo teorema del confronto è incredibilmente logico se una funzione è sempre minore o uguale a un'altra, allora anche i loro limiti rispettano questo ordine. È come confrontare due studenti che stanno correndo - se uno è sempre dietro l'altro, arriverà al traguardo dopo (o al massimo insieme).
Il teorema dei due carabinieri è uno dei più potenti per calcolare limiti difficili. Se hai una funzione "intrappolata" tra due altre che hanno lo stesso limite, anche la funzione nel mezzo avrà quello stesso limite. Immagina un prigioniero scortato da due carabinieri che vanno nella stessa direzione!
Il teorema di limitatezza locale ci dice che se moltiplichi una funzione limitata per una che tende a zero, il risultato tende a zero. È come moltiplicare un numero "controllato" per qualcosa che diventa sempre più piccolo.
Il criterio di non esistenza è perfetto per dimostrare che un limite non esiste basta trovare due successioni che convergono allo stesso punto ma danno limiti diversi per la funzione.
💡 Strategia Usa i due carabinieri quando hai forme indeterminate difficili da risolvere!
Il teorema del cambio di variabile ti permette di semplificare limiti complicati sostituendo una parte della funzione con una nuova variabile. È come cambiare prospettiva per vedere meglio il problema - spesso rende tutto più chiaro!
I limiti notevoli sono le tue armi segrete per risolvere forme indeterminate. Il più famoso è sicuramente lim(sin x)/x = 1 quando x tende a 0. Questi limiti sono come formule magiche che ti salvano in situazioni apparentemente impossibili.
Altri limiti super utili includono il limite dell'esponenziale /x = 1, quello del logaritmo log/x = 1, e il celebre limite di Nepero ^x = e. Memorizzali bene perché li userai continuamente!
Ricorda che questi limiti funzionano anche per sostituzione se hai lim sin(3x)/3x, puoi usare il limite notevole sostituendo y = 3x.
💡 Pro tip Quando vedi una forma indeterminata 0/0 con funzioni trigonometriche o esponenziali, pensa subito ai limiti notevoli!
Il teorema di Weierstrass è una garanzia matematica incredibile ogni funzione continua su un intervallo chiuso e limitato ha sempre un massimo e un minimo assoluti. È come dire che in una gara con un numero finito di partecipanti, ci sarà sempre un primo e un ultimo classificato!
La variante del teorema è ancora più interessante se una funzione continua "va all'infinito" agli estremi, allora deve avere almeno un punto di minimo da qualche parte. Immagina una vallata che si estende all'infinito - da qualche parte ci deve essere il punto più basso!
Il teorema di esistenza degli zeri (o teorema di Bolzano) ti assicura che se una funzione continua cambia segno in un intervallo, allora da qualche parte attraversa l'asse x. È il principio dietro molti metodi numerici per trovare le radici delle equazioni.
Questo teorema è fondamentale per dimostrare l'esistenza di soluzioni senza necessariamente trovarle esplicitamente.
💡 Applicazione pratica Usa il teorema degli zeri per dimostrare che un'equazione ha soluzione, anche se non riesci a calcolarla!
Il nostro assistente AI è costruito specificamente per le esigenze degli studenti. Sulla base dei milioni di contenuti presenti sulla piattaforma, possiamo fornire agli studenti risposte davvero significative e pertinenti. Ma non si tratta solo di risposte, l'assistente è in grado di guidare gli studenti attraverso le loro sfide quotidiane di studio, con piani di studio personalizzati, quiz o contenuti nella chat e una personalizzazione al 100% basata sulle competenze e sugli sviluppi degli studenti.
È possibile scaricare l'applicazione dal Google Play Store e dall'Apple App Store.
Sì, hai accesso completamente gratuito a tutti i contenuti nell'app e puoi chattare o seguire i Creatori in qualsiasi momento. Sbloccherai nuove funzioni crescendo il tuo numero di follower. Inoltre, offriamo Knowunity Premium, che consente di studiare senza alcun limite!!
31
Strumenti Intelligenti NUOVO
Trasforma questi appunti in: ✓ 50+ Domande di Pratica ✓ Flashcard Interattive ✓ Simulazione Completa d'Esame ✓ Schemi per Saggi
Funzione iniettiva,suriettiva e biunivoca/funzione crescente e decrescente in senso lato e in senso stretto/funzione pari e dispari/lettura di una grafico di funzione
MatematicaConcetto e definizione di limite, intorno, asintoti, topologia di limite, limite per eccesso/difetto, limite destro/sinistro, teoremi dei limiti, calcolo del limite, limiti notevoli, gerarchi degli infiniti
MatematicaMassimi e minimi, studio di funzione, punti di non derivabilità, esercizi.
