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Matematica
19 dic 2025
3772
7 pagine
Lavinia Fortunato @lavfortunato
Qui trovi una guida completa su esponenziali, logaritmi, calcolo combinatorio, probabilità e funzioni. Sono tutti argomenti fondamentali per... Mostra di più
Le funzioni esponenziali sono quelle del tipo y = aˣ, dove la base "a" è un numero positivo diverso da 1. Sono ovunque nella vita reale dalla crescita della popolazione ai calcoli finanziari!
La cosa più importante da ricordare è la distinzione tra i due casi principali. Se a > 1, la funzione è crescente , mentre se 0 < a < 1, è decrescente . In entrambi i casi il dominio è sempre ℝ e il grafico passa sempre per il punto (0,1).
Per risolvere le equazioni esponenziali, cerca sempre di portare tutto alla stessa base. Se hai aᶠ⁽ˣ⁾ = aᵍ⁽ˣ⁾, allora f(x) = g(x). Nelle disequazioni, ricorda che se la base è maggiore di 1 mantieni il verso, se è tra 0 e 1 lo cambi.
Trucco importante Le funzioni esponenziali sono sempre positive e non toccano mai l'asse x!
Il logaritmo è semplicemente l'operazione inversa dell'esponenziale. Se aˣ = b, allora x = log_a(b). È come chiedersi "a che potenza devo elevare la base per ottenere questo numero?"
Le proprietà dei logaritmi sono fondamentali log(AB) = log A + log B per i prodotti, log = log A - log B per i quozienti, e log(Aⁿ) = n·log A per le potenze. Per cambiare base, usa la formula log_c(b) = log_a(b)/log_a(c).
Nel calcolo combinatorio distingui bene tra disposizioni, permutazioni e combinazioni. Le disposizioni considerano l'ordine , le combinazioni no . Le permutazioni sono disposizioni di tutti gli elementi .
Attenzione Nelle funzioni logaritmiche il dominio è sempre ℝ⁺ (solo numeri positivi)!
La probabilità è il rapporto tra casi favorevoli e casi possibili P(E) = f/n. Sembra banale, ma è la base di tutto il resto!
Per la somma logica di eventi, distingui tra eventi compatibili e incompatibili. Se sono incompatibili (uno esclude l'altro) P(E₁∪E₂) = P(E₁) + P(E₂). Se sono compatibili P(E₁∪E₂) = P(E₁) + P(E₂) - P(E₁∩E₂).
Per il prodotto logico, se gli eventi sono indipendenti P(E₁∩E₂) = P(E₁)·P(E₂). Se sono dipendenti, usi la probabilità condizionata P(E₁∩E₂) = P(E₁)·P.
Ricorda La probabilità dell'evento contrario è sempre P(Ē) = 1 - P(E)!
Una funzione associa ad ogni elemento del dominio uno e un solo elemento del codominio. Il dominio naturale è l'insieme più ampio dove la funzione ha senso matematico.
Le trasformazioni geometriche ti permettono di ottenere nuove funzioni da quelle base. Le traslazioni spostano il grafico y = f sposta a destra, y = f(x) + b sposta in alto. Le simmetrie riflettono y = -f(x) rispetto all'asse x, y = f rispetto all'asse y.
Una funzione può essere iniettiva (ogni y ha al massimo una x), suriettiva (ogni y ha almeno una x), o biettiva (entrambe le cose). Le funzioni pari hanno f(x) = f, quelle dispari f = -f(x).
Consiglio Per capire le trasformazioni, parti sempre dalla funzione base e applica una trasformazione alla volta!
Le funzioni trascendenti principali sono esponenziale, logaritmica e trigonometriche. L'esponenziale y = aˣ ha dominio ℝ e codominio ℝ⁺, è crescente se a>1. La logaritmica y = log_a(x) è l'inversa, con dominio ℝ⁺ e codominio ℝ.
Le funzioni trigonometriche hanno caratteristiche specifiche. Seno e coseno hanno dominio ℝ, codominio e periodo 2π. La tangente ha dominio ℝ - {π/2 + kπ}, codominio ℝ e periodo π.
Un intorno di un punto x₀ è un intervallo aperto che lo contiene I(x₀) = ]x₀-δ; x₀+δ[. I punti di accumulazione hanno infiniti punti dell'insieme in ogni loro intorno, mentre i punti isolati hanno almeno un intorno che non contiene altri punti dell'insieme.
Nota bene Le funzioni trigonometriche sono periodiche - ricordati sempre del periodo nelle equazioni!
Il limite descrive il comportamento di una funzione quando x si avvicina a un valore. Se lim_{x→x₀} f(x) = L, significa che f(x) si avvicina arbitrariamente a L quando x si avvicina a x₀.
Una funzione è continua in x₀ se lim_{x→x₀} f(x) = f(x₀). Gli asintoti verticali si hanno quando il limite è infinito , quelli orizzontali quando x tende a infinito .
Per il calcolo dei limiti, usa le proprietà limite della somma = somma dei limiti, limite del prodotto = prodotto dei limiti, limite del quoziente = quoziente dei limiti (se il denominatore non è zero).
Attenzione Le forme indeterminate (0/0, ∞/∞, +∞-∞, 0·∞) richiedono tecniche speciali come razionalizzazione o raccoglimento!
Le forme indeterminate sono situazioni dove le regole standard dei limiti non funzionano direttamente. Le principali sono 0/0, ∞/∞, +∞-∞, 0·∞.
Per ∞/∞ con polinomi, raccogli la potenza più alta dal numeratore e denominatore. Il limite dipenderà dai coefficienti e dai gradi se hanno stesso grado, il limite è il rapporto dei coefficienti principali.
Per 0/0, spesso devi scomporre e semplificare. Nelle irrazionalità, usa la razionalizzazione moltiplicando per il coniugato. Per le funzioni trigonometriche, sfrutta i limiti notevoli come lim_{x→0} (sin x)/x = 1.
Strategia vincente Davanti a una forma indeterminata, prima prova il raccoglimento, poi la scomposizione, infine tecniche specifiche come la razionalizzazione!
Il nostro assistente AI è costruito specificamente per le esigenze degli studenti. Sulla base dei milioni di contenuti presenti sulla piattaforma, possiamo fornire agli studenti risposte davvero significative e pertinenti. Ma non si tratta solo di risposte, l'assistente è in grado di guidare gli studenti attraverso le loro sfide quotidiane di studio, con piani di studio personalizzati, quiz o contenuti nella chat e una personalizzazione al 100% basata sulle competenze e sugli sviluppi degli studenti.
È possibile scaricare l'applicazione dal Google Play Store e dall'Apple App Store.
Sì, hai accesso completamente gratuito a tutti i contenuti nell'app e puoi chattare o seguire i Creatori in qualsiasi momento. Sbloccherai nuove funzioni crescendo il tuo numero di follower. Inoltre, offriamo Knowunity Premium, che consente di studiare senza alcun limite!!
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segno, proprietà, inverse, composte, iniettive, suriettive e biettive
MatematicaFunzioni, Funzioni numeriche, Classificare una funzione, Dominio naturale, Funzioni definite a tratti, Segno e Zeri di una funzione, Funzioni uguali.
Matematicafunzioni iniettive biettive surriettive con esempi
Matematicain questi appunti troverete una descrizione dettagliata riguardante le funzioni in particolare quando sono iniettive biettive e suriettive
Matematicafunzioni algebriche (funzioni inverse, composte, pari, dispari, crescenti e decrescenti)
Matematicadefinizione, classificazione, funz definite a tratti, dominio, funzioni iniettive, surriettive e biunivoche, proprietà delle funzioni: pari dispari crescente decrescente periodiche. funzioni composte. gli zeri di una funzione, l'intersezione con gli assi.
MatematicaApp Store
Google Play
L'applicazione è molto facile da usare e ben progettata. Finora ho trovato tutto quello che cercavo e ho potuto imparare molto dalle presentazioni! Utilizzerò sicuramente l'app per i compiti in classe! È molto utile anche come fonte di ispirazione.
Stefano S
utente iOS
Questa applicazione è davvero grande! Ci sono tantissimi appunti e aiuti con lo studio [...]. La mia materia problematica, per esempio, è il francese e l'app ha così tante opzioni per aiutarmi. Grazie a questa app ho migliorato il mio francese. La consiglio a tutti.
Samantha Klich
utente Android
Wow, sono davvero stupita. Ho appena provato l'app perché l'ho vista pubblicizzata molte volte e sono rimasta assolutamente sbalordita. Questa app è L'AIUTO che cercate per la scuola e soprattutto offre tantissime cose, come allenamenti e schede, che a me personalmente sono state MOLTO utili.
Anna
utente iOS
È bellissima questa app, la adoro. È utilissima per lo studio e mi aiuta molto, anzi moltissimo, ma soprattutto mi aiutano molto i quiz, per memorizzare anche quello che non sapevo
Anastasia
utente Android
Fantastica per qualsiasi materia avere gli appunti anche di altre persone è molto utile perchè posso confrontarmi e vedere come migliorarmi. con i quiz riesco ad apprendere al meglio.
Francesca
utente Android
moooolto utile,gli appunti sono belli e funzionanti,schoolGPT da dei consigli formidabili!!
Marianna
utente Android
L'applicazione è semplicemente fantastica! Tutto ciò che devo fare è inserire l'argomento nella barra di ricerca e ottengo la risposta molto velocemente. Non devo guardare 10 video di YouTube per capire qualcosa, quindi risparmio tempo. Consigliatissima!
Sudenaz Ocak
utente Android
A scuola andavo malissimo in matematica, ma grazie a questa applicazione ora vado meglio. Vi sono molto grato per aver creato questa app.
Greenlight Bonnie
utente Android
Knowunity è un applicazione fantastica,considerando che ha degli schemi veramente molto carini e sfiziosi e che ci sono dei quiz,oltre al fatto che questa cosa dell intelligenza artificiale "school gpt" è almeno per me molto utile, perché a differenza di Chatgpt ti da le spiegazioni, ti spiega ciò che non è chiaro! Posso studiare più velocemente tramite gli schemi e che posso pubblicare io stessa gli schemi è una funzione utilissima per gli altri studenti. Knowunity è PERFETTA
Aurora
utente Android
L’app funziona benissimo e puoi trovare qualsiasi tipo di informazione. Non ho l’abbonamento ma la parte gratuita è sufficiente per uno studio approfondito.
Martina
utente iOS
in questi ultimi mesi di scuola dove il tempo è ormai poco, mi sta aiutando molto perché piuttosto che farmi io gli schemi su quello che leggo sul libro guardo questi già fatti e li uso come ripasso piuttosto che rileggermi tutto il libro
Chiara
utente IOS
Questa app è una delle migliori, nient’altro da dire.
Andrea
utente iOS
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Stefano S
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Questa applicazione è davvero grande! Ci sono tantissimi appunti e aiuti con lo studio [...]. La mia materia problematica, per esempio, è il francese e l'app ha così tante opzioni per aiutarmi. Grazie a questa app ho migliorato il mio francese. La consiglio a tutti.
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Sudenaz Ocak
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Greenlight Bonnie
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Lavinia Fortunato
@lavfortunato
Qui trovi una guida completa su esponenziali, logaritmi, calcolo combinatorio, probabilità e funzioni. Sono tutti argomenti fondamentali per l'ultimo anno di superiori che spesso fanno paura, ma con le giuste basi diventa tutto più semplice!
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Le funzioni esponenziali sono quelle del tipo y = aˣ, dove la base "a" è un numero positivo diverso da 1. Sono ovunque nella vita reale: dalla crescita della popolazione ai calcoli finanziari!
La cosa più importante da ricordare è la distinzione tra i due casi principali. Se a > 1, la funzione è crescente , mentre se 0 < a < 1, è decrescente . In entrambi i casi il dominio è sempre ℝ e il grafico passa sempre per il punto (0,1).
Per risolvere le equazioni esponenziali, cerca sempre di portare tutto alla stessa base. Se hai aᶠ⁽ˣ⁾ = aᵍ⁽ˣ⁾, allora f(x) = g(x). Nelle disequazioni, ricorda che se la base è maggiore di 1 mantieni il verso, se è tra 0 e 1 lo cambi.
Trucco importante: Le funzioni esponenziali sono sempre positive e non toccano mai l'asse x!
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Le proprietà dei logaritmi sono fondamentali: log(AB) = log A + log B per i prodotti, log = log A - log B per i quozienti, e log(Aⁿ) = n·log A per le potenze. Per cambiare base, usa la formula: log_c(b) = log_a(b)/log_a(c).
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Per il prodotto logico, se gli eventi sono indipendenti: P(E₁∩E₂) = P(E₁)·P(E₂). Se sono dipendenti, usi la probabilità condizionata: P(E₁∩E₂) = P(E₁)·P.
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Una funzione è continua in x₀ se lim_{x→x₀} f(x) = f(x₀). Gli asintoti verticali si hanno quando il limite è infinito , quelli orizzontali quando x tende a infinito .
Per il calcolo dei limiti, usa le proprietà: limite della somma = somma dei limiti, limite del prodotto = prodotto dei limiti, limite del quoziente = quoziente dei limiti (se il denominatore non è zero).
Attenzione: Le forme indeterminate (0/0, ∞/∞, +∞-∞, 0·∞) richiedono tecniche speciali come razionalizzazione o raccoglimento!
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Per ∞/∞ con polinomi, raccogli la potenza più alta dal numeratore e denominatore. Il limite dipenderà dai coefficienti e dai gradi: se hanno stesso grado, il limite è il rapporto dei coefficienti principali.
Per 0/0, spesso devi scomporre e semplificare. Nelle irrazionalità, usa la razionalizzazione moltiplicando per il coniugato. Per le funzioni trigonometriche, sfrutta i limiti notevoli come lim_{x→0} (sin x)/x = 1.
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MatematicaFunzioni, Funzioni numeriche, Classificare una funzione, Dominio naturale, Funzioni definite a tratti, Segno e Zeri di una funzione, Funzioni uguali.
Matematicafunzioni iniettive biettive surriettive con esempi
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Matematicafunzioni algebriche (funzioni inverse, composte, pari, dispari, crescenti e decrescenti)
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Stefano S
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Samantha Klich
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Anastasia
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Francesca
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Greenlight Bonnie
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Aurora
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Martina
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Sudenaz Ocak
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