Gli Insiemi Numerici

Immagina gli insiemi numerici come diverse "famiglie" di numeri, ognuna con le sue caratteristiche speciali. L'insieme N (numeri naturali) comprende tutti i numeri che usi per contare: 1, 2, 3... È "chiuso" rispetto a somma e prodotto, il che significa che sommando o moltiplicando due numeri naturali ottieni sempre un numero naturale.

L'insieme Z (numeri interi) è praticamente N con i segni: include anche i negativi come -1, -2, -3... Anche qui vale la proprietà di chiusura per somma e prodotto.

L'insieme Q (numeri razionali) include tutte le frazioni, ma non tutti i numeri! Per esempio, non esiste nessun numero razionale il cui quadrato sia 2. La dimostrazione è geniale: si suppone per assurdo che esista m/n tale che $m/n$² = 2, ma si arriva sempre a una contraddizione.

Gli intervalli sono porzioni della retta reale delimitate da due punti. Possono essere limitati come $a,b$ o illimitati come $a,+∞$. Le parentesi tonde escludono l'estremo, quelle quadre lo includono.

💡 Trucco per l'esame: Ricorda che un numero è maggiorante se è più grande di tutti gli elementi dell'insieme, massimo se è maggiorante E appartiene all'insieme!

Geometria Analitica e Trigonometria

Questa sezione ti introduce al mondo delle funzioni goniometriche e delle curve nel piano cartesiano. Le funzioni trigonometriche (seno, coseno, tangente) hanno proprietà e grafici specifici che devi assolutamente memorizzare.

Le coniche sono curve fondamentali: parabola, ellisse, iperbole e circonferenza. Ognuna ha la sua equazione caratteristica e rappresenta luoghi geometrici con proprietà uniche. Per esempio, l'ellisse è il luogo dei punti per cui è costante la somma delle distanze da due punti fissi (i fuochi).

Quando una retta incontra una conica, possono verificarsi tre situazioni: la retta può essere esterna (non la tocca), tangente (la tocca in un punto) o secante (la attraversa in due punti).

💡 Metodo veloce: Per determinare la posizione di una retta rispetto a una conica, calcola il discriminante dell'equazione risolvente: Δ < 0 (esterna), Δ = 0 (tangente), Δ > 0 (secante).

Rette, Parabole e Circonferenze

Quando lavori con retta e parabola, il discriminante dell'equazione di secondo grado ti dice tutto quello che serve. Se Δ > 0 hai una retta secante, se Δ = 0 una tangente, se Δ < 0 una retta esterna.

La circonferenza ha un'equazione standard molto riconoscibile: $x-a$² + $y-b$² = r². Il centro è C(a,b) e il raggio è r. Puoi anche trovare circonferenze dalla forma estesa x² + y² + Dx + Ey + F = 0.

Per le tangenti alla parabola passanti per un punto esterno, ricorda che ce ne sono sempre due. Il metodo algebrico consiste nel porre il discriminante uguale a zero e risolvere il sistema.

🎯 Strategia d'esame: Quando ti chiedono di trovare tangenti o punti di intersezione, parti sempre dall'equazione del fascio e imponi le condizioni richieste attraverso il discriminante.

Funzioni Reali - Concetti Base

Le funzioni sono il cuore della matematica moderna! Una funzione f: A→B associa a ogni elemento di A (dominio) uno e un solo elemento di B (codominio). L'immagine è l'insieme dei valori che la funzione può effettivamente assumere.

Una funzione può essere iniettiva (a elementi diversi del dominio corrispondono elementi diversi del codominio), suriettiva (ogni elemento del codominio è immagine di qualche elemento del dominio), o biiettiva (entrambe le proprietà insieme).

La funzione composta g(f(x)) si ottiene applicando prima f e poi g al risultato. È come una catena di montaggio: prima trasformi x con f, poi il risultato con g.

✨ Ricorda: Solo le funzioni biiettive hanno funzione inversa! Se una funzione non è iniettiva, più valori del dominio danno lo stesso risultato, quindi non puoi "tornare indietro".

Proprietà delle Funzioni

Le funzioni pari hanno la proprietà f(x) = f$-x$: il loro grafico è simmetrico rispetto all'asse y. Le funzioni dispari soddisfano f$-x$ = -f(x) e sono simmetriche rispetto all'origine.

Una funzione è strettamente crescente se x₁ < x₂ implica f(x₁) < f(x₂). Se invece vale f(x₁) ≤ f(x₂), è crescente in senso lato. Lo stesso principio vale per le funzioni decrescenti, ma con le disuguaglianze invertite.

Le funzioni monotone sono quelle che mantengono sempre lo stesso "comportamento" in tutto il dominio: sempre crescenti o sempre decrescenti.

🔍 Metodo pratico: Per verificare se una funzione è pari o dispari, calcola f$-x$ e confronta con f(x) e -f(x). Se non ottieni nessuna delle due relazioni, la funzione non ha simmetrie particolari.

