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Matematica
24 nov 2025
1633
13 pagine
Chiara Bellantone @argi_chiara
La goniometria è il ramo della matematica che studia le relazioni tra angoli e lati nei triangoli attraverso... Mostra di più
La circonferenza goniometrica è il punto di partenza di tutta la trigonometria. È una circonferenza con centro nell'origine (0,0) e raggio uguale a 1.
Ogni punto P sulla circonferenza ha coordinate (cos α, sen α), dove α è l'angolo formato dal raggio con l'asse x positivo. Il coseno rappresenta l'ascissa (coordinata x) del punto, mentre il seno rappresenta l'ordinata (coordinata y).
La relazione fondamentale della goniometria è cos²α + sen²α = 1, che deriva dal teorema di Pitagora applicato al triangolo rettangolo formato dal punto P e gli assi.
💡 Ricorda Sia seno che coseno sono sempre compresi tra -1 e 1, proprio perché il raggio della circonferenza è 1!
I grafici delle funzioni seno e coseno sono onde che si ripetono continuamente. Entrambe sono funzioni periodiche con periodo 2π, il che significa che i loro valori si ripetono ogni 2π radianti.
La sinusoide parte da 0, raggiunge il massimo 1 a π/2, torna a 0 a π, tocca il minimo -1 a 3π/2 e ritorna a 0 a 2π.
La cosinusoide parte da 1, scende a 0 a π/2, raggiunge -1 a π, risale a 0 a 3π/2 e torna a 1 a 2π. È praticamente una sinusoide spostata di π/2 verso sinistra.
💡 Trucco Il coseno è "in anticipo" rispetto al seno di π/2!
La tangente nasce dal rapporto tra seno e coseno tan α = sen α / cos α. Questa è la seconda relazione fondamentale della goniometria.
Il grafico della tangente (tangentoide) è molto diverso da seno e coseno. Ha periodo π (non 2π!) e presenta delle discontinuità verticali (asintoti) quando il coseno si annulla.
La tangente vale 0 quando α = 0, π, 2π... e tende a infinito quando α = π/2, 3π/2... Questo succede perché quando cos α = 0, la frazione sen α / cos α "esplode".
💡 Attenzione La tangente non è definita quando cos α = 0!
La secante è il reciproco del coseno sec α = 1/cos α. Esiste solo quando cos α ≠ 0, quindi ha discontinuità agli stessi punti della tangente.
La cotangente è il reciproco della tangente cot α = 1/tan α = cos α/sen α. Ha discontinuità quando sen α = 0, cioè per α = 0, π, 2π...
Entrambe queste funzioni hanno comportamenti "estremi" quando il denominatore si avvicina a zero, la funzione tende a infinito. La secante oscilla tra -∞ e -1 e tra 1 e +∞, mentre la cotangente può assumere qualsiasi valore reale.
💡 Ricorda Secante e cotangente sono semplicemente i "reciproci" di coseno e tangente!
La cosecante completa il quadro delle funzioni reciproche csc α = 1/sen α. Esiste solo quando sen α ≠ 0, quindi presenta discontinuità per α = 0, π, 2π...
Come la secante, anche la cosecante ha un comportamento estremo oscilla tra -∞ e -1 e tra 1 e +∞. Non può mai assumere valori compresi tra -1 e 1.
Il grafico della cosecante presenta dei "rami" che si estendono verso l'infinito ogni volta che il seno si annulla. Questi punti corrispondono agli zeri della funzione seno.
💡 Visualizza Immagina la cosecante come il "reciproco" del seno - dove il seno è piccolo, la cosecante diventa grande!
Questa tabella riassume i valori delle funzioni goniometriche per gli angoli fondamentali. È essenziale memorizzarla per risolvere rapidamente esercizi e problemi.
Gli angoli più importanti sono 0°, 30°, 45°, 60°, 90°, 180°, 270° e 360°. Per 30°, 45° e 60° i valori coinvolgono spesso √2, √3 e frazioni semplici.
Noterai dei pattern i valori di seno e coseno a 30° e 60° sono "scambiati", mentre a 45° sono uguali. Le funzioni reciproche (csc, sec, cot) seguono automaticamente i valori delle funzioni base.
💡 Metodo di studio Non limitarti a memorizzare - cerca i pattern e le relazioni tra i valori!
Questa sezione mostra come derivare i valori di seno e coseno per 30°, 45° e 60° usando la geometria e il teorema di Pitagora.
Per 45°, dato che sen = cos, usiamo sen² + cos² = 1 per ottenere 2sen² = 1, quindi sen = cos = √2/2.
