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Arianna
30/11/2025
Matematica
matematica
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30 nov 2025
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Arianna
@ariannadellerba_ckts
Preparati a padroneggiare i concetti chiave del calcolo differenziale e... Mostra di più
Una funzione è semplicemente una relazione che collega ogni elemento di un insieme (dominio) a uno e un solo elemento di un altro insieme (codominio). Pensala come una macchina: inserisci un valore x e ottieni un risultato f(x).
I tipi di funzioni che incontrerai più spesso hanno regole specifiche per il dominio. Le funzioni razionali intere hanno dominio su tutto ℝ, mentre quelle razionali fratte richiedono che il denominatore sia diverso da zero. Per le funzioni irrazionali, se l'indice è pari il radicando deve essere ≥ 0, se è dispari il dominio è tutto ℝ.
Le funzioni logaritmiche y = log_a(x) hanno una caratteristica fondamentale: l'argomento deve essere sempre maggiore di zero. Il dominio è ℝ⁺ e il codominio è ℝ, e la funzione passa sempre per il punto (1,0).
💡 Trucco per gli esami: Ricorda che non esistono logaritmi di numeri negativi o dello zero!
Le funzioni esponenziali y = aˣ sono l'opposto delle logaritmiche: qui la variabile sta nell'esponente. Il dominio è tutto ℝ mentre il codominio è ℝ⁺. Queste funzioni sono sempre positive e il loro grafico non tocca mai l'asse x.
Se la base a > 1 la funzione è crescente, se 0 < a < 1 è decrescente. Il grafico esiste solo nel primo e secondo quadrante.
Le proprietà dei logaritmi sono fondamentali per risolvere equazioni complesse. Il teorema del prodotto ti dice che log_a(xy) = log_a(x) + log_a(y). Il teorema del rapporto afferma che log_a = log_a(x) - log_a(y). Infine, il teorema della potenza: log_a(xⁿ) = n·log_a(x).
💡 Strategia vincente: Memorizza queste tre proprietà - ti semplificheranno enormemente la vita negli esercizi!
Le funzioni notevoli più importanti sono le rette, espresse dall'equazione y = mx + q. Qui m è il coefficiente angolare che determina l'inclinazione, mentre q è l'intercetta sull'asse y.
Due rette sono parallele quando hanno lo stesso coefficiente angolare. Sono perpendicolari quando il prodotto dei loro coefficienti angolari è -1. Per trovare l'equazione di una retta passante per un punto: y - y₀ = m.
La parabola ha equazione y = ax² + bx + c e rappresenta graficamente una funzione quadratica. Il vertice ha coordinate dove Δ = b² - 4ac. Il fuoco si trova in e l'asse di simmetria è x = -b/2a.
💡 Ricorda: Il segno di 'a' determina se la parabola è rivolta verso l'alto (a > 0) o verso il basso (a < 0).
Nella circonferenza goniometrica , il seno di un angolo è l'ordinata (y) del punto, mentre il coseno è l'ascissa (x). Memorizza i valori fondamentali: sen(0°) = 0, cos(0°) = 1, sen(90°) = 1, cos(90°) = 0.
Il rapporto incrementale è il rapporto tra la variazione della funzione (Δy) e la variazione della x (Δx) partendo da un punto x₀. È la formula: /h.
Questo concetto ti prepara alla derivata: quando h tende a 0, il rapporto incrementale diventa la derivata prima f'(x₀). Geometricamente, rappresenta il coefficiente angolare della retta tangente al grafico nel punto dato.
💡 Collegamento importante: Il rapporto incrementale è la "velocità media", la derivata è la "velocità istantanea"!
Il limite descrive come si comporta una funzione quando x si avvicina a un certo valore. È uno strumento potente per studiare l'andamento delle funzioni anche dove non sono definite.
Le forme indeterminate richiedono tecniche speciali. Per 0/0 devi scomporre, per ∞/∞ consideri solo i termini di grado massimo. Se il grado maggiore è al denominatore il limite è 0, se è al numeratore è ∞, se sono uguali dividi i coefficienti.
Le proprietà dei limiti semplificano i calcoli: il limite di una somma è la somma dei limiti, stesso discorso per prodotto e quoziente (purché il denominatore non tenda a zero). Puoi "estrarre" le costanti dall'operazione di limite.
