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Alessandra Ribezzo
27/11/2025
Matematica
FUNZIONI GONIOMETRICHE
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•
27 nov 2025
•
Alessandra Ribezzo
@alessandraribezzo_07
La goniometria è quella parte della matematica che studia gli... Mostra di più
Hai mai pensato a come si misurano gli angoli oltre ai classici gradi? La goniometria ti apre un mondo nuovo! Si occupa degli angoli e delle relative funzioni, ed è più utile di quanto pensi.
Esistono due sistemi di misura principali. Il sistema sessagesimale usa i gradi (°), dove 1° = π/180 radianti. Ogni grado si divide in 60 primi (') e ogni primo in 60 secondi (''). Il radiante invece è l'angolo al centro che insiste su un arco lungo quanto il raggio - sembra complicato ma è più naturale in matematica!
Per convertire da gradi a radianti usi la formula: αrad = α° · π/180°. Al contrario: α° = αrad · 180°/π. Un angolo retto misura π/2 radianti (90°), un angolo piatto π radianti (180°), e un angolo giro 2π radianti (360°).
Trucco per ricordare: π radianti = 180°, quindi π/2 = 90°, π/3 = 60°, π/4 = 45°, π/6 = 30°.
Le funzioni goniometriche associano a ogni angolo α i valori di ascissa e ordinata del punto sulla circonferenza unitaria. Seno e coseno sono funzioni limitate , definite su tutti i reali, e periodiche con periodo 2π.
Ecco la formula più importante della goniometria: sin²α + cos²α = 1. Questa relazione è sempre vera, qualunque sia l'angolo α, ed è incredibilmente utile per risolvere problemi!
Da questa formula puoi ricavare: sin²α = 1 - cos²α e cos²α = 1 - sin²α. Quindi: sinα = ±√ e cosα = ±√. Il segno dipende dal quadrante in cui si trova l'angolo.
Nel primo quadrante (0° < α < 90°) sia seno che coseno sono positivi. Nel secondo (90° < α < 180°) il seno è positivo, il coseno negativo. Nel terzo (180° < α < 270°) entrambi sono negativi. Nel quarto (270° < α < 360°) il seno è negativo, il coseno positivo.
Esempio pratico: Se sinα = 5/13 e π/2 < α < π (secondo quadrante), allora cos²α = 1 - 25/169 = 144/169, quindi cosα = -12/13 (negativo nel secondo quadrante).
Ricorda: quando risolvi un esercizio, considera sempre in quale quadrante si trova l'angolo per scegliere il segno corretto!
La tangente è il rapporto tra seno e coseno: tanα = sinα/cosα. Questa definizione ti permette di capire subito quando non esiste: quando cosα = 0, cioè per α = π/2 + kπ.
Geometricamente, puoi visualizzare la tangente come l'ordinata del punto sulla retta tangente alla circonferenza nel punto (1,0). Ecco perché si chiama "tangente"! Nei triangoli rettangoli, la tangente è il rapporto tra cateto opposto e cateto adiacente.
La funzione tangente ha caratteristiche molto diverse da seno e coseno. Non è limitata - può assumere qualsiasi valore reale! Ha periodo π (non 2π come seno e coseno), il che significa che tanα = tan(α + π).
Attenzione: La tangente non è definita per α = π/2 + kπ, dove presenta asintoti verticali nel grafico.
Nel primo e terzo quadrante la tangente è positiva, nel secondo e quarto è negativa. Quando l'angolo si avvicina a π/2 da sinistra, tanα tende a +∞; da destra tende a -∞.
Il grafico della funzione tangente ha un aspetto molto particolare: è formato da infiniti rami separati da asintoti verticali! Ogni ramo si ripete identico ogni π radianti.
Partendo da 0, la tangente cresce fino a tendere a +∞ quando ci avviciniamo a π/2. Poi "salta" a -∞ e ricomincia a crescere fino a raggiungere di nuovo 0 in α = π. Questo pattern si ripete all'infinito.
Le caratteristiche principali sono: dominio R \ {π/2 + kπ}, dove k ∈ Z . Il codominio è tutto R. La funzione è illimitata e periodica con periodo π.
Valori notevoli: tan(0) = 0, tan(π/4) = 1, tan(π/6) = √3/3, tan(π/3) = √3.