Massimi, Minimi e Concavità

I massimi e minimi relativi sono "vette" e "valli" locali del grafico. Un punto x₀ è di massimo relativo se in un intorno di quel punto la funzione non supera mai f(x₀). I massimi e minimi assoluti sono invece i valori più alti e più bassi in tutto il dominio.

La concavità descrive la "forma" della curva. Una funzione è convessa (concavità verso l'alto) quando la corda che unisce due punti qualsiasi sta sopra il grafico. È concava (concavità verso il basso) quando la corda sta sotto il grafico.

I punti di flesso sono dove la concavità cambia: da convessa a concava o viceversa. Sono i punti dove il grafico "cambia direzione di curvatura".

🎨 Visualizza: Immagina di versare acqua sul grafico: nelle zone convesse l'acqua scivola via, in quelle concave si accumula. I punti di flesso sono dove il comportamento cambia!

Limiti e Continuità

I limiti descrivono il comportamento di una funzione quando x si avvicina a un valore particolare. Possono essere finiti o infiniti, e il punto può essere finito o infinito: questo dà origine a diversi casi di definizione.

Una funzione è continua in un punto se il limite coincide con il valore della funzione in quel punto. Le discontinuità possono essere di diversi tipi: eliminabili, di prima specie (salti) o di seconda specie.

Gli asintoti sono rette a cui il grafico si avvicina indefinitamente. Possono essere verticali $x = a$, orizzontali $y = b$ o obliqui $y = mx + q$.

Il Teorema degli zeri garantisce che una funzione continua che assume valori di segno opposto ha almeno uno zero nell'intervallo. Il Teorema di Weierstrass assicura che su un intervallo chiuso e limitato esistono sempre massimo e minimo assoluti.

⚡ Forme indeterminate: Quando hai 0/0, ∞/∞, ∞-∞ devi usare tecniche speciali come le regole di De L'Hôpital o la gerarchia degli infiniti!

Derivate e Teoremi Fondamentali

La derivata rappresenta la velocità istantanea di variazione di una funzione. Geometricamente è la pendenza della retta tangente in quel punto. Se una funzione è derivabile in un punto, è anche continua (ma non viceversa!).

I teoremi fondamentali collegano le proprietà locali a quelle globali. Il Teorema di Fermat dice che nei punti di estremo relativo interni la derivata è zero. Il Teorema di Rolle garantisce l'esistenza di almeno un punto a derivata nulla in certe condizioni.

Il Teorema di Lagrange (o del valor medio) è ancora più generale: esiste sempre un punto dove la derivata uguaglia la pendenza media della funzione nell'intervallo.

Lo studio del segno della derivata prima ti dice dove la funzione cresce o decresce. Il segno della derivata seconda indica la concavità e i punti di flesso.

🚀 Applicazione fisica: Se f(t) rappresenta la posizione, f'(t) è la velocità e f''(t) è l'accelerazione. La matematica descrive perfettamente il movimento!

Teoremi sui Limiti e Continuità delle Derivate

Il Teorema della continuità delle funzioni derivabili stabilisce un legame fondamentale: se una funzione è derivabile in un punto, allora è automaticamente continua in quel punto. La dimostrazione è elegante e usa il fatto che il limite del rapporto incrementale esiste.

I criteri di derivabilità ti aiutano a determinare quando una funzione ammette derivata. Nei punti angolosi, di cuspide o a tangente verticale, la funzione non è derivabile anche se può essere continua.

La relazione tra grafico di f(x) e f'(x) è cruciale: dove f cresce, f' è positiva; dove f decresce, f' è negativa. I punti di massimo e minimo di f corrispondono agli zeri di f'.

🔧 Tecnica risolutiva: Per studiare una funzione, parti sempre dal dominio, poi calcola i limiti agli estremi, trova derivata prima e seconda, studia i segni e infine disegna il grafico!

Gli Integrali

L'integrale indefinito è l'operazione inversa della derivazione: trovare tutte le funzioni che hanno una data derivata. Il risultato è una famiglia di funzioni che differiscono per una costante additiva.

L'integrale definito calcola l'area sottesa dal grafico di una funzione in un intervallo. Il Teorema fondamentale del calcolo integrale collega i due concetti: per calcolare un integrale definito basta trovare una primitiva e valutarla agli estremi.

I metodi di integrazione includono sostituzione, per parti e decomposizione in frazioni parziali. Ogni tecnica è adatta a particolari tipologie di funzioni.

Le applicazioni fisiche degli integrali sono innumerevoli: calcolo di aree, volumi, lavoro, spostamento da velocità. Se la derivata rappresenta un "tasso di variazione", l'integrale rappresenta "l'accumulo totale".

🎯 Strategia vincente: Per gli integrali, riconosci prima il "tipo" di funzione integranda, poi applica la tecnica più appropriata. L'esperienza ti farà diventare sempre più veloce nel riconoscimento!