Funzioni Continue e Punti di Discontinuità
Immagina di tracciare il grafico di una funzione senza mai staccare la penna dal foglio - ecco cosa significa continuità! Una funzione f(x) è continua in un punto x₀ quando il limite della funzione in quel punto è uguale al valore che la funzione assume proprio lì.
La condizione matematica è semplice: lim(x→x₀) f(x) = f(x₀). Per verificare la continuità devi controllare tre cose: il limite sinistro, il limite destro e il valore della funzione nel punto. Se sono tutti uguali, bingo - la funzione è continua!
Quando questi tre valori non coincidono, hai trovato un punto di discontinuità. Esistono tre tipi diversi di discontinuità, ciascuno con caratteristiche specifiche che imparerai a riconoscere facilmente.
💡 Trucco del mestiere: Nei punti isolati del dominio, la funzione è sempre continua automaticamente!
La discontinuità di prima specie si verifica quando i limiti sinistro e destro esistono ma sono diversi (l₁ ≠ l₂). Il grafico presenta un "salto" - la differenza |l₂ - l₁| rappresenta proprio l'ampiezza di questo salto.
La discontinuità di seconda specie capita quando almeno uno dei due limiti laterali vale infinito o non esiste. Il grafico "esplode" verso l'alto o il basso - pensa agli asintoti verticali.
La discontinuità di terza specie (o eliminabile) è la più "gentile": i limiti laterali sono uguali e finiti, ma o la funzione non è definita in quel punto, oppure il suo valore è diverso dal limite. Puoi "riparare" questa discontinuità ridefinendo semplicemente f(x₀) = l₁.