Questa periodicità è molto utile: per calcolare tan(5π/4), puoi usare tan(5π/4) = tan(π/4) = 1, poiché 5π/4 = π/4 + π.
Dalla definizione tanα = sinα/cosα puoi ricavare un'altra relazione importantissima: 1 + tan²α = 1/cos²α. Questa è la seconda relazione fondamentale della goniometria!
Da questa formula ottieni: sin²α = tan²α/ e cos²α = 1/. Quindi: sinα = ±tanα/√ e cosα = ±1/√.
La dimostrazione è elegante: parti da sin²α + cos²α = 1 e dividi tutto per cos²α. Ottieni sin²α/cos²α + 1 = 1/cos²α, cioè tan²α + 1 = 1/cos²α. Semplice, no?
Trucco mnemonico: Ricorda che la tangente "complica" le cose: dalla relazione semplice sin²α + cos²α = 1 passi a quella con le frazioni!
Queste formule sono preziosissime quando conosci solo la tangente di un angolo e devi trovare seno e coseno. Come sempre, fai attenzione ai segni in base al quadrante!
Gli angoli associati sono una scorciatoia fantastica per calcolare funzioni goniometriche senza usare la calcolatrice! Ti permettono di collegare angoli diversi tra loro.
Angoli opposti (-α): sin(-α) = -sinα, cos(-α) = cosα, tan(-α) = -tanα. Il coseno è pari, seno e tangente sono dispari. Angoli supplementari (π - α): sin(π - α) = sinα, cos(π - α) = -cosα, tan(π - α) = -tanα.
Angoli esplementari (π + α): sin(π + α) = -sinα, cos(π + α) = -cosα, tan(π + α) = tanα. Angoli complementari (π/2 - α): sin(π/2 - α) = cosα, cos(π/2 - α) = sinα. Seno e coseno si "scambiano"!
Esempio utile: Per calcolare sin(150°), noti che 150° = 180° - 30°, quindi sin(150°) = sin(30°) = 1/2.
Con questi trucchi puoi ricondurre qualsiasi angolo a uno degli angoli notevoli (30°, 45°, 60°) e risolvere rapidamente gli esercizi. È come avere una mappa che ti guida sempre verso territorio familiare!
Il nostro assistente AI è costruito specificamente per le esigenze degli studenti. Sulla base dei milioni di contenuti presenti sulla piattaforma, possiamo fornire agli studenti risposte davvero significative e pertinenti. Ma non si tratta solo di risposte, l'assistente è in grado di guidare gli studenti attraverso le loro sfide quotidiane di studio, con piani di studio personalizzati, quiz o contenuti nella chat e una personalizzazione al 100% basata sulle competenze e sugli sviluppi degli studenti.
È possibile scaricare l'applicazione dal Google Play Store e dall'Apple App Store.
Sì, hai accesso completamente gratuito a tutti i contenuti nell'app e puoi chattare o seguire i Creatori in qualsiasi momento. Sbloccherai nuove funzioni crescendo il tuo numero di follower. Inoltre, offriamo Knowunity Premium, che consente di studiare senza alcun limite!!
App Store
Google Play
L'applicazione è molto facile da usare e ben progettata. Finora ho trovato tutto quello che cercavo e ho potuto imparare molto dalle presentazioni! Utilizzerò sicuramente l'app per i compiti in classe! È molto utile anche come fonte di ispirazione.
Stefano S
utente iOS
Questa applicazione è davvero grande! Ci sono tantissimi appunti e aiuti con lo studio [...]. La mia materia problematica, per esempio, è il francese e l'app ha così tante opzioni per aiutarmi. Grazie a questa app ho migliorato il mio francese. La consiglio a tutti.
Samantha Klich
utente Android
Wow, sono davvero stupita. Ho appena provato l'app perché l'ho vista pubblicizzata molte volte e sono rimasta assolutamente sbalordita. Questa app è L'AIUTO che cercate per la scuola e soprattutto offre tantissime cose, come allenamenti e schede, che a me personalmente sono state MOLTO utili.
