Matematica

Limiti di Funzione e Asintoti

limite

3,972

•

Aggiornato Mar 31, 2026

•

7 pagine

Ripasso di Matematica Facile e Veloce

Lavinia Fortunato

@lavfortunato

Qui trovi una guida completa su esponenziali, logaritmi, calcolo combinatorio,... Mostra di più

1 / 7

$# esponenziali • potenze con esponente intero o razionale esponente intero: $a^x se -> x > 0$; $\forall a$ ES. $(-\sqrt{2})^3 = -2\sqrt{2}$$

Funzioni Esponenziali

Le funzioni esponenziali sono quelle del tipo y = aˣ, dove la base "a" è un numero positivo diverso da 1. Sono ovunque nella vita reale: dalla crescita della popolazione ai calcoli finanziari!

La cosa più importante da ricordare è la distinzione tra i due casi principali. Se a > 1, la funzione è crescente $come y = 2ˣ$ , mentre se 0 < a < 1, è decrescente $come y = (1/2)ˣ$ . In entrambi i casi il dominio è sempre ℝ e il grafico passa sempre per il punto (0,1).

Per risolvere le equazioni esponenziali, cerca sempre di portare tutto alla stessa base. Se hai aᶠ⁽ˣ⁾ = aᵍ⁽ˣ⁾, allora f(x) = g(x). Nelle disequazioni, ricorda che se la base è maggiore di 1 mantieni il verso, se è tra 0 e 1 lo cambi.

Trucco importante: Le funzioni esponenziali sono sempre positive e non toccano mai l'asse x!

$# esponenziali • potenze con esponente intero o razionale esponente intero: $a^x se -> x > 0$; $\forall a$ ES. $(-\sqrt{2})^3 = -2\sqrt{2}$$

Logaritmi e Calcolo Combinatorio

Il logaritmo è semplicemente l'operazione inversa dell'esponenziale. Se aˣ = b, allora x = log_a(b). È come chiedersi: "a che potenza devo elevare la base per ottenere questo numero?"

Le proprietà dei logaritmi sono fondamentali: log(AB) = log A + log B per i prodotti, log $A/B$ = log A - log B per i quozienti, e log(Aⁿ) = n·log A per le potenze. Per cambiare base, usa la formula: log_c(b) = log_a(b)/log_a(c).

Nel calcolo combinatorio distingui bene tra disposizioni, permutazioni e combinazioni. Le disposizioni considerano l'ordine $D_{n,k} = n!/(n-k)!$ , le combinazioni no $C_{n,k} = n!/(k!(n-k)!)$ . Le permutazioni sono disposizioni di tutti gli elementi $P_n = n!$ .

Attenzione: Nelle funzioni logaritmiche il dominio è sempre ℝ⁺ (solo numeri positivi)!

$# esponenziali • potenze con esponente intero o razionale esponente intero: $a^x se -> x > 0$; $\forall a$ ES. $(-\sqrt{2})^3 = -2\sqrt{2}$$

Probabilità

La probabilità è il rapporto tra casi favorevoli e casi possibili: P(E) = f/n. Sembra banale, ma è la base di tutto il resto!

Per la somma logica di eventi, distingui tra eventi compatibili e incompatibili. Se sono incompatibili (uno esclude l'altro): P(E₁∪E₂) = P(E₁) + P(E₂). Se sono compatibili: P(E₁∪E₂) = P(E₁) + P(E₂) - P(E₁∩E₂).

Per il prodotto logico, se gli eventi sono indipendenti: P(E₁∩E₂) = P(E₁)·P(E₂). Se sono dipendenti, usi la probabilità condizionata: P(E₁∩E₂) = P(E₁)·P $E₂/E₁$ .

Ricorda: La probabilità dell'evento contrario è sempre P(Ē) = 1 - P(E)!

$# esponenziali • potenze con esponente intero o razionale esponente intero: $a^x se -> x > 0$; $\forall a$ ES. $(-\sqrt{2})^3 = -2\sqrt{2}$$

Funzioni: Definizioni e Trasformazioni

Una funzione associa ad ogni elemento del dominio uno e un solo elemento del codominio. Il dominio naturale è l'insieme più ampio dove la funzione ha senso matematico.

Le trasformazioni geometriche ti permettono di ottenere nuove funzioni da quelle base. Le traslazioni spostano il grafico: y = f $x-a$ sposta a destra, y = f(x) + b sposta in alto. Le simmetrie riflettono: y = -f(x) rispetto all'asse x, y = f $-x$ rispetto all'asse y.

Una funzione può essere iniettiva (ogni y ha al massimo una x), suriettiva (ogni y ha almeno una x), o biettiva (entrambe le cose). Le funzioni pari hanno f(x) = f $-x$ , quelle dispari f $-x$ = -f(x).

Consiglio: Per capire le trasformazioni, parti sempre dalla funzione base e applica una trasformazione alla volta!

$# esponenziali • potenze con esponente intero o razionale esponente intero: $a^x se -> x > 0$; $\forall a$ ES. $(-\sqrt{2})^3 = -2\sqrt{2}$$

Funzioni Trascendenti e Intorni

Le funzioni trascendenti principali sono esponenziale, logaritmica e trigonometriche. L'esponenziale y = aˣ ha dominio ℝ e codominio ℝ⁺, è crescente se a>1. La logaritmica y = log_a(x) è l'inversa, con dominio ℝ⁺ e codominio ℝ.

Le funzioni trigonometriche hanno caratteristiche specifiche. Seno e coseno hanno dominio ℝ, codominio [-1,1] e periodo 2π. La tangente ha dominio ℝ - {π/2 + kπ}, codominio ℝ e periodo π.

Un intorno di un punto x₀ è un intervallo aperto che lo contiene: I(x₀) = ]x₀-δ; x₀+δ[. I punti di accumulazione hanno infiniti punti dell'insieme in ogni loro intorno, mentre i punti isolati hanno almeno un intorno che non contiene altri punti dell'insieme.

Nota bene: Le funzioni trigonometriche sono periodiche - ricordati sempre del periodo nelle equazioni!

$# esponenziali • potenze con esponente intero o razionale esponente intero: $a^x se -> x > 0$; $\forall a$ ES. $(-\sqrt{2})^3 = -2\sqrt{2}$$

Limiti: Definizioni e Calcolo

Il limite descrive il comportamento di una funzione quando x si avvicina a un valore. Se lim_{x→x₀} f(x) = L, significa che f(x) si avvicina arbitrariamente a L quando x si avvicina a x₀.

Una funzione è continua in x₀ se lim_{x→x₀} f(x) = f(x₀). Gli asintoti verticali si hanno quando il limite è infinito $x = c$ , quelli orizzontali quando x tende a infinito $y = q$ .

Per il calcolo dei limiti, usa le proprietà: limite della somma = somma dei limiti, limite del prodotto = prodotto dei limiti, limite del quoziente = quoziente dei limiti (se il denominatore non è zero).

Attenzione: Le forme indeterminate (0/0, ∞/∞, +∞-∞, 0·∞) richiedono tecniche speciali come razionalizzazione o raccoglimento!

$# esponenziali • potenze con esponente intero o razionale esponente intero: $a^x se -> x > 0$; $\forall a$ ES. $(-\sqrt{2})^3 = -2\sqrt{2}$$

Tecniche per le Forme Indeterminate

Le forme indeterminate sono situazioni dove le regole standard dei limiti non funzionano direttamente. Le principali sono: 0/0, ∞/∞, +∞-∞, 0·∞.

Per ∞/∞ con polinomi, raccogli la potenza più alta dal numeratore e denominatore. Il limite dipenderà dai coefficienti e dai gradi: se hanno stesso grado, il limite è il rapporto dei coefficienti principali.

Per 0/0, spesso devi scomporre e semplificare. Nelle irrazionalità, usa la razionalizzazione moltiplicando per il coniugato. Per le funzioni trigonometriche, sfrutta i limiti notevoli come lim_{x→0} (sin x)/x = 1.

Strategia vincente: Davanti a una forma indeterminata, prima prova il raccoglimento, poi la scomposizione, infine tecniche specifiche come la razionalizzazione!

Pensavamo che non l'avreste mai chiesto....