💡 Strategia pratica: Identifica subito il tipo di forma indeterminata per scegliere la tecnica giusta!
Le derivate fondamentali sono il tuo kit di base. La derivata di una costante è 0, di xⁿ è n·xⁿ⁻¹, di sin(x) è cos(x), di cos(x) è -sin(x), di eˣ è eˣ, di ln(x) è 1/x.
Per le operazioni tra funzioni hai regole precise. Somma: ' = f'+g'. Prodotto: (f·g)' = f'·g + f·g'. Quoziente: ' = /g². Per le funzioni composte usi la regola della catena: (f(g(x)))' = f'(g(x))·g'(x).
Le derivate di ordine superiore (f'', f''', ...) ti danno informazioni sulla concavità e sui flessi. La derivata prima ti dice se la funzione cresce o decresce, la seconda se è concava verso l'alto o il basso.
💡 Trucco memorizzazione: La regola del prodotto è come "il primo per la derivata del secondo più il secondo per la derivata del primo"!
Per lo studio completo di una funzione segui sempre lo stesso schema: dominio, simmetrie, intersezioni con gli assi, segno, limiti e asintoti, derivata prima per crescenza/decrescenza e massimi/minimi, derivata seconda per concavità e flessi.
I punti critici sono dove f'(x) = 0 o f'(x) non esiste. Analizzando il segno della derivata prima a sinistra e destra determini se sono massimi, minimi o né l'uno né l'altro. Se f' cambia da + a - hai un massimo, da - a + hai un minimo.
La concavità dipende dal segno di f''. Se f'' > 0 la funzione è concava verso l'alto (forma a U), se f'' < 0 è concava verso il basso (forma a ∩). I punti di flesso sono dove f'' cambia segno.
💡 Metodo sistematico: Seguire sempre lo stesso ordine ti evita di dimenticare passaggi importanti!
Una primitiva di f(x) è una funzione che, derivata, restituisce f(x). L'integrale indefinito ∫f(x)dx rappresenta tutte le primitive di f(x) e differisce per una costante C.
L'integrale indefinito gode della proprietà di linearità: ∫dx = ∫f(x)dx + ∫g(x)dx e ∫k·f(x)dx = k·∫f(x)dx. Questo ti permette di spezzare integrali complessi in parti più semplici.
Le integrazioni immediate utilizzano le formule inverse delle derivate: ∫xⁿdx = xⁿ⁺¹/ + C, ∫eˣdx = eˣ + C, ∫sin(x)dx = -cos(x) + C, ∫cos(x)dx = sin(x) + C.
💡 Regola d'oro: Integrare è l'operazione inversa del derivare - se conosci le derivate, puoi "leggere al contrario" per gli integrali!
L'integrazione per scomposizione ti aiuta quando hai funzioni complesse che puoi spezzare in somme di funzioni più semplici. Cerca sempre fattori comuni o espressioni che riconosci dalle integrazioni immediate.
L'integrazione per parti usa la formula ∫f(x)·g'(x)dx = f(x)·g(x) - ∫g(x)·f'(x)dx. Scegli f(x) come la funzione che si "semplifica" derivando (polinomi, logaritmi) e g'(x) come quella che rimane "gestibile" integrando (esponenziali, funzioni goniometriche).
Questa tecnica deriva dalla regola del prodotto delle derivate applicata al contrario. È particolarmente utile per integrali del tipo ∫x·eˣdx o ∫x·sin(x)dx.
💡 Strategia pratica: Per l'integrazione per parti, ricorda l'acronimo LIATE (Logaritmiche, Inverse trigonometriche, Algebriche, Trigonometriche, Esponenziali) per scegliere f(x)!
Il nostro assistente AI è costruito specificamente per le esigenze degli studenti. Sulla base dei milioni di contenuti presenti sulla piattaforma, possiamo fornire agli studenti risposte davvero significative e pertinenti. Ma non si tratta solo di risposte, l'assistente è in grado di guidare gli studenti attraverso le loro sfide quotidiane di studio, con piani di studio personalizzati, quiz o contenuti nella chat e una personalizzazione al 100% basata sulle competenze e sugli sