Matematica

Limiti di Funzione e Asintoti

Limiti all'Infinito

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•

Aggiornato Apr 4, 2026

•

5 pagine

Comprensione dei Limiti: Definizioni ed Esempi Illustrativi

Giulia Rodari

@giuliarodari_.

I limiti sono uno dei concetti più importanti dell'analisi matematica... Mostra di più

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$Limiti INTORNO DI UN NUMERO O PUNTO : si indica con $I_{x_0}$ - INTORNO COMPLETO: dato un numero (punto) $x_0$ si definisce intorno comple$

Intorni e Punti di Accumulazione

Prima di affrontare i limiti, devi padroneggiare il concetto di intorno. Pensa all'intorno come a un "quartiere" attorno a un punto.

L'intorno completo di un punto $x_0$ è l'intervallo $(x_0 - \delta; x_0 + \delta)$ - praticamente tutti i punti che stanno a distanza minore di $\delta$ da $x_0$ . Gli intorni destro e sinistro considerano solo i punti da una parte del punto.

Per l'infinito, l'intorno di $+\infty$ è $(N; +\infty)$ mentre quello di $-\infty$ è $(-\infty; -N)$ . Il punto di accumulazione è un punto attorno al quale si "addensano" infiniti elementi di un insieme - in ogni suo intorno trovi sempre qualche elemento dell'insieme.

💡 Tip: Visualizza sempre gli intorni sulla retta dei numeri reali per capire meglio!

$Limiti INTORNO DI UN NUMERO O PUNTO : si indica con $I_{x_0}$ - INTORNO COMPLETO: dato un numero (punto) $x_0$ si definisce intorno comple$

Definizione Formale di Limite

Il limite è il valore a cui tende una funzione quando la variabile si avvicina a un determinato punto. Si scrive $\lim_{x \to p} f(x) = Q$ .

La definizione formale dice che per ogni intorno di $Q$ , esiste un intorno di $p$ tale che se $x$ appartiene all'intorno di $p$ , allora $f(x)$ appartiene all'intorno di $Q$ . Sembra complicato ma il concetto è semplice: la funzione si avvicina sempre di più al valore limite.

Nell'esempio mostrato, la funzione $y = \frac{x-1}{x+1}$ può essere semplificata $dopo aver escluso $x = -1$ dal dominio$ e il limite per $x$ che tende a $-1$ risulta $-2$ .

$Limiti INTORNO DI UN NUMERO O PUNTO : si indica con $I_{x_0}$ - INTORNO COMPLETO: dato un numero (punto) $x_0$ si definisce intorno comple$

Limite Finito per x che Tende a Valore Finito

Questo è il caso più "classico" di limite: $\lim_{x \to x_0} f(x) = l$ dove sia $x_0$ che $l$ sono numeri finiti.

La definizione formale usa $\epsilon$ e $\delta$ : per ogni $\epsilon > 0$ (piccolo a piacere), esiste un intorno di $x_0$ tale che $|f(x) - l| < \epsilon$ . In parole semplici: più ti avvicini a $x_0$ , più $f(x)$ si avvicina a $l$ .

L'esempio $\lim_{x \to 1} 2x - 3 = -1$ mostra come verificare un limite: trasformi la disuguaglianza $|2x - 3 - (-1)| < \epsilon$ fino ad ottenere un intorno di $x = 1$ .

Quando $x$ tende all'infinito e il limite è finito, ottieni un asintoto orizzontale - la funzione si "appiattisce" verso quel valore.

💡 Ricorda: Il simbolo $|f(x) - l| < \epsilon$ significa che $f(x)$ sta in un "tubo" di ampiezza $2\epsilon $attorno al limite$ l$.

$Limiti INTORNO DI UN NUMERO O PUNTO : si indica con $I_{x_0}$ - INTORNO COMPLETO: dato un numero (punto) $x_0$ si definisce intorno comple$

Esempi di Limiti Finiti e Infiniti

Gli esempi pratici ti aiutano a capire meglio la teoria. Per $\lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} = 0$ , noti che più $x$ diventa grande, più $\frac{1}{x}$ si avvicina a zero.

Nel limite $\lim_{x \to \infty} \frac{x-1}{x} = 1$ , puoi riscrivere la frazione come $1 - \frac{1}{x} $: quando$ x $cresce,$ \frac{1}{x} $tende a zero e l'espressione tende a$ 1$.

Il limite infinito per x finito $\lim_{x \to 0} \frac{1}{x^2} = +\infty$ rappresenta un asintoto verticale: più ti avvicini a $x = 0$ , più la funzione "esplode" verso l'infinito.

La chiave è sempre la stessa: trasformi le disuguaglianze fino a trovare l'intorno giusto che soddisfa la definizione.

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Limite Infinito per x che Tende all'Infinito

Questo caso descrive funzioni che "esplodono" quando $x$ va all'infinito. Hai quattro possibilità: $\lim_{x \to \pm\infty} f(x) = \pm\infty$ .

La definizione usa $M$ invece di $\epsilon$ : per ogni $M > 0$ grande a piacere, esiste un intorno dell'infinito tale che $f(x) > M$ $per limiti $+\infty$$ o $f(x) < -M$ $per limiti $-\infty$$ .

Praticamente significa che la funzione cresce (o decresce) senza limiti. Esempi tipici sono $x^2$ , $e^x$ , o funzioni razionali dove il numeratore ha grado maggiore del denominatore.

Questi limiti sono fondamentali per studiare il comportamento "globale" delle funzioni e capire come si comportano per valori molto grandi di $x$ .

💡 Strategia: Per i limiti all'infinito, concentrati sui termini di grado più alto - sono quelli che "dominano" il comportamento della funzione.

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