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1543
•
5 dic 2025
•
Erika De Michele
@erikademichele_rnhl
La topologia è lo "studio dei luoghi" e si concentra... Mostra di più
Hai mai pensato perché esistono i numeri irrazionali? L'insieme Q (numeri razionali) è incompleto - lascia spazi vuoti sulla retta! Per questo motivo abbiamo bisogno dell'insieme R (numeri reali), che include sia razionali che irrazionali e riempie completamente la retta numerica.
Un numero irrazionale ha una rappresentazione decimale illimitata e non periodica - come π o √2. Gli intervalli sono sottoinsiemi continui di numeri reali che possono essere aperti o chiusi.
Gli intervalli limitati si scrivono così: (chiuso), (a,b) (aperto), oppure misti come . Il maggiorante è un numero maggiore o uguale a tutti gli elementi dell'insieme, mentre il minorante è minore o uguale a tutti.
Ricorda: L'estremo superiore (Sup A) è il più piccolo dei maggioranti, mentre l'estremo inferiore (inf A) è il più grande dei minoranti!
La differenza tra estremo superiore e massimo è fondamentale! Il massimo esiste solo quando l'estremo superiore appartiene all'insieme stesso. Stesso discorso per il minimo e l'estremo inferiore.
Quando un insieme non ha limiti, usiamo +∞ e -∞. Gli intervalli illimitati come ci permettono di descrivere insiemi che si estendono all'infinito in una direzione.
L'intorno di un punto x₀ è qualsiasi intervallo aperto che contiene quel punto. Quando parliamo di intorno circolare, il punto si trova esattamente al centro dell'intervallo.
Tip: Negli intervalli illimitati, usa sempre le parentesi tonde per +∞ e -∞ perché l'infinito non è un numero reale!
Una funzione f: D → C associa ad ogni elemento del dominio uno e un solo elemento del codominio. Pensa alla funzione come una macchina: inserisci una x e ottieni sempre una sola y!
Il dominio è l'insieme di partenza (valori che puoi inserire), mentre il codominio è l'insieme di arrivo. La regola fondamentale: ad una x corrisponde una sola y, ma ad una y possono corrispondere più x.
Esistono diversi tipi di funzioni base: lineari , quadratiche , con esponenti pari o dispari, e funzioni con radici. Ognuna ha il suo grafico caratteristico e le sue proprietà.
Attenzione: Nelle funzioni quadratiche, il segno di 'a' determina se la parabola è rivolta verso l'alto (a > 0) o verso il basso (a < 0)!
Ogni funzione ha una variabile indipendente (x) che scegli liberamente, e una variabile dipendente (y) che dipende dalla x. Le funzioni si possono scrivere in forma esplicita o forma implicita .
Il dominio è l'insieme di tutti i valori che puoi sostituire alla x, mentre l'immagine (o codominio) è l'insieme di tutti i valori che può assumere y. L'immagine di un elemento x è il valore f(x), mentre la controimmagine di y è il valore x che produce quella y.
Per trovare il dominio devi individuare i valori "proibiti" della x - quelli che rendono impossibile il calcolo della funzione.
Esempio pratico: Nella funzione y = 1/x, il dominio è ℝ - {0} perché non puoi dividere per zero!
Le funzioni algebriche si dividono in tre categorie principali. Le razionali intere sono polinomi con dominio in tutto ℝ. Le razionali fratte hanno la forma A(x)/B(x) con dominio {x ∈ ℝ | B(x) ≠ 0}. Le irrazionali contengono radici: se l'indice è pari, serve f(x) ≥ 0; se è dispari, il dominio è tutto ℝ.
Le funzioni trascendenti includono quelle goniometriche (sen x, cos x, tg x), esponenziali e logaritmiche . Ogni tipo ha le sue regole per il dominio.
Per studiare una funzione segui questi passi: 1) Trova il dominio, 2) Calcola le intersezioni con gli assi, 3) Studia il segno, 4) Verifica le simmetrie, 5) Trova gli asintoti, 6) Individua massimi, minimi e flessi.