Matematicatopologia, funzioni , limiti
MatematicaTeoria e pratica
MatematicaLe funzioni esponenziali: la funzione crescente e la funzione decrescente
MatematicaApp Store
Google Play
L'applicazione è molto facile da usare e ben progettata. Finora ho trovato tutto quello che cercavo e ho potuto imparare molto dalle presentazioni! Utilizzerò sicuramente l'app per i compiti in classe! È molto utile anche come fonte di ispirazione.
Stefano S
utente iOS
Questa applicazione è davvero grande! Ci sono tantissimi appunti e aiuti con lo studio [...]. La mia materia problematica, per esempio, è il francese e l'app ha così tante opzioni per aiutarmi. Grazie a questa app ho migliorato il mio francese. La consiglio a tutti.
Samantha Klich
utente Android
Wow, sono davvero stupita. Ho appena provato l'app perché l'ho vista pubblicizzata molte volte e sono rimasta assolutamente sbalordita. Questa app è L'AIUTO che cercate per la scuola e soprattutto offre tantissime cose, come allenamenti e schede, che a me personalmente sono state MOLTO utili.
Anna
utente iOS
È bellissima questa app, la adoro. È utilissima per lo studio e mi aiuta molto, anzi moltissimo, ma soprattutto mi aiutano molto i quiz, per memorizzare anche quello che non sapevo
Anastasia
utente Android
Fantastica per qualsiasi materia avere gli appunti anche di altre persone è molto utile perchè posso confrontarmi e vedere come migliorarmi. con i quiz riesco ad apprendere al meglio.
Francesca
utente Android
moooolto utile,gli appunti sono belli e funzionanti,schoolGPT da dei consigli formidabili!!
Marianna
utente Android
L'applicazione è semplicemente fantastica! Tutto ciò che devo fare è inserire l'argomento nella barra di ricerca e ottengo la risposta molto velocemente. Non devo guardare 10 video di YouTube per capire qualcosa, quindi risparmio tempo. Consigliatissima!
Sudenaz Ocak
utente Android
A scuola andavo malissimo in matematica, ma grazie a questa applicazione ora vado meglio. Vi sono molto grato per aver creato questa app.
Greenlight Bonnie
utente Android
Knowunity è un applicazione fantastica,considerando che ha degli schemi veramente molto carini e sfiziosi e che ci sono dei quiz,oltre al fatto che questa cosa dell intelligenza artificiale "school gpt" è almeno per me molto utile, perché a differenza di Chatgpt ti da le spiegazioni, ti spiega ciò che non è chiaro! Posso studiare più velocemente tramite gli schemi e che posso pubblicare io stessa gli schemi è una funzione utilissima per gli altri studenti. Knowunity è PERFETTA
Aurora
utente Android
L’app funziona benissimo e puoi trovare qualsiasi tipo di informazione. Non ho l’abbonamento ma la parte gratuita è sufficiente per uno studio approfondito.
Martina
utente iOS
in questi ultimi mesi di scuola dove il tempo è ormai poco, mi sta aiutando molto perché piuttosto che farmi io gli schemi su quello che leggo sul libro guardo questi già fatti e li uso come ripasso piuttosto che rileggermi tutto il libro
Chiara
utente IOS
Questa app è una delle migliori, nient’altro da dire.
Andrea
utente iOS
L'applicazione è molto facile da usare e ben progettata. Finora ho trovato tutto quello che cercavo e ho potuto imparare molto dalle presentazioni! Utilizzerò sicuramente l'app per i compiti in classe! È molto utile anche come fonte di ispirazione.
Stefano S
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Questa applicazione è davvero grande! Ci sono tantissimi appunti e aiuti con lo studio [...]. La mia materia problematica, per esempio, è il francese e l'app ha così tante opzioni per aiutarmi. Grazie a questa app ho migliorato il mio francese. La consiglio a tutti.
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Wow, sono davvero stupita. Ho appena provato l'app perché l'ho vista pubblicizzata molte volte e sono rimasta assolutamente sbalordita. Questa app è L'AIUTO che cercate per la scuola e soprattutto offre tantissime cose, come allenamenti e schede, che a me personalmente sono state MOLTO utili.
Anna
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È bellissima questa app, la adoro. È utilissima per lo studio e mi aiuta molto, anzi moltissimo, ma soprattutto mi aiutano molto i quiz, per memorizzare anche quello che non sapevo
Anastasia
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Fantastica per qualsiasi materia avere gli appunti anche di altre persone è molto utile perchè posso confrontarmi e vedere come migliorarmi. con i quiz riesco ad apprendere al meglio.
Francesca
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moooolto utile,gli appunti sono belli e funzionanti,schoolGPT da dei consigli formidabili!!
Marianna
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L'applicazione è semplicemente fantastica! Tutto ciò che devo fare è inserire l'argomento nella barra di ricerca e ottengo la risposta molto velocemente. Non devo guardare 10 video di YouTube per capire qualcosa, quindi risparmio tempo. Consigliatissima!