Anna
utente iOS
È bellissima questa app, la adoro. È utilissima per lo studio e mi aiuta molto, anzi moltissimo, ma soprattutto mi aiutano molto i quiz, per memorizzare anche quello che non sapevo
Anastasia
utente Android
Fantastica per qualsiasi materia avere gli appunti anche di altre persone è molto utile perchè posso confrontarmi e vedere come migliorarmi. con i quiz riesco ad apprendere al meglio.
Francesca
utente Android
moooolto utile,gli appunti sono belli e funzionanti,schoolGPT da dei consigli formidabili!!
Marianna
utente Android
L'applicazione è semplicemente fantastica! Tutto ciò che devo fare è inserire l'argomento nella barra di ricerca e ottengo la risposta molto velocemente. Non devo guardare 10 video di YouTube per capire qualcosa, quindi risparmio tempo. Consigliatissima!
Sudenaz Ocak
utente Android
A scuola andavo malissimo in matematica, ma grazie a questa applicazione ora vado meglio. Vi sono molto grato per aver creato questa app.
Greenlight Bonnie
utente Android
Knowunity è un applicazione fantastica,considerando che ha degli schemi veramente molto carini e sfiziosi e che ci sono dei quiz,oltre al fatto che questa cosa dell intelligenza artificiale "school gpt" è almeno per me molto utile, perché a differenza di Chatgpt ti da le spiegazioni, ti spiega ciò che non è chiaro! Posso studiare più velocemente tramite gli schemi e che posso pubblicare io stessa gli schemi è una funzione utilissima per gli altri studenti. Knowunity è PERFETTA
Aurora
utente Android
L’app funziona benissimo e puoi trovare qualsiasi tipo di informazione. Non ho l’abbonamento ma la parte gratuita è sufficiente per uno studio approfondito.
Martina
utente iOS
in questi ultimi mesi di scuola dove il tempo è ormai poco, mi sta aiutando molto perché piuttosto che farmi io gli schemi su quello che leggo sul libro guardo questi già fatti e li uso come ripasso piuttosto che rileggermi tutto il libro
Chiara
utente IOS
Questa app è una delle migliori, nient’altro da dire.
Andrea
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L'applicazione è molto facile da usare e ben progettata. Finora ho trovato tutto quello che cercavo e ho potuto imparare molto dalle presentazioni! Utilizzerò sicuramente l'app per i compiti in classe! È molto utile anche come fonte di ispirazione.
Stefano S
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Questa applicazione è davvero grande! Ci sono tantissimi appunti e aiuti con lo studio [...]. La mia materia problematica, per esempio, è il francese e l'app ha così tante opzioni per aiutarmi. Grazie a questa app ho migliorato il mio francese. La consiglio a tutti.
Samantha Klich
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Wow, sono davvero stupita. Ho appena provato l'app perché l'ho vista pubblicizzata molte volte e sono rimasta assolutamente sbalordita. Questa app è L'AIUTO che cercate per la scuola e soprattutto offre tantissime cose, come allenamenti e schede, che a me personalmente sono state MOLTO utili.
Anna
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È bellissima questa app, la adoro. È utilissima per lo studio e mi aiuta molto, anzi moltissimo, ma soprattutto mi aiutano molto i quiz, per memorizzare anche quello che non sapevo
Anastasia
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Fantastica per qualsiasi materia avere gli appunti anche di altre persone è molto utile perchè posso confrontarmi e vedere come migliorarmi. con i quiz riesco ad apprendere al meglio.
Francesca
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moooolto utile,gli appunti sono belli e funzionanti,schoolGPT da dei consigli formidabili!!
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Sudenaz Ocak
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A scuola andavo malissimo in matematica, ma grazie a questa applicazione ora vado meglio. Vi sono molto grato per aver creato questa app.
Greenlight Bonnie
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Alessandra Ribezzo
@alessandraribezzo_07
La goniometria è quella parte della matematica che studia gli angoli e le funzioni ad essi associate - un argomento fondamentale che incontrerai spesso non solo a scuola ma anche in fisica e ingegneria! In questa guida scoprirai come misurare... Mostra di più
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Hai mai pensato a come si misurano gli angoli oltre ai classici gradi? La goniometria ti apre un mondo nuovo! Si occupa degli angoli e delle relative funzioni, ed è più utile di quanto pensi.
