Continuità di una Funzione

Una funzione è continua in un punto c quando non fa "salti" strani in quel punto. Matematicamente, questo succede quando il limite per x che tende a c è uguale al valore della funzione in c: lim_{x→c} f(x) = f(c).

Perché questo funzioni, devono verificarsi tre cose insieme: il limite deve esistere ed essere finito, il punto c deve appartenere al dominio della funzione, e il limite deve essere uguale al valore della funzione. Se anche solo una di queste condizioni non si verifica, hai una discontinuità.

Le discontinuità si dividono in tre tipi. La discontinuità di prima specie (o "di salto") si ha quando i limiti destro e sinistro esistono ma sono diversi - immagina una funzione che fa un salto netto. L'ampiezza del salto è la differenza tra questi due valori.

💡 Ricorda: Le discontinuità di prima specie si trovano spesso nelle funzioni con valori assoluti!

Discontinuità di Seconda Specie

La discontinuità di seconda specie è più "selvaggia" della prima. Si verifica quando almeno uno dei due limiti (destro o sinistro) non esiste oppure va all'infinito.

Questo tipo di discontinuità rende la funzione davvero imprevedibile in quel punto. Mentre nella prima specie avevi comunque dei valori finiti (anche se diversi), qui la funzione può letteralmente "esplodere" verso l'infinito o comportarsi in modo completamente caotico.

I Teoremi delle Funzioni Continue

I teoremi sulle funzioni continue sono tre strumenti potentissimi che ti dicono cosa puoi aspettarti da una funzione "ben educata". Il Teorema di Weierstrass è il primo: se hai una funzione continua in un intervallo chiuso e limitato $a,b$, allora esistono sicuramente un punto di massimo assoluto M e un punto di minimo assoluto m.

Questo teorema ti garantisce che la funzione è "controllata" - non può andare all'infinito e ha dei limiti precisi. È come avere la certezza che in una gara tutti i partecipanti finiranno tra il primo e l'ultimo posto, senza possibilità di risultati estremi.

La cosa fighi è che questo vale solo per intervalli chiusi e limitati. Cambia anche solo una di queste condizioni e tutto può cambiare drasticamente!

💡 Trucco per gli esami: Se vedi un intervallo $a,b$, pensa subito a Weierstrass!

Teoremi di Darboux-Bolzano e dell'Esistenza degli Zeri

Il Teorema di Darboux-Bolzano (dei valori intermedi) è incredibilmente utile: una funzione continua in $a,b$ assume tutti i valori compresi tra il suo minimo e massimo assoluto. Non salta nessun valore intermedio!

Il Teorema dell'esistenza degli zeri è ancora più pratico. Se una funzione continua ha segni opposti agli estremi di un intervallo (f(a)·f(b) < 0), allora esiste sicuramente almeno un punto c dove f(c) = 0.

Questo teorema è oro puro per risolvere equazioni impossibili! Prendi x² - 2x ln x = 0: non puoi risolverla algebricamente, ma se trovi due punti dove la funzione ha segni opposti, sai per certo che una soluzione esiste.

Basta trovare un punto A dove la funzione è positiva e un punto B dove è negativa - tra A e B c'è sicuramente uno zero della funzione.

💡 Applicazione pratica: Questo teorema ti permette di dimostrare l'esistenza di soluzioni anche quando non riesci a calcolarle!

Infiniti e Infinitesimi

Gli infinitesimi sono funzioni che tendono a zero in un punto - sono "molto piccole". Per confrontare due infinitesimi, fai il limite del loro rapporto: se viene infinito, il numeratore è di ordine maggiore; se viene zero, è di ordine minore; se viene un numero finito k, hanno lo stesso ordine.

L'infinitesimo principale di ordine m è la funzione di riferimento: $x-x₀$ᵐ per punti finiti, 1/xᵐ per l'infinito. Per trovare l'ordine di infinitesimo di una funzione, la confronti con quello principale fino a ottenere un limite finito e diverso da zero.

Gli infinitesimi equivalenti sono un trucco fantastico per semplificare i limiti. Nel punto 0 hai: sin x ~ x, ln$1+x$ ~ x, 1-cos x ~ x²/2. Quando hai forme indeterminate, sostituisci un infinitesimo con uno equivalente e il limite non cambia!

Gli infiniti funzionano al contrario: sono funzioni che tendono all'infinito. L'infinito principale è 1/$x-x₀$ᵐ per punti finiti, xᵐ per l'infinito.

💡 Trucco salvavita: Memorizza gli infinitesimi equivalenti - ti faranno risparmiare ore di calcoli!

Infinitesimi Equivalenti e Confronto di Infiniti

Due infinitesimi equivalenti hanno lo stesso "comportamento" vicino a un punto: il loro rapporto tende a 1. Il principio di sostituzione è potentissimo: puoi sostituire un infinitesimo con uno equivalente senza cambiare il limite.

Nel punto 0, ricorda questi infinitesimi equivalenti essenziali: sin x ~ x, eˣ-1 ~ x, ln$1+x$ ~ x, 1-cos x ~ x²/2. Per funzioni composite come 1-cos(4x), diventa ~ (4x)²/2.

Il confronto di infiniti segue la stessa logica degli infinitesimi ma al contrario. Se il rapporto f(x)/g(x) tende a zero, g ha ordine maggiore di f; se tende a infinito, f ha ordine maggiore; se tende a k finito, hanno lo stesso ordine.

Gli infiniti principali cambiano a seconda del punto: per punti finiti usi 1/$x-x₀$ᵐ, per l'infinito usi xᵐ. Sono le tue funzioni di riferimento per confrontare infiniti.

💡 Consiglio per i calcoli: Quando vedi sin, ln, exp o cos in un limite, pensa subito agli equivalenti!

Successioni e Progressioni

Una successione è semplicemente una funzione che associa a ogni numero naturale n un valore aₙ. È come avere una lista infinita di numeri ordinati! Le successioni possono essere convergenti (tendono a un limite finito), divergenti (tendono a infinito) o indeterminate (il limite non esiste).

Le progressioni aritmetiche hanno una differenza costante d tra termini consecutivi. Formula: aₙ = a₁ + $n-1$d. Esempio: 2, 5, 8, 11, 14... con d=3. Queste progressioni divergono sempre all'infinito.

Le progressioni geometriche hanno un rapporto costante q tra termini consecutivi. Formula: aₙ = a₁ · qⁿ⁻¹. Il loro comportamento dipende da q: se |q| < 1 convergono, se |q| > 1 divergono, se q = ±1 sono casi speciali.

La somma dei primi n termini di una progressione aritmetica è Sₙ = $a₁ + aₙ$n/2. È la formula dell'area di un trapezio!

💡 Trucco mnemonico: Aritmetica = Addizione (differenza), Geometrica = moltiplicazione (rapporto)!

Studio delle Serie

Una serie è la somma di infiniti termini di una successione: ∑aₙ = a₁ + a₂ + a₃ + ... È come chiedersi: "Se sommo tutti questi infiniti numeri, cosa ottengo?"

La somma parziale Sₙ è la somma dei primi n termini. Per calcolare la serie completa, devi trovare il limite di Sₙ per n che tende a infinito. Il carattere della serie (convergente, divergente o indeterminata) dipende da questo limite.

La serie geometrica è la più importante: ∑qⁿ = 1 + q + q² + q³ + ... Se q = 1, hai 1 + 1 + 1 + ... che chiaramente diverge. Se q ≥ 1, la serie è sempre divergente perché i termini crescono (o restano costanti).

Per q ≠ 1, la somma parziale è Sₙ = $1-qⁿ$/$1-q$. Quando |q| > 1, qⁿ esplode all'infinito e la serie diverge.

💡 Regola d'oro: Per serie geometriche, tutto dipende da |q|: <1 converge, ≥1 diverge!

Serie Geometrica - Casi Speciali

Quando -1 < q < 1, la serie geometrica converge! Usando la formula Sₙ = $1-qⁿ$/$1-q$, nel limite per n→∞ il termine qⁿ tende a zero, quindi ottieni la formula magica: ∑qⁿ = 1/$1-q$.

Questa formula ti dà il valore esatto della somma infinita. Ad esempio, se q = 1/2, hai 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + ... = 1/(1-1/2) = 2. Fantastico, no?

Per q < -1, la serie è indeterminata perché le potenze alternano sempre il segno, creando oscillazioni che non si stabilizzano mai. I termini diventano sempre più grandi in valore assoluto ma continuano a cambiare segno.

La serie geometrica è fondamentale perché molte altre serie si possono ricondurre ad essa o usarla come confronto.

💡 Ricorda sempre: La convergenza della serie geometrica dipende solo da |q| < 1, non dal segno di q!