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Introduzione ai Limiti Matematici

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Giorgia Fasola

@giorgiafasola

I limiti sono uno dei concetti più importanti del calcolo... Mostra di più

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# Limiti lim f(x)-l LIMITE quando x Tende a xo, f(x) Tende a l TENDERE QNvicinarsi DESTRO se fús Tenda a I quando x si avvicina a Xo per va

Limiti e Asintoti

I limiti ti dicono verso quale valore tende una funzione quando la variabile x si avvicina a un certo punto. Quando scriviamo lim⁡x→x0f(x)=l\lim_{x \to x_0} f(x) = l, stiamo dicendo che f(x) si avvicina sempre di più al valore l quando x si avvicina a x0x_0.

Puoi avvicinarti a un punto da destra con valori maggiori: $x > x_0$ o da sinistra con valori minori: $x < x_0$. Questi si chiamano limite destro e limite sinistro.

Gli asintoti sono linee che la funzione si avvicina ma non tocca mai. Un asintoto verticale x=x0x = x_0 si ha quando la funzione tende a infinito, mentre un asintoto orizzontale y=ly = l si ha quando la funzione tende a un valore fisso l.

Ricorda: I punti di accumulazione sono fondamentali per definire i limiti - devono avere infiniti elementi dell'insieme nelle loro vicinanze.

# Limiti lim f(x)-l LIMITE quando x Tende a xo, f(x) Tende a l TENDERE QNvicinarsi DESTRO se fús Tenda a I quando x si avvicina a Xo per va

Continuità e Limiti delle Funzioni Elementari

Una funzione è continua in un punto quando lim⁡x→x0f(x)=f(x0)\lim_{x \to x_0} f(x) = f(x_0). Praticamente significa che puoi disegnare la funzione senza staccare la matita dal foglio!

Le funzioni elementari hanno comportamenti specifici agli estremi. Ad esempio, 1x\frac{1}{x} tende a +∞+\infty quando x si avvicina a 0 da destra, mentre tende a −∞-\infty da sinistra. Le funzioni esponenziali axa^x crescono velocissimo verso +∞+\infty, mentre i logaritmi crescono molto lentamente.

Le funzioni goniometriche come sin x e cos x sono periodiche, quindi non hanno limite quando x tende a infinito. Invece, le funzioni arcotangente hanno limiti ben definiti: ±π2\pm\frac{\pi}{2}.

Attenzione: Le forme di indecisione come 00\frac{0}{0} o ∞∞\frac{\infty}{\infty} richiedono tecniche speciali per essere risolte!

# Limiti lim f(x)-l LIMITE quando x Tende a xo, f(x) Tende a l TENDERE QNvicinarsi DESTRO se fús Tenda a I quando x si avvicina a Xo per va

Limiti Notevoli Fondamentali

I limiti notevoli sono formule preconfezionate che ti salvano un sacco di tempo nei calcoli. Il più famoso è lim⁡x→0sin⁡xx=1\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1, che è la base per molti altri limiti trigonometrici.

Un altro limite super importante è lim⁡x→0(1+x)1x=e\lim_{x \to 0} (1 + x)^{\frac{1}{x}} = e, che definisce il numero di Eulero. Da questo derivano tutti i limiti con esponenziali e logaritmi naturali.

Memorizza questi pattern: lim⁡x→0ex−1x=1\lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{x} = 1 e lim⁡x→0ln⁡(1+x)x=1\lim_{x \to 0} \frac{\ln(1 + x)}{x} = 1. Una volta che conosci la forma base, puoi adattarla sostituendo x con qualsiasi espressione che tende a zero.

Trucco: Quando vedi una forma che assomiglia a un limite notevole, prova a manipolare l'espressione per farla diventare identica!

# Limiti lim f(x)-l LIMITE quando x Tende a xo, f(x) Tende a l TENDERE QNvicinarsi DESTRO se fús Tenda a I quando x si avvicina a Xo per va

Gerarchie degli Infiniti e Infinitesimi

Quando due funzioni tendono entrambe a infinito, non crescono necessariamente alla stessa velocità. Esiste una gerarchia precisa: le funzioni esponenziali axa^x crescono più velocemente delle potenze xαx^\alpha, che a loro volta crescono più velocemente dei logaritmi log⁡ax\log_a x.

Per confrontare due infiniti, calcoli lim⁡x→∞f(x)g(x)\lim_{x \to \infty} \frac{f(x)}{g(x)}. Se il limite è 0, f(x) è di ordine inferiore; se è infinito, f(x) è di ordine superiore; se è un numero finito, sono dello stesso ordine.

Gli infinitesimi funzionano al contrario: se una funzione tende a zero più velocemente di un'altra, diciamo che è di ordine superiore. Questo concetto ti aiuta a capire quale termine domina in una somma o in un prodotto.

Memoria: Ricorda la regola "EsPoLog" - Esponenziale batte Potenza, Potenza batte Logaritmo!

# Limiti lim f(x)-l LIMITE quando x Tende a xo, f(x) Tende a l TENDERE QNvicinarsi DESTRO se fús Tenda a I quando x si avvicina a Xo per va


Pensavamo che non l'avreste mai chiesto....

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Il nostro assistente AI è costruito specificamente per le esigenze degli studenti. Sulla base dei milioni di contenuti presenti sulla piattaforma, possiamo fornire agli studenti risposte davvero significative e pertinenti. Ma non si tratta solo di risposte, l'assistente è in grado di guidare gli studenti attraverso le loro sfide quotidiane di studio, con piani di studio personalizzati, quiz o contenuti nella chat e una personalizzazione al 100% basata sulle competenze e sugli sviluppi degli studenti.

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L'applicazione è molto facile da usare e ben progettata. Finora ho trovato tutto quello che cercavo e ho potuto imparare molto dalle presentazioni! Utilizzerò sicuramente l'app per i compiti in classe! È molto utile anche come fonte di ispirazione.

Stefano S

utente iOS

Questa applicazione è davvero grande! Ci sono tantissimi appunti e aiuti con lo studio [...]. La mia materia problematica, per esempio, è il francese e l'app ha così tante opzioni per aiutarmi. Grazie a questa app ho migliorato il mio francese. La consiglio a tutti.

Samantha Klich

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Wow, sono davvero stupita. Ho appena provato l'app perché l'ho vista pubblicizzata molte volte e sono rimasta assolutamente sbalordita. Questa app è L'AIUTO che cercate per la scuola e soprattutto offre tantissime cose, come allenamenti e schede, che a me personalmente sono state MOLTO utili.

Anna

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È bellissima questa app, la adoro. È utilissima per lo studio e mi aiuta molto, anzi moltissimo, ma soprattutto mi aiutano molto i quiz, per memorizzare anche quello che non sapevo

Anastasia

utente Android

Fantastica per qualsiasi materia avere gli appunti anche di altre persone è molto utile perchè posso confrontarmi e vedere come migliorarmi. con i quiz riesco ad apprendere al meglio.

Francesca

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moooolto utile,gli appunti sono belli e funzionanti,schoolGPT da dei consigli formidabili!!

Marianna

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L'applicazione è semplicemente fantastica! Tutto ciò che devo fare è inserire l'argomento nella barra di ricerca e ottengo la risposta molto velocemente. Non devo guardare 10 video di YouTube per capire qualcosa, quindi risparmio tempo. Consigliatissima!

Sudenaz Ocak

utente Android

A scuola andavo malissimo in matematica, ma grazie a questa applicazione ora vado meglio. Vi sono molto grato per aver creato questa app.

Greenlight Bonnie

utente Android

Knowunity è un applicazione fantastica,considerando che ha degli schemi veramente molto carini e sfiziosi e che ci sono dei quiz,oltre al fatto che questa cosa dell intelligenza artificiale "school gpt" è almeno per me molto utile, perché a differenza di Chatgpt ti da le spiegazioni, ti spiega ciò che non è chiaro! Posso studiare più velocemente tramite gli schemi e che posso pubblicare io stessa gli schemi è una funzione utilissima per gli altri studenti. Knowunity è PERFETTA

Aurora

utente Android

L’app funziona benissimo e puoi trovare qualsiasi tipo di informazione. Non ho l’abbonamento ma la parte gratuita è sufficiente per uno studio approfondito.

Martina

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in questi ultimi mesi di scuola dove il tempo è ormai poco, mi sta aiutando molto perché piuttosto che farmi io gli schemi su quello che leggo sul libro guardo questi già fatti e li uso come ripasso piuttosto che rileggermi tutto il libro

Chiara

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Andrea

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Questa applicazione è davvero grande! Ci sono tantissimi appunti e aiuti con lo studio [...]. La mia materia problematica, per esempio, è il francese e l'app ha così tante opzioni per aiutarmi. Grazie a questa app ho migliorato il mio francese. La consiglio a tutti.