Esistono due sistemi di misura principali. Il sistema sessagesimale usa i gradi (°), dove 1° = π/180 radianti. Ogni grado si divide in 60 primi (') e ogni primo in 60 secondi (''). Il radiante invece è l'angolo al centro che insiste su un arco lungo quanto il raggio - sembra complicato ma è più naturale in matematica!
Per convertire da gradi a radianti usi la formula: αrad = α° · π/180°. Al contrario: α° = αrad · 180°/π. Un angolo retto misura π/2 radianti (90°), un angolo piatto π radianti (180°), e un angolo giro 2π radianti (360°).
Trucco per ricordare: π radianti = 180°, quindi π/2 = 90°, π/3 = 60°, π/4 = 45°, π/6 = 30°.
Le funzioni goniometriche associano a ogni angolo α i valori di ascissa e ordinata del punto sulla circonferenza unitaria. Seno e coseno sono funzioni limitate , definite su tutti i reali, e periodiche con periodo 2π.
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Ecco la formula più importante della goniometria: sin²α + cos²α = 1. Questa relazione è sempre vera, qualunque sia l'angolo α, ed è incredibilmente utile per risolvere problemi!
Da questa formula puoi ricavare: sin²α = 1 - cos²α e cos²α = 1 - sin²α. Quindi: sinα = ±√ e cosα = ±√. Il segno dipende dal quadrante in cui si trova l'angolo.
Nel primo quadrante (0° < α < 90°) sia seno che coseno sono positivi. Nel secondo (90° < α < 180°) il seno è positivo, il coseno negativo. Nel terzo (180° < α < 270°) entrambi sono negativi. Nel quarto (270° < α < 360°) il seno è negativo, il coseno positivo.
Esempio pratico: Se sinα = 5/13 e π/2 < α < π (secondo quadrante), allora cos²α = 1 - 25/169 = 144/169, quindi cosα = -12/13 (negativo nel secondo quadrante).
Ricorda: quando risolvi un esercizio, considera sempre in quale quadrante si trova l'angolo per scegliere il segno corretto!
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La tangente è il rapporto tra seno e coseno: tanα = sinα/cosα. Questa definizione ti permette di capire subito quando non esiste: quando cosα = 0, cioè per α = π/2 + kπ.
Geometricamente, puoi visualizzare la tangente come l'ordinata del punto sulla retta tangente alla circonferenza nel punto (1,0). Ecco perché si chiama "tangente"! Nei triangoli rettangoli, la tangente è il rapporto tra cateto opposto e cateto adiacente.
La funzione tangente ha caratteristiche molto diverse da seno e coseno. Non è limitata - può assumere qualsiasi valore reale! Ha periodo π (non 2π come seno e coseno), il che significa che tanα = tan(α + π).
Attenzione: La tangente non è definita per α = π/2 + kπ, dove presenta asintoti verticali nel grafico.
Nel primo e terzo quadrante la tangente è positiva, nel secondo e quarto è negativa. Quando l'angolo si avvicina a π/2 da sinistra, tanα tende a +∞; da destra tende a -∞.
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Partendo da 0, la tangente cresce fino a tendere a +∞ quando ci avviciniamo a π/2. Poi "salta" a -∞ e ricomincia a crescere fino a raggiungere di nuovo 0 in α = π. Questo pattern si ripete all'infinito.
Le caratteristiche principali sono: dominio R \ {π/2 + kπ}, dove k ∈ Z . Il codominio è tutto R. La funzione è illimitata e periodica con periodo π.
Valori notevoli: tan(0) = 0, tan(π/4) = 1, tan(π/6) = √3/3, tan(π/3) = √3.
Questa periodicità è molto utile: per calcolare tan(5π/4), puoi usare tan(5π/4) = tan(π/4) = 1, poiché 5π/4 = π/4 + π.
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Dalla definizione tanα = sinα/cosα puoi ricavare un'altra relazione importantissima: 1 + tan²α = 1/cos²α. Questa è la seconda relazione fondamentale della goniometria!
Da questa formula ottieni: sin²α = tan²α/ e cos²α = 1/. Quindi: sinα = ±tanα/√ e cosα = ±1/√.