Ricorda: Le funzioni goniometriche sono periodiche - si ripetono con un certo intervallo!
Una funzione è crescente quando, prendendo due punti qualsiasi x₁ < x₂ del dominio, risulta anche f(x₁) ≤ f(x₂). In pratica, più vai a destra sull'asse x, più sali (o rimani allo stesso livello) sull'asse y.
È strettamente crescente se f(x₁) < f(x₂), cioè sali sempre senza mai rimanere piatta. Una funzione è decrescente quando x₁ ≤ x₂ implica f(x₁) ≥ f(x₂) - più vai a destra, più scendi.
Per verificare se una funzione è crescente o decrescente, prendi due punti specifici e controlla se la proprietà è rispettata. Ad esempio, per y = 2x + 1, se x₁ = 1 e x₂ = 3, ottieni f(1) = 3 e f(3) = 7, quindi 1 < 3 ⇒ 3 < 7.
Visualizza: Sul grafico, una funzione crescente "sale" da sinistra a destra, mentre una decrescente "scende"!
Una funzione è pari quando f(x) = f - l'immagine di un numero è uguale all'immagine del suo opposto. Il grafico di una funzione pari è simmetrico rispetto all'asse y. Un esempio classico è f(x) = x².
Una funzione è dispari quando f(x) = -f - quello che succede a destra viene "ribaltato due volte" a sinistra. Il grafico è simmetrico rispetto all'origine. Un esempio è f(x) = x³.
Per verificare se una funzione è pari o dispari, sostituisci x con -x nell'equazione originale. Se ottieni la stessa funzione, è pari; se ottieni l'opposta, è dispari; se non vale né l'una né l'altra, non ha simmetrie particolari.
Trucco: Le potenze pari danno funzioni pari, le potenze dispari danno funzioni dispari!
I limiti ci aiutano a capire il comportamento di una funzione quando ci avviciniamo a punti "problematici" o all'infinito. Prendiamo y = /: per x = 3 otteniamo 0/0, che è indefinito.
Ma cosa succede intorno a 3? Provando con x = 2,9 otteniamo circa 5,9, che si avvicina a 6. I limiti ci permettono di dire che quando x tende a 3, la funzione tende a 6.
Per le funzioni esponenziali come y = 2ˣ, quando x → -∞ la funzione tende a 0, mentre quando x → +∞ la funzione tende a +∞. I limiti sono fondamentali per calcolare gli asintoti - quelle rette che il grafico "sfiora" ma non tocca mai.
Concetto chiave: I limiti ci dicono dove "va" una funzione anche quando non può arrivarci direttamente!
Osservando la funzione y = 2ˣ con valori sempre più negativi, notiamo che la y si avvicina sempre più a 0 rimanendo positiva. Questo si scrive: lim 2ˣ = 0.
Quando x va verso +∞, la funzione cresce senza limiti: lim 2ˣ = +∞. Questi calcoli ci mostrano il comportamento asintotico della funzione.
I limiti destro e sinistro sono cruciali quando una funzione ha comportamenti diversi da una parte e dall'altra di un punto. Si indicano con x → 0⁺ (da destra) e x → 0⁻ (da sinistra). Se i due limiti sono diversi, il limite nel punto non esiste.
Strategia: Per capire un limite all'infinito, prova con numeri sempre più grandi (o piccoli) e osserva dove "va" la funzione!
Il nostro assistente AI è costruito specificamente per le esigenze degli studenti. Sulla base dei milioni di contenuti presenti sulla piattaforma, possiamo fornire agli studenti risposte davvero significative e pertinenti. Ma non si tratta solo di risposte, l'assistente è in grado di guidare gli studenti attraverso le loro sfide quotidiane di studio, con piani di studio personalizzati, quiz o contenuti nella chat e una personalizzazione al 100% basata sulle competenze e sugli sviluppi degli studenti.
È possibile scaricare l'applicazione dal Google Play Store e dall'Apple App Store.
Sì, hai accesso completamente gratuito a tutti i contenuti nell'app e puoi chattare o seguire i Creatori in qualsiasi momento. Sbloccherai nuove funzioni crescendo il tuo numero di follower. Inoltre, offriamo Knowunity Premium, che consente di studiare senza alcun limite!!