Sudenaz Ocak
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A scuola andavo malissimo in matematica, ma grazie a questa applicazione ora vado meglio. Vi sono molto grato per aver creato questa app.
Greenlight Bonnie
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Knowunity è un applicazione fantastica,considerando che ha degli schemi veramente molto carini e sfiziosi e che ci sono dei quiz,oltre al fatto che questa cosa dell intelligenza artificiale "school gpt" è almeno per me molto utile, perché a differenza di Chatgpt ti da le spiegazioni, ti spiega ciò che non è chiaro! Posso studiare più velocemente tramite gli schemi e che posso pubblicare io stessa gli schemi è una funzione utilissima per gli altri studenti. Knowunity è PERFETTA
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Maria Doro
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I limiti sono uno strumento fondamentale per capire il comportamento delle funzioni quando ci avviciniamo a un punto specifico. Studieremo i diversi tipi di discontinuità e i teoremi che ci aiutano a calcolare e confrontare i limiti.
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Quando una funzione non è continua in un punto, può presentare tre tipi di discontinuità. La discontinuità di prima specie (o salto) si verifica quando i limiti destro e sinistro esistono ma sono diversi - immagina una funzione che "salta" da un valore all'altro.
La discontinuità di seconda specie è più drastica: almeno uno dei limiti laterali non esiste o vale infinito. È come se la funzione "esplodesse" in quel punto.
La discontinuità di terza specie è quella più "gentile" - il limite esiste, ma o la funzione non è definita nel punto, oppure il valore della funzione è diverso dal limite. Si chiama eliminabile perché potresti "aggiustare" la funzione ridefinendola in quel punto.
Il teorema di permanenza del segno è super utile: se il limite di una funzione è positivo, allora la funzione sarà positiva in un intorno del punto. È come dire che se una funzione "tende" verso qualcosa di positivo, deve essere positiva anche nei dintorni.
💡 Tip: Per riconoscere il tipo di discontinuità, calcola sempre prima i limiti laterali!
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Il teorema dei due carabinieri è uno dei più potenti per calcolare limiti difficili. Se hai una funzione "intrappolata" tra due altre che hanno lo stesso limite, anche la funzione nel mezzo avrà quello stesso limite. Immagina un prigioniero scortato da due carabinieri che vanno nella stessa direzione!
Il teorema di limitatezza locale ci dice che se moltiplichi una funzione limitata per una che tende a zero, il risultato tende a zero. È come moltiplicare un numero "controllato" per qualcosa che diventa sempre più piccolo.
Il criterio di non esistenza è perfetto per dimostrare che un limite non esiste: basta trovare due successioni che convergono allo stesso punto ma danno limiti diversi per la funzione.
💡 Strategia: Usa i due carabinieri quando hai forme indeterminate difficili da risolvere!
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Il teorema del cambio di variabile ti permette di semplificare limiti complicati sostituendo una parte della funzione con una nuova variabile. È come cambiare prospettiva per vedere meglio il problema - spesso rende tutto più chiaro!
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Altri limiti super utili includono il limite dell'esponenziale /x = 1, quello del logaritmo log/x = 1, e il celebre limite di Nepero ^x = e. Memorizzali bene perché li userai continuamente!
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Il teorema di Weierstrass è una garanzia matematica incredibile: ogni funzione continua su un intervallo chiuso e limitato ha sempre un massimo e un minimo assoluti. È come dire che in una gara con un numero finito di partecipanti, ci sarà sempre un primo e un ultimo classificato!
La variante del teorema è ancora più interessante: se una funzione continua "va all'infinito" agli estremi, allora deve avere almeno un punto di minimo da qualche parte. Immagina una vallata che si estende all'infinito - da qualche parte ci deve essere il punto più basso!
Il teorema di esistenza degli zeri (o teorema di Bolzano) ti assicura che se una funzione continua cambia segno in un intervallo, allora da qualche parte attraversa l'asse x. È il principio dietro molti metodi numerici per trovare le radici delle equazioni.
Questo teorema è fondamentale per dimostrare l'esistenza di soluzioni senza necessariamente trovarle esplicitamente.
💡 Applicazione pratica: Usa il teorema degli zeri per dimostrare che un'equazione ha soluzione, anche se non riesci a calcolarla!
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Francesca
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Knowunity è un applicazione fantastica,considerando che ha degli schemi veramente molto carini e sfiziosi e che ci sono dei quiz,oltre al fatto che questa cosa dell intelligenza artificiale "school gpt" è almeno per me molto utile, perché a differenza di Chatgpt ti da le spiegazioni, ti spiega ciò che non è chiaro! Posso studiare più velocemente tramite gli schemi e che posso pubblicare io stessa gli schemi è una funzione utilissima per gli altri studenti. Knowunity è PERFETTA
Aurora
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Martina
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