Comprensione dei Limiti: Definizioni ed Esempi Illustrativi

Giulia Rodari

26/11/2025

Matematica

I LIMITI

Materie

Matematica

Relazioni e funzioni

Limiti e continuità

Concetto di continuità e discontinuità di una funzione

2582

•

26 nov 2025

•

5 pagine

Comprensione dei Limiti: Definizioni ed Esempi Illustrativi

Name: Knowunity
Brand: Knowunity
Rating: 4.6 (95900 reviews)

Giulia Rodari

@giuliarodari_.

I limiti sono uno dei concetti più importanti dell'analisi matematica... Mostra di più

1 / 5

Linfit
INTORNO DI UN NUMERO O PUNTO: si indica con Ixo
INTORNO COMPLETO: dato un numero (punto) xo si definisce intorno completo circolare l

Intorni e Punti di Accumulazione

Prima di affrontare i limiti, devi padroneggiare il concetto di intorno. Pensa all'intorno come a un "quartiere" attorno a un punto.

L'intorno completo di un punto $x_0$ è l'intervallo $(x_0 - \delta; x_0 + \delta)$ - praticamente tutti i punti che stanno a distanza minore di $\delta$ da $x_0$ . Gli intorni destro e sinistro considerano solo i punti da una parte del punto.

Per l'infinito, l'intorno di $+\infty$ è $(N; +\infty)$ mentre quello di $-\infty$ è $(-\infty; -N)$ . Il punto di accumulazione è un punto attorno al quale si "addensano" infiniti elementi di un insieme - in ogni suo intorno trovi sempre qualche elemento dell'insieme.

💡 Tip: Visualizza sempre gli intorni sulla retta dei numeri reali per capire meglio!

Definizione Formale di Limite

Il limite è il valore a cui tende una funzione quando la variabile si avvicina a un determinato punto. Si scrive $\lim_{x \to p} f(x) = Q$ .

La definizione formale dice che per ogni intorno di $Q$ , esiste un intorno di $p$ tale che se $x$ appartiene all'intorno di $p$ , allora $f(x)$ appartiene all'intorno di $Q$ . Sembra complicato ma il concetto è semplice: la funzione si avvicina sempre di più al valore limite.

Nell'esempio mostrato, la funzione $y = \frac{x-1}{x+1}$ può essere semplificata $dopo aver escluso $x = -1$ dal dominio$ e il limite per $x$ che tende a $-1$ risulta $-2$ .

Limite Finito per x che Tende a Valore Finito

Questo è il caso più "classico" di limite: $\lim_{x \to x_0} f(x) = l$ dove sia $x_0$ che $l$ sono numeri finiti.

La definizione formale usa $\epsilon$ e $\delta$ : per ogni $\epsilon > 0$ (piccolo a piacere), esiste un intorno di $x_0$ tale che $|f(x) - l| < \epsilon$ . In parole semplici: più ti avvicini a $x_0$ , più $f(x)$ si avvicina a $l$ .

L'esempio $\lim_{x \to 1} 2x - 3 = -1$ mostra come verificare un limite: trasformi la disuguaglianza $|2x - 3 - (-1)| < \epsilon$ fino ad ottenere un intorno di $x = 1$ .

Quando $x$ tende all'infinito e il limite è finito, ottieni un asintoto orizzontale - la funzione si "appiattisce" verso quel valore.

💡 Ricorda: Il simbolo $|f(x) - l| < \epsilon$ significa che $f(x)$ sta in un "tubo" di ampiezza $2\epsilon$ attorno al limite $l$ .

Esempi di Limiti Finiti e Infiniti

Gli esempi pratici ti aiutano a capire meglio la teoria. Per $\lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} = 0$ , noti che più $x$ diventa grande, più $\frac{1}{x}$ si avvicina a zero.

Nel limite $\lim_{x \to \infty} \frac{x-1}{x} = 1$ , puoi riscrivere la frazione come $1 - \frac{1}{x}$ : quando $x$ cresce, $\frac{1}{x}$ tende a zero e l'espressione tende a $1$ .

Il limite infinito per x finito $\lim_{x \to 0} \frac{1}{x^2} = +\infty$ rappresenta un asintoto verticale: più ti avvicini a $x = 0$ , più la funzione "esplode" verso l'infinito.

La chiave è sempre la stessa: trasformi le disuguaglianze fino a trovare l'intorno giusto che soddisfa la definizione.

Limite Infinito per x che Tende all'Infinito

Questo caso descrive funzioni che "esplodono" quando $x$ va all'infinito. Hai quattro possibilità: $\lim_{x \to \pm\infty} f(x) = \pm\infty$ .