La dimostrazione è elegante: parti da sin²α + cos²α = 1 e dividi tutto per cos²α. Ottieni sin²α/cos²α + 1 = 1/cos²α, cioè tan²α + 1 = 1/cos²α. Semplice, no?
Trucco mnemonico: Ricorda che la tangente "complica" le cose: dalla relazione semplice sin²α + cos²α = 1 passi a quella con le frazioni!
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Gli angoli associati sono una scorciatoia fantastica per calcolare funzioni goniometriche senza usare la calcolatrice! Ti permettono di collegare angoli diversi tra loro.
Angoli opposti (-α): sin(-α) = -sinα, cos(-α) = cosα, tan(-α) = -tanα. Il coseno è pari, seno e tangente sono dispari. Angoli supplementari (π - α): sin(π - α) = sinα, cos(π - α) = -cosα, tan(π - α) = -tanα.
Angoli esplementari (π + α): sin(π + α) = -sinα, cos(π + α) = -cosα, tan(π + α) = tanα. Angoli complementari (π/2 - α): sin(π/2 - α) = cosα, cos(π/2 - α) = sinα. Seno e coseno si "scambiano"!
Esempio utile: Per calcolare sin(150°), noti che 150° = 180° - 30°, quindi sin(150°) = sin(30°) = 1/2.
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Trigonometria tutte le formule per svolgere gli esercizi
MatematicaTrigonometria formule
MatematicaGoniometria angoli associati (angoli opposti, angoli supplementari, angoli complementari, angoli la cui somma fa 270°, angoli esplementari, angoli che differiscono di π, angoli che differiscono di π/2 e angoli che differiscono di 3/2π)
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MatematicaRapporti, angoli e teoremi fondamentali della goniometria. Triangoli simili e valori della tangente nei quadranti.
Matematicabreve riassunto sulla goniometria
MatematicaApp Store
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L'applicazione è molto facile da usare e ben progettata. Finora ho trovato tutto quello che cercavo e ho potuto imparare molto dalle presentazioni! Utilizzerò sicuramente l'app per i compiti in classe! È molto utile anche come fonte di ispirazione.
Stefano S
utente iOS
Questa applicazione è davvero grande! Ci sono tantissimi appunti e aiuti con lo studio [...]. La mia materia problematica, per esempio, è il francese e l'app ha così tante opzioni per aiutarmi. Grazie a questa app ho migliorato il mio francese. La consiglio a tutti.
Samantha Klich
utente Android
Wow, sono davvero stupita. Ho appena provato l'app perché l'ho vista pubblicizzata molte volte e sono rimasta assolutamente sbalordita. Questa app è L'AIUTO che cercate per la scuola e soprattutto offre tantissime cose, come allenamenti e schede, che a me personalmente sono state MOLTO utili.
Anna
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È bellissima questa app, la adoro. È utilissima per lo studio e mi aiuta molto, anzi moltissimo, ma soprattutto mi aiutano molto i quiz, per memorizzare anche quello che non sapevo
Anastasia
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Fantastica per qualsiasi materia avere gli appunti anche di altre persone è molto utile perchè posso confrontarmi e vedere come migliorarmi. con i quiz riesco ad apprendere al meglio.
Francesca
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moooolto utile,gli appunti sono belli e funzionanti,schoolGPT da dei consigli formidabili!!
Marianna
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Sudenaz Ocak
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Greenlight Bonnie
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Knowunity è un applicazione fantastica,considerando che ha degli schemi veramente molto carini e sfiziosi e che ci sono dei quiz,oltre al fatto che questa cosa dell intelligenza artificiale "school gpt" è almeno per me molto utile, perché a differenza di Chatgpt ti da le spiegazioni, ti spiega ciò che non è chiaro! Posso studiare più velocemente tramite gli schemi e che posso pubblicare io stessa gli schemi è una funzione utilissima per gli altri studenti. Knowunity è PERFETTA
Aurora
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Martina
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Chiara
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Wow, sono davvero stupita. Ho appena provato l'app perché l'ho vista pubblicizzata molte volte e sono rimasta assolutamente sbalordita. Questa app è L'AIUTO che cercate per la scuola e soprattutto offre tantissime cose, come allenamenti e schede, che a me personalmente sono state MOLTO utili.
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Francesca
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Sudenaz Ocak
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