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Google Play
L'applicazione è molto facile da usare e ben progettata. Finora ho trovato tutto quello che cercavo e ho potuto imparare molto dalle presentazioni! Utilizzerò sicuramente l'app per i compiti in classe! È molto utile anche come fonte di ispirazione.
Stefano S
utente iOS
Questa applicazione è davvero grande! Ci sono tantissimi appunti e aiuti con lo studio [...]. La mia materia problematica, per esempio, è il francese e l'app ha così tante opzioni per aiutarmi. Grazie a questa app ho migliorato il mio francese. La consiglio a tutti.
Samantha Klich
utente Android
Wow, sono davvero stupita. Ho appena provato l'app perché l'ho vista pubblicizzata molte volte e sono rimasta assolutamente sbalordita. Questa app è L'AIUTO che cercate per la scuola e soprattutto offre tantissime cose, come allenamenti e schede, che a me personalmente sono state MOLTO utili.
Anna
utente iOS
È bellissima questa app, la adoro. È utilissima per lo studio e mi aiuta molto, anzi moltissimo, ma soprattutto mi aiutano molto i quiz, per memorizzare anche quello che non sapevo
Anastasia
utente Android
Fantastica per qualsiasi materia avere gli appunti anche di altre persone è molto utile perchè posso confrontarmi e vedere come migliorarmi. con i quiz riesco ad apprendere al meglio.
Francesca
utente Android
moooolto utile,gli appunti sono belli e funzionanti,schoolGPT da dei consigli formidabili!!
Marianna
utente Android
L'applicazione è semplicemente fantastica! Tutto ciò che devo fare è inserire l'argomento nella barra di ricerca e ottengo la risposta molto velocemente. Non devo guardare 10 video di YouTube per capire qualcosa, quindi risparmio tempo. Consigliatissima!
Sudenaz Ocak
utente Android
A scuola andavo malissimo in matematica, ma grazie a questa applicazione ora vado meglio. Vi sono molto grato per aver creato questa app.
Greenlight Bonnie
utente Android
Knowunity è un applicazione fantastica,considerando che ha degli schemi veramente molto carini e sfiziosi e che ci sono dei quiz,oltre al fatto che questa cosa dell intelligenza artificiale "school gpt" è almeno per me molto utile, perché a differenza di Chatgpt ti da le spiegazioni, ti spiega ciò che non è chiaro! Posso studiare più velocemente tramite gli schemi e che posso pubblicare io stessa gli schemi è una funzione utilissima per gli altri studenti. Knowunity è PERFETTA
Aurora
utente Android
L’app funziona benissimo e puoi trovare qualsiasi tipo di informazione. Non ho l’abbonamento ma la parte gratuita è sufficiente per uno studio approfondito.
Martina
utente iOS
in questi ultimi mesi di scuola dove il tempo è ormai poco, mi sta aiutando molto perché piuttosto che farmi io gli schemi su quello che leggo sul libro guardo questi già fatti e li uso come ripasso piuttosto che rileggermi tutto il libro
Chiara
utente IOS
Questa app è una delle migliori, nient’altro da dire.
Andrea
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Sudenaz Ocak
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A scuola andavo malissimo in matematica, ma grazie a questa applicazione ora vado meglio. Vi sono molto grato per aver creato questa app.
Greenlight Bonnie
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Knowunity è un applicazione fantastica,considerando che ha degli schemi veramente molto carini e sfiziosi e che ci sono dei quiz,oltre al fatto che questa cosa dell intelligenza artificiale "school gpt" è almeno per me molto utile, perché a differenza di Chatgpt ti da le spiegazioni, ti spiega ciò che non è chiaro! Posso studiare più velocemente tramite gli schemi e che posso pubblicare io stessa gli schemi è una funzione utilissima per gli altri studenti. Knowunity è PERFETTA
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Martina
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in questi ultimi mesi di scuola dove il tempo è ormai poco, mi sta aiutando molto perché piuttosto che farmi io gli schemi su quello che leggo sul libro guardo questi già fatti e li uso come ripasso piuttosto che rileggermi tutto il libro
Chiara
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Questa app è una delle migliori, nient’altro da dire.