Che cos'è l'assistente AI di Knowunity?

Il nostro assistente AI è costruito specificamente per le esigenze degli studenti. Sulla base dei milioni di contenuti presenti sulla piattaforma, possiamo fornire agli studenti risposte davvero significative e pertinenti. Ma non si tratta solo di risposte, l'assistente è in grado di guidare gli studenti attraverso le loro sfide quotidiane di studio, con piani di studio personalizzati, quiz o contenuti nella chat e una personalizzazione al 100% basata sulle competenze e sugli sviluppi degli studenti.

Dove posso scaricare l'applicazione Knowunity?

È possibile scaricare l'applicazione dal Google Play Store e dall'Apple App Store.

Knowunity è davvero gratuita?

Sì, hai accesso completamente gratuito a tutti i contenuti nell'app e puoi chattare o seguire i Creatori in qualsiasi momento. Sbloccherai nuove funzioni crescendo il tuo numero di follower. Inoltre, offriamo Knowunity Premium, che consente di studiare senza alcun limite!!

Contenuti simili

STUDIO DI FUNZIONE

1127

Le funzioni

7138

107

LE FUNZIONI

374

Di più

Contenuti più popolari: limite

LIMITI - APPUNTI COMPLETI CON TEOREMI

Limiti notevoli, goniometri, teoremi di fondamenta…

Ripasso di Matematica Facile e Veloce

Funzioni Esponenziali

Logaritmi e Calcolo Combinatorio

Probabilità

Funzioni: Definizioni e Trasformazioni

Funzioni Trascendenti e Intorni

Limiti: Definizioni e Calcolo

Tecniche per le Forme Indeterminate

Pensavamo che non l'avreste mai chiesto....

Che cos'è l'assistente AI di Knowunity?

Dove posso scaricare l'applicazione Knowunity?

Knowunity è davvero gratuita?

Contenuti simili

STUDIO DI FUNZIONE

Le funzioni

LE FUNZIONI

Contenuti più popolari: limite

LIMITI - APPUNTI COMPLETI CON TEOREMI

Studio di Funzione

Analisi matematica I

Limiti, teoremi, continuità e discontinuità

Limiti

Limiti

ANALISI MATEMATICA (TEORIA)

Limiti

Studio di funzione

Contenuti più popolari di Matematica

I RADICALI

Monomi

Le Parabole

Monomi e operazioni tra monomi

Derivate

Goniometria e trigonometria

Funzioni

Operazioni e prodotti notevoli

Derivate

Contenuti più popolari

Teoria patente b

PATENTE

Riassunto patente B

SEGNALETICA STRADALE

I promessi sposi

I promessi sposi

promessi sposi (capitoli 1-18)

Teoria patente di guida B: Segnali stradali

PATENTE B

Non c'è niente di adatto? Esplorare altre aree tematiche.

Recensioni dei nostri utenti. Ci adorano - e anche tu, vedrai .

4.6/5

4.7/5

Ripasso di Matematica Facile e Veloce

Iscriviti per mostrare il contenutoÈ gratis!

Funzioni Esponenziali

Iscriviti per mostrare il contenutoÈ gratis!

Logaritmi e Calcolo Combinatorio

Iscriviti per mostrare il contenutoÈ gratis!

Probabilità

Iscriviti per mostrare il contenutoÈ gratis!

Funzioni: Definizioni e Trasformazioni

Iscriviti per mostrare il contenutoÈ gratis!

Funzioni Trascendenti e Intorni

Iscriviti per mostrare il contenutoÈ gratis!

Limiti: Definizioni e Calcolo

Iscriviti per mostrare il contenutoÈ gratis!

Tecniche per le Forme Indeterminate

Pensavamo che non l'avreste mai chiesto....

Che cos'è l'assistente AI di Knowunity?

Dove posso scaricare l'applicazione Knowunity?

Knowunity è davvero gratuita?

Contenuti simili

STUDIO DI FUNZIONE

Le funzioni

LE FUNZIONI

le funzioni iniettive biettive e suriettive

Funzioni, Piano cartesiano e Trasformazioni

funzioni

Contenuti simili

STUDIO DI FUNZIONE

Le funzioni

LE FUNZIONI