Per 30° e 60°, sfruttiamo il fatto che sono angoli complementari il seno di uno è il coseno dell'altro. Usando triangoli equilateri possiamo dimostrare che sen 30° = 1/2 e cos 30° = √3/2.
💡 Capire è meglio di memorizzare Quando conosci le derivazioni, i valori diventano logici invece che casuali!
Questo diagramma mostra la simmetria della circonferenza goniometrica e come gli angoli sono distribuiti nei quattro quadranti.
Gli angoli associati sono quelli che differiscono per multipli di π/2. Questa disposizione geometrica ti aiuta a visualizzare come le funzioni goniometriche cambiano spostandosi da un quadrante all'altro.
La simmetria della circonferenza è la chiave per capire le relazioni tra angoli diversi e le loro funzioni trigonometriche.
💡 Pensa geometricamente La circonferenza goniometrica è il tuo migliore alleato per visualizzare queste relazioni!
Le formule degli angoli associati ti permettono di calcolare le funzioni trigonometriche di un angolo qualsiasi partendo da quelle di angoli nel primo quadrante.
Ogni formula sfrutta le simmetrie della circonferenza. Ad esempio, sen(π - α) = sen α perché i punti sono simmetrici rispetto all'asse y, mentre cos(π - α) = -cos α perché l'ascissa cambia segno.
Gli angoli del tipo π/2 ± α scambiano seno e coseno sen(π/2 - α) = cos α. Questo succede perché una rotazione di π/2 scambia gli assi coordinati.
💡 Strategia Non memorizzare tutte le formule - capiscile attraverso la simmetria della circonferenza!
Il nostro assistente AI è costruito specificamente per le esigenze degli studenti. Sulla base dei milioni di contenuti presenti sulla piattaforma, possiamo fornire agli studenti risposte davvero significative e pertinenti. Ma non si tratta solo di risposte, l'assistente è in grado di guidare gli studenti attraverso le loro sfide quotidiane di studio, con piani di studio personalizzati, quiz o contenuti nella chat e una personalizzazione al 100% basata sulle competenze e sugli sviluppi degli studenti.
È possibile scaricare l'applicazione dal Google Play Store e dall'Apple App Store.
Sì, hai accesso completamente gratuito a tutti i contenuti nell'app e puoi chattare o seguire i Creatori in qualsiasi momento. Sbloccherai nuove funzioni crescendo il tuo numero di follower. Inoltre, offriamo Knowunity Premium, che consente di studiare senza alcun limite!!
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Strumenti Intelligenti NUOVO
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Trigonometria tutte le formule per svolgere gli esercizi
MatematicaTrigonometria formule
MatematicaGoniometria angoli associati (angoli opposti, angoli supplementari, angoli complementari, angoli la cui somma fa 270°, angoli esplementari, angoli che differiscono di π, angoli che differiscono di π/2 e angoli che differiscono di 3/2π)
Matematicatrovare il periodo di una funzione goniometrica
MatematicaFormulario
Matematicacirconferenza , passaggi, geometria analitica
MatematicaApp Store
Google Play
L'applicazione è molto facile da usare e ben progettata. Finora ho trovato tutto quello che cercavo e ho potuto imparare molto dalle presentazioni! Utilizzerò sicuramente l'app per i compiti in classe! È molto utile anche come fonte di ispirazione.
Stefano S
utente iOS
Questa applicazione è davvero grande! Ci sono tantissimi appunti e aiuti con lo studio [...]. La mia materia problematica, per esempio, è il francese e l'app ha così tante opzioni per aiutarmi. Grazie a questa app ho migliorato il mio francese. La consiglio a tutti.
Samantha Klich
utente Android
Wow, sono davvero stupita. Ho appena provato l'app perché l'ho vista pubblicizzata molte volte e sono rimasta assolutamente sbalordita. Questa app è L'AIUTO che cercate per la scuola e soprattutto offre tantissime cose, come allenamenti e schede, che a me personalmente sono state MOLTO utili.
Anna
utente iOS
È bellissima questa app, la adoro. È utilissima per lo studio e mi aiuta molto, anzi moltissimo, ma soprattutto mi aiutano molto i quiz, per memorizzare anche quello che non sapevo
Anastasia
utente Android
Fantastica per qualsiasi materia avere gli appunti anche di altre persone è molto utile perchè posso confrontarmi e vedere come migliorarmi. con i quiz riesco ad apprendere al meglio.
Francesca
utente Android
moooolto utile,gli appunti sono belli e funzionanti,schoolGPT da dei consigli formidabili!!
Marianna
utente Android
L'applicazione è semplicemente fantastica! Tutto ciò che devo fare è inserire l'argomento nella barra di ricerca e ottengo la risposta molto velocemente. Non devo guardare 10 video di YouTube per capire qualcosa, quindi risparmio tempo. Consigliatissima!
Sudenaz Ocak
utente Android
A scuola andavo malissimo in matematica, ma grazie a questa applicazione ora vado meglio. Vi sono molto grato per aver creato questa app.
Greenlight Bonnie
utente Android
Knowunity è un applicazione fantastica,considerando che ha degli schemi veramente molto carini e sfiziosi e che ci sono dei quiz,oltre al fatto che questa cosa dell intelligenza artificiale "school gpt" è almeno per me molto utile, perché a differenza di Chatgpt ti da le spiegazioni, ti spiega ciò che non è chiaro! Posso studiare più velocemente tramite gli schemi e che posso pubblicare io stessa gli schemi è una funzione utilissima per gli altri studenti. Knowunity è PERFETTA
Aurora
utente Android
L’app funziona benissimo e puoi trovare qualsiasi tipo di informazione. Non ho l’abbonamento ma la parte gratuita è sufficiente per uno studio approfondito.
Martina
utente iOS
in questi ultimi mesi di scuola dove il tempo è ormai poco, mi sta aiutando molto perché piuttosto che farmi io gli schemi su quello che leggo sul libro guardo questi già fatti e li uso come ripasso piuttosto che rileggermi tutto il libro
Chiara
utente IOS
Questa app è una delle migliori, nient’altro da dire.
Andrea
utente iOS
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Sudenaz Ocak
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Chiara
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Chiara Bellantone
@argi_chiara
La goniometria è il ramo della matematica che studia le relazioni tra angoli e lati nei triangoli attraverso le funzioni trigonometriche. Queste funzioni - seno, coseno, tangente e le loro reciproche - sono strumenti fondamentali per risolvere problemi geometrici e... Mostra di più
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La circonferenza goniometrica è il punto di partenza di tutta la trigonometria. È una circonferenza con centro nell'origine (0,0) e raggio uguale a 1.
Ogni punto P sulla circonferenza ha coordinate (cos α, sen α), dove α è l'angolo formato dal raggio con l'asse x positivo. Il coseno rappresenta l'ascissa (coordinata x) del punto, mentre il seno rappresenta l'ordinata (coordinata y).
La relazione fondamentale della goniometria è cos²α + sen²α = 1, che deriva dal teorema di Pitagora applicato al triangolo rettangolo formato dal punto P e gli assi.
💡 Ricorda: Sia seno che coseno sono sempre compresi tra -1 e 1, proprio perché il raggio della circonferenza è 1!
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Per 45°, dato che sen = cos, usiamo sen² + cos² = 1 per ottenere 2sen² = 1, quindi sen = cos = √2/2.
Per 30° e 60°, sfruttiamo il fatto che sono angoli complementari: il seno di uno è il coseno dell'altro. Usando triangoli equilateri possiamo dimostrare che sen 30° = 1/2 e cos 30° = √3/2.
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La simmetria della circonferenza è la chiave per capire le relazioni tra angoli diversi e le loro funzioni trigonometriche.
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Trigonometria tutte le formule per svolgere gli esercizi
MatematicaTrigonometria formule
MatematicaGoniometria angoli associati (angoli opposti, angoli supplementari, angoli complementari, angoli la cui somma fa 270°, angoli esplementari, angoli che differiscono di π, angoli che differiscono di π/2 e angoli che differiscono di 3/2π)
Matematicatrovare il periodo di una funzione goniometrica
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Stefano S
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Wow, sono davvero stupita. Ho appena provato l'app perché l'ho vista pubblicizzata molte volte e sono rimasta assolutamente sbalordita. Questa app è L'AIUTO che cercate per la scuola e soprattutto offre tantissime cose, come allenamenti e schede, che a me personalmente sono state MOLTO utili.
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Anastasia
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Fantastica per qualsiasi materia avere gli appunti anche di altre persone è molto utile perchè posso confrontarmi e vedere come migliorarmi. con i quiz riesco ad apprendere al meglio.
Francesca
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Greenlight Bonnie
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Chiara
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Wow, sono davvero stupita. Ho appena provato l'app perché l'ho vista pubblicizzata molte volte e sono rimasta assolutamente sbalordita. Questa app è L'AIUTO che cercate per la scuola e soprattutto offre tantissime cose, come allenamenti e schede, che a me personalmente sono state MOLTO utili.
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