La definizione usa $M$ invece di $\epsilon$ : per ogni $M > 0$ grande a piacere, esiste un intorno dell'infinito tale che $f(x) > M$ $per limiti $+\infty$$ o $f(x) < -M$ $per limiti $-\infty$$ .

Praticamente significa che la funzione cresce (o decresce) senza limiti. Esempi tipici sono $x^2$ , $e^x$ , o funzioni razionali dove il numeratore ha grado maggiore del denominatore.

Questi limiti sono fondamentali per studiare il comportamento "globale" delle funzioni e capire come si comportano per valori molto grandi di $x$ .

💡 Strategia: Per i limiti all'infinito, concentrati sui termini di grado più alto - sono quelli che "dominano" il comportamento della funzione.

Pensavamo che non l'avreste mai chiesto....

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Il nostro assistente AI è costruito specificamente per le esigenze degli studenti. Sulla base dei milioni di contenuti presenti sulla piattaforma, possiamo fornire agli studenti risposte davvero significative e pertinenti. Ma non si tratta solo di risposte, l'assistente è in grado di guidare gli studenti attraverso le loro sfide quotidiane di studio, con piani di studio personalizzati, quiz o contenuti nella chat e una personalizzazione al 100% basata sulle competenze e sugli sviluppi degli studenti.

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Recensioni dei nostri utenti. Ci adorano - e anche tu, vedrai .

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L'applicazione è molto facile da usare e ben progettata. Finora ho trovato tutto quello che cercavo e ho potuto imparare molto dalle presentazioni! Utilizzerò sicuramente l'app per i compiti in classe! È molto utile anche come fonte di ispirazione.

Stefano S

utente iOS

Questa applicazione è davvero grande! Ci sono tantissimi appunti e aiuti con lo studio [...]. La mia materia problematica, per esempio, è il francese e l'app ha così tante opzioni per aiutarmi. Grazie a questa app ho migliorato il mio francese. La consiglio a tutti.

Samantha Klich

utente Android

Wow, sono davvero stupita. Ho appena provato l'app perché l'ho vista pubblicizzata molte volte e sono rimasta assolutamente sbalordita. Questa app è L'AIUTO che cercate per la scuola e soprattutto offre tantissime cose, come allenamenti e schede, che a me personalmente sono state MOLTO utili.

Anna

utente iOS

È bellissima questa app, la adoro. È utilissima per lo studio e mi aiuta molto, anzi moltissimo, ma soprattutto mi aiutano molto i quiz, per memorizzare anche quello che non sapevo

Anastasia

utente Android

Fantastica per qualsiasi materia avere gli appunti anche di altre persone è molto utile perchè posso confrontarmi e vedere come migliorarmi. con i quiz riesco ad apprendere al meglio.

Francesca

utente Android

moooolto utile,gli appunti sono belli e funzionanti,schoolGPT da dei consigli formidabili!!

Marianna

utente Android

L'applicazione è semplicemente fantastica! Tutto ciò che devo fare è inserire l'argomento nella barra di ricerca e ottengo la risposta molto velocemente. Non devo guardare 10 video di YouTube per capire qualcosa, quindi risparmio tempo. Consigliatissima!

Sudenaz Ocak

utente Android

A scuola andavo malissimo in matematica, ma grazie a questa applicazione ora vado meglio. Vi sono molto grato per aver creato questa app.

Greenlight Bonnie

utente Android

Knowunity è un applicazione fantastica,considerando che ha degli schemi veramente molto carini e sfiziosi e che ci sono dei quiz,oltre al fatto che questa cosa dell intelligenza artificiale "school gpt" è almeno per me molto utile, perché a differenza di Chatgpt ti da le spiegazioni, ti spiega ciò che non è chiaro! Posso studiare più velocemente tramite gli schemi e che posso pubblicare io stessa gli schemi è una funzione utilissima per gli altri studenti. Knowunity è PERFETTA

Aurora

utente Android

L’app funziona benissimo e puoi trovare qualsiasi tipo di informazione. Non ho l’abbonamento ma la parte gratuita è sufficiente per uno studio approfondito.

Martina

utente iOS

in questi ultimi mesi di scuola dove il tempo è ormai poco, mi sta aiutando molto perché piuttosto che farmi io gli schemi su quello che leggo sul libro guardo questi già fatti e li uso come ripasso piuttosto che rileggermi tutto il libro

Chiara

utente IOS

Questa app è una delle migliori, nient’altro da dire.

Andrea

utente iOS

Stefano S

utente iOS

Samantha Klich

utente Android

Anna

utente iOS

È bellissima questa app, la adoro. È utilissima per lo studio e mi aiuta molto, anzi moltissimo, ma soprattutto mi aiutano molto i quiz, per memorizzare anche quello che non sapevo

Anastasia

utente Android

Fantastica per qualsiasi materia avere gli appunti anche di altre persone è molto utile perchè posso confrontarmi e vedere come migliorarmi. con i quiz riesco ad apprendere al meglio.

Francesca

utente Android

moooolto utile,gli appunti sono belli e funzionanti,schoolGPT da dei consigli formidabili!!

Marianna

utente Android

Sudenaz Ocak

utente Android

A scuola andavo malissimo in matematica, ma grazie a questa applicazione ora vado meglio. Vi sono molto grato per aver creato questa app.

Greenlight Bonnie

utente Android

Aurora

utente Android

L’app funziona benissimo e puoi trovare qualsiasi tipo di informazione. Non ho l’abbonamento ma la parte gratuita è sufficiente per uno studio approfondito.

Martina

utente iOS

Chiara

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Questa app è una delle migliori, nient’altro da dire.

Andrea

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Comprensione dei Limiti: Definizioni ed Esempi Illustrativi

Giulia Rodari

@giuliarodari_.

I limiti sono uno dei concetti più importanti dell'analisi matematica - ti permettono di capire come si comporta una funzione quando ci si avvicina a un determinato punto. Imparerai a riconoscere diversi tipi di limiti e a usare la definizione... Mostra di più

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Intorni e Punti di Accumulazione

Prima di affrontare i limiti, devi padroneggiare il concetto di intorno. Pensa all'intorno come a un "quartiere" attorno a un punto.

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Definizione Formale di Limite

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Nell'esempio mostrato, la funzione $y = \frac{x-1}{x+1}$ può essere semplificata $dopo aver escluso $x = -1$ dal dominio$ e il limite per $x$ che tende a $-1$ risulta $-2$ .

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Limite Finito per x che Tende a Valore Finito

Questo è il caso più "classico" di limite: $\lim_{x \to x_0} f(x) = l$ dove sia $x_0$ che $l$ sono numeri finiti.

L'esempio $\lim_{x \to 1} 2x - 3 = -1$ mostra come verificare un limite: trasformi la disuguaglianza $|2x - 3 - (-1)| < \epsilon$ fino ad ottenere un intorno di $x = 1$ .

Quando $x$ tende all'infinito e il limite è finito, ottieni un asintoto orizzontale - la funzione si "appiattisce" verso quel valore.

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Esempi di Limiti Finiti e Infiniti

Gli esempi pratici ti aiutano a capire meglio la teoria. Per $\lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} = 0$ , noti che più $x$ diventa grande, più $\frac{1}{x}$ si avvicina a zero.

Nel limite $\lim_{x \to \infty} \frac{x-1}{x} = 1$ , puoi riscrivere la frazione come $1 - \frac{1}{x}$ : quando $x$ cresce, $\frac{1}{x}$ tende a zero e l'espressione tende a $1$ .

Il limite infinito per x finito $\lim_{x \to 0} \frac{1}{x^2} = +\infty$ rappresenta un asintoto verticale: più ti avvicini a $x = 0$ , più la funzione "esplode" verso l'infinito.

La chiave è sempre la stessa: trasformi le disuguaglianze fino a trovare l'intorno giusto che soddisfa la definizione.

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Limite Infinito per x che Tende all'Infinito

Questo caso descrive funzioni che "esplodono" quando $x$ va all'infinito. Hai quattro possibilità: $\lim_{x \to \pm\infty} f(x) = \pm\infty$ .

La definizione usa $M$ invece di $\epsilon$ : per ogni $M > 0$ grande a piacere, esiste un intorno dell'infinito tale che $f(x) > M$ $per limiti $+\infty$$ o $f(x) < -M$ $per limiti $-\infty$$ .

Praticamente significa che la funzione cresce (o decresce) senza limiti. Esempi tipici sono $x^2$ , $e^x$ , o funzioni razionali dove il numeratore ha grado maggiore del denominatore.

Questi limiti sono fondamentali per studiare il comportamento "globale" delle funzioni e capire come si comportano per valori molto grandi di $x$ .

💡 Strategia: Per i limiti all'infinito, concentrati sui termini di grado più alto - sono quelli che "dominano" il comportamento della funzione.

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