Matematica

Proprietà degli Esponenti e dei Logaritmi

Proprietà dei Logaritmi

2034

•

30 gen 2026

•

4 pagine

Proprietà dei Logaritmi e la Funzione Logaritmica Semplificata

Alessia Arnone

@alessiaarnone_

I logaritmi sono l'inverso delle funzioni esponenziali e rappresentano uno... Mostra di più

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# I logaritmi

Invertendo la funzione esponenziale si ottiene la funzione logaritmica.

$log_a b = x$

In cui a = BASE

→ b = ARGOMENTO

→ x

Definizione e Concetti Base dei Logaritmi

Il logaritmo è semplicemente l'esponente che devi dare a una base per ottenere un certo numero. Quando scrivi $log_a b = x$ , stai chiedendo: "A quale potenza devo elevare $a$ per ottenere $b$ ?"

La formula base è $log_a b = x \leftrightarrow a^x = b$ , dove $a$ è la base, $b$ è l'argomento e $x$ è il risultato. Le condizioni fondamentali sono: $a > 0$ , $a \neq 1$ e $b > 0$ .

Perché $a$ non può essere uguale a 1? Semplice: $1 $elevato a qualsiasi potenza fa sempre$ 1 $, quindi sarebbe impossibile ottenere altri numeri. Per esempio,$ log_1 5 $non esiste perché non c'è nessun esponente che renda$ 1^x = 5$.

Ricorda: Il logaritmo risponde alla domanda "quale esponente?" - per esempio $log_2 8 = 3$ perché $2^3 = 8$.

Proprietà Fondamentali e Formule dei Logaritmi

Le proprietà elementari dei logaritmi sono intuitive una volta che capisci il concetto base. $log_a 1 = 0$ perché qualsiasi numero elevato a 0 fa 1, mentre $log_a a = 1$ perché la base elevata a 1 fa se stessa.

Le formule operative ti semplificano i calcoli: $log(xy) = log x + log y$ , $log(\frac{x}{y}) = log x - log y$ , e $log x^a = a log x$ . Queste proprietà trasformano moltiplicazioni in somme e potenze in prodotti.

La formula del cambiamento di base $log_a b = \frac{log_c b}{log_c a}$ è fondamentale quando devi usare la calcolatrice. I logaritmi più comuni sono quelli decimali (base 10, scritti semplicemente $log$) e naturali (base $e$, scritti $ln$).

Trucco pratico: Per calcolare $log_3 5$ con la calcolatrice, usa $\frac{log 5}{log 3}$ .

La Funzione Logaritmica e le Sue Caratteristiche

La funzione logaritmica $y = log_a x$ è l'inversa della funzione esponenziale e il suo grafico è simmetrico rispetto alla retta $y = x$ . Il dominio è $\mathbb{R}^+$ (solo numeri positivi) mentre il codominio è $\mathbb{R}$ (tutti i reali).

Il comportamento della funzione dipende dalla base: se $a > 1$ la funzione è crescente, se $0 < a < 1$ è decrescente. In entrambi i casi passa per il punto $(1, 0)$ perché $log_a 1 = 0$ .

La funzione ha un asintoto verticale sull'asse delle $y$ : avvicinandosi a zero da destra, il logaritmo tende a $-∞$ (se $a > 1$) o a $+∞$ (se $0 < a < 1$).

Visualizza: Il grafico del logaritmo "parte dall'infinito" a sinistra, attraversa il punto $(1,0)$ e continua crescendo o decrescendo dolcemente.

Equazioni e Disequazioni Logaritmiche

Per determinare il dominio delle espressioni con logaritmi, ricorda che l'argomento deve essere sempre positivo, oltre alle solite condizioni su denominatori e radicandi.

Le equazioni logaritmiche si risolvono portando tutto alla forma normale (stessa base), poi applicando il principio: se $log_a f(x) = log_a g(x)$ , allora $f(x) = g(x)$ . Non dimenticare mai di verificare le condizioni di esistenza: $f(x) > 0$ e $g(x) > 0$ .

Le disequazioni logaritmiche richiedono attenzione al segno: se $a > 1$ , l'ordine si mantiene $log_a f(x) > log_a g(x) \Rightarrow f(x) > g(x)$ , ma se $0 < a < 1$, il verso si inverte.

Strategia vincente: Prima trova dove la funzione esiste, poi risolvi l'equazione/disequazione, infine interseca i risultati.

Pensavamo che non l'avreste mai chiesto....

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