Trigonometria dei Triangoli Qualsiasi
Area di un triangolo qualsiasi
L'area di un triangolo qualsiasi può essere calcolata utilizzando due lati e l'angolo compreso tra essi:
A = (1/2)·b·c·sin α = (1/2)·a·c·sin β = (1/2)·a·b·sin γ
Concetto Fondamentale: Questa formula è una generalizzazione della formula dell'area per i triangoli rettangoli e funziona per qualsiasi tipo di triangolo, sia esso acutangolo, ottusangolo o rettangolo.
Teorema dei seni
In un triangolo qualsiasi è costante il rapporto tra la misura di ciascun lato e il seno dell'angolo opposto:
a/sin α = b/sin β = c/sin γ
Questo teorema è particolarmente utile quando conosciamo:
- Due angoli e un lato
- Due lati e l'angolo opposto a uno di essi
Teorema Importante: Il teorema dei seni è uno strumento potente nella trigonometria dei triangoli qualsiasi e consente di determinare le misure incognite di un triangolo quando non è possibile utilizzare le formule del triangolo rettangolo.
Teorema del coseno
Il quadrato della misura di un lato è uguale alla somma dei quadrati delle misure degli altri due, diminuita del doppio prodotto delle misure di questi due lati per il coseno dell'angolo fra essi compreso:
a² = b² + c² - 2bc·cos α
b² = a² + c² - 2ac·cos β
c² = a² + b² - 2ab·cos γ
Questo teorema è utile quando conosciamo:
- Tre lati pertrovaregliangoli
- Due lati e l'angolo compreso pertrovareilterzolato
Applicazione Pratica: Il teorema del coseno è una generalizzazione del teorema di Pitagora. Infatti, in un triangolo rettangolo con α = 90°, cos α = 0, quindi a² = b² + c², che è esattamente il teorema di Pitagora.
Prima relazione fondamentale della goniometria
cos²α + sin²α = 1
Da questa formula possiamo ricavare:
- Il coseno, se è noto il seno: cos α = ±√1−sin2α
- Il seno, se è noto il coseno: sin α = ±√1−cos2α
Il segno +o− dipende dal quadrante in cui si trova l'angolo α.
Formula Inversa: Le formule inverse del seno e coseno sono fondamentali per risolvere problemi di trigonometria quando conosciamo solo alcuni elementi del triangolo. È essenziale considerare il quadrante dell'angolo per determinare il segno corretto.