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Erika De Michele
@erikademichele_rnhl
La topologia è lo "studio dei luoghi" e si concentra sugli intervalli dei numeri reali. Questo argomento ti aiuterà a capire come funzionano le funzioni e i loro limiti - concetti fondamentali per l'analisi matematica!
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Hai mai pensato perché esistono i numeri irrazionali? L'insieme Q (numeri razionali) è incompleto - lascia spazi vuoti sulla retta! Per questo motivo abbiamo bisogno dell'insieme R (numeri reali), che include sia razionali che irrazionali e riempie completamente la retta numerica.
Un numero irrazionale ha una rappresentazione decimale illimitata e non periodica - come π o √2. Gli intervalli sono sottoinsiemi continui di numeri reali che possono essere aperti o chiusi.
Gli intervalli limitati si scrivono così: (chiuso), (a,b) (aperto), oppure misti come . Il maggiorante è un numero maggiore o uguale a tutti gli elementi dell'insieme, mentre il minorante è minore o uguale a tutti.
Ricorda: L'estremo superiore (Sup A) è il più piccolo dei maggioranti, mentre l'estremo inferiore (inf A) è il più grande dei minoranti!
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Quando un insieme non ha limiti, usiamo +∞ e -∞. Gli intervalli illimitati come ci permettono di descrivere insiemi che si estendono all'infinito in una direzione.
L'intorno di un punto x₀ è qualsiasi intervallo aperto che contiene quel punto. Quando parliamo di intorno circolare, il punto si trova esattamente al centro dell'intervallo.
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Esistono diversi tipi di funzioni base: lineari , quadratiche , con esponenti pari o dispari, e funzioni con radici. Ognuna ha il suo grafico caratteristico e le sue proprietà.
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Ogni funzione ha una variabile indipendente (x) che scegli liberamente, e una variabile dipendente (y) che dipende dalla x. Le funzioni si possono scrivere in forma esplicita o forma implicita .
Il dominio è l'insieme di tutti i valori che puoi sostituire alla x, mentre l'immagine (o codominio) è l'insieme di tutti i valori che può assumere y. L'immagine di un elemento x è il valore f(x), mentre la controimmagine di y è il valore x che produce quella y.
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Le funzioni trascendenti includono quelle goniometriche (sen x, cos x, tg x), esponenziali e logaritmiche . Ogni tipo ha le sue regole per il dominio.
Per studiare una funzione segui questi passi: 1) Trova il dominio, 2) Calcola le intersezioni con gli assi, 3) Studia il segno, 4) Verifica le simmetrie, 5) Trova gli asintoti, 6) Individua massimi, minimi e flessi.
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Una funzione è crescente quando, prendendo due punti qualsiasi x₁ < x₂ del dominio, risulta anche f(x₁) ≤ f(x₂). In pratica, più vai a destra sull'asse x, più sali (o rimani allo stesso livello) sull'asse y.
È strettamente crescente se f(x₁) < f(x₂), cioè sali sempre senza mai rimanere piatta. Una funzione è decrescente quando x₁ ≤ x₂ implica f(x₁) ≥ f(x₂) - più vai a destra, più scendi.
Per verificare se una funzione è crescente o decrescente, prendi due punti specifici e controlla se la proprietà è rispettata. Ad esempio, per y = 2x + 1, se x₁ = 1 e x₂ = 3, ottieni f(1) = 3 e f(3) = 7, quindi 1 < 3 ⇒ 3 < 7.
Visualizza: Sul grafico, una funzione crescente "sale" da sinistra a destra, mentre una decrescente "scende"!
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Una funzione è pari quando f(x) = f - l'immagine di un numero è uguale all'immagine del suo opposto. Il grafico di una funzione pari è simmetrico rispetto all'asse y. Un esempio classico è f(x) = x².
Una funzione è dispari quando f(x) = -f - quello che succede a destra viene "ribaltato due volte" a sinistra. Il grafico è simmetrico rispetto all'origine. Un esempio è f(x) = x³.
Per verificare se una funzione è pari o dispari, sostituisci x con -x nell'equazione originale. Se ottieni la stessa funzione, è pari; se ottieni l'opposta, è dispari; se non vale né l'una né l'altra, non ha simmetrie particolari.
Trucco: Le potenze pari danno funzioni pari, le potenze dispari danno funzioni dispari!
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I limiti ci aiutano a capire il comportamento di una funzione quando ci avviciniamo a punti "problematici" o all'infinito. Prendiamo y = /: per x = 3 otteniamo 0/0, che è indefinito.
Ma cosa succede intorno a 3? Provando con x = 2,9 otteniamo circa 5,9, che si avvicina a 6. I limiti ci permettono di dire che quando x tende a 3, la funzione tende a 6.
Per le funzioni esponenziali come y = 2ˣ, quando x → -∞ la funzione tende a 0, mentre quando x → +∞ la funzione tende a +∞. I limiti sono fondamentali per calcolare gli asintoti - quelle rette che il grafico "sfiora" ma non tocca mai.
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Osservando la funzione y = 2ˣ con valori sempre più negativi, notiamo che la y si avvicina sempre più a 0 rimanendo positiva. Questo si scrive: lim 2ˣ = 0.
Quando x va verso +∞, la funzione cresce senza limiti: lim 2ˣ = +∞. Questi calcoli ci mostrano il comportamento asintotico della funzione.
I limiti destro e sinistro sono cruciali quando una funzione ha comportamenti diversi da una parte e dall'altra di un punto. Si indicano con x → 0⁺ (da destra) e x → 0⁻ (da sinistra). Se i due limiti sono diversi, il limite nel punto non esiste.
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L'applicazione è molto facile da usare e ben progettata. Finora ho trovato tutto quello che cercavo e ho potuto imparare molto dalle presentazioni! Utilizzerò sicuramente l'app per i compiti in classe! È molto utile anche come fonte di ispirazione.
Stefano S
utente iOS
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Samantha Klich
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Wow, sono davvero stupita. Ho appena provato l'app perché l'ho vista pubblicizzata molte volte e sono rimasta assolutamente sbalordita. Questa app è L'AIUTO che cercate per la scuola e soprattutto offre tantissime cose, come allenamenti e schede, che a me personalmente sono state MOLTO utili.
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Anastasia
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Fantastica per qualsiasi materia avere gli appunti anche di altre persone è molto utile perchè posso confrontarmi e vedere come migliorarmi. con i quiz riesco ad apprendere al meglio.
Francesca
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moooolto utile,gli appunti sono belli e funzionanti,schoolGPT da dei consigli formidabili!!
Marianna
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Sudenaz Ocak
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A scuola andavo malissimo in matematica, ma grazie a questa applicazione ora vado meglio. Vi sono molto grato per aver creato questa app.
Greenlight Bonnie
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Knowunity è un applicazione fantastica,considerando che ha degli schemi veramente molto carini e sfiziosi e che ci sono dei quiz,oltre al fatto che questa cosa dell intelligenza artificiale "school gpt" è almeno per me molto utile, perché a differenza di Chatgpt ti da le spiegazioni, ti spiega ciò che non è chiaro! Posso studiare più velocemente tramite gli schemi e che posso pubblicare io stessa gli schemi è una funzione utilissima per gli altri studenti. Knowunity è PERFETTA
Aurora
utente Android
L’app funziona benissimo e puoi trovare qualsiasi tipo di informazione. Non ho l’abbonamento ma la parte gratuita è sufficiente per uno studio approfondito.
Martina
utente iOS
in questi ultimi mesi di scuola dove il tempo è ormai poco, mi sta aiutando molto perché piuttosto che farmi io gli schemi su quello che leggo sul libro guardo questi già fatti e li uso come ripasso piuttosto che rileggermi tutto il libro
Chiara
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Anna
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Francesca
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Sudenaz Ocak
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Greenlight Bonnie
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