Samantha Klich

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Wow, sono davvero stupita. Ho appena provato l'app perché l'ho vista pubblicizzata molte volte e sono rimasta assolutamente sbalordita. Questa app è L'AIUTO che cercate per la scuola e soprattutto offre tantissime cose, come allenamenti e schede, che a me personalmente sono state MOLTO utili.

Anna

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Anastasia

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Sudenaz Ocak

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Aurora

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Introduzione ai Limiti Matematici

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I limiti sono uno dei concetti più importanti del calcolo e ti permettono di capire come si comporta una funzione quando ci avviciniamo a un determinato punto. Imparerai a riconoscere i diversi tipi di limiti, calcolarli e usarli per analizzare... Mostra di più

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I limiti ti dicono verso quale valore tende una funzione quando la variabile x si avvicina a un certo punto. Quando scriviamo lim⁡x→x0f(x)=l\lim_{x \to x_0} f(x) = l, stiamo dicendo che f(x) si avvicina sempre di più al valore l quando x si avvicina a x0x_0.

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Memorizza questi pattern: lim⁡x→0ex−1x=1\lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{x} = 1 e lim⁡x→0ln⁡(1+x)x=1\lim_{x \to 0} \frac{\ln(1 + x)}{x} = 1. Una volta che conosci la forma base, puoi adattarla sostituendo x con qualsiasi espressione che tende a zero.

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Quando due funzioni tendono entrambe a infinito, non crescono necessariamente alla stessa velocità. Esiste una gerarchia precisa: le funzioni esponenziali axa^x crescono più velocemente delle potenze xαx^\alpha, che a loro volta crescono più velocemente dei logaritmi log⁡ax\log_a x.

Per confrontare due infiniti, calcoli lim⁡x→∞f(x)g(x)\lim_{x \to \infty} \frac{f(x)}{g(x)}. Se il limite è 0, f(x) è di ordine inferiore; se è infinito, f(x) è di ordine superiore; se è un numero finito, sono dello stesso ordine.

Gli infinitesimi funzionano al contrario: se una funzione tende a zero più velocemente di un'altra, diciamo che è di ordine superiore. Questo concetto ti aiuta a capire quale termine domina in una somma o in un prodotto.

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Wow, sono davvero stupita. Ho appena provato l'app perché l'ho vista pubblicizzata molte volte e sono rimasta assolutamente sbalordita. Questa app è L'AIUTO che cercate per la scuola e soprattutto offre tantissime cose, come allenamenti e schede, che a me personalmente sono state MOLTO utili.

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utente Android

moooolto utile,gli appunti sono belli e funzionanti,schoolGPT da dei consigli formidabili!!

Marianna

utente Android

L'applicazione è semplicemente fantastica! Tutto ciò che devo fare è inserire l'argomento nella barra di ricerca e ottengo la risposta molto velocemente. Non devo guardare 10 video di YouTube per capire qualcosa, quindi risparmio tempo. Consigliatissima!

Sudenaz Ocak

utente Android

A scuola andavo malissimo in matematica, ma grazie a questa applicazione ora vado meglio. Vi sono molto grato per aver creato questa app.

Greenlight Bonnie

utente Android

Knowunity è un applicazione fantastica,considerando che ha degli schemi veramente molto carini e sfiziosi e che ci sono dei quiz,oltre al fatto che questa cosa dell intelligenza artificiale "school gpt" è almeno per me molto utile, perché a differenza di Chatgpt ti da le spiegazioni, ti spiega ciò che non è chiaro! Posso studiare più velocemente tramite gli schemi e che posso pubblicare io stessa gli schemi è una funzione utilissima per gli altri studenti. Knowunity è PERFETTA

Aurora

utente Android

L’app funziona benissimo e puoi trovare qualsiasi tipo di informazione. Non ho l’abbonamento ma la parte gratuita è sufficiente per uno studio approfondito.

Martina

utente iOS

in questi ultimi mesi di scuola dove il tempo è ormai poco, mi sta aiutando molto perché piuttosto che farmi io gli schemi su quello che leggo sul libro guardo questi già fatti e li uso come ripasso piuttosto che rileggermi tutto il libro

Chiara

utente IOS

Questa app è una delle migliori, nient’altro da dire.

Andrea

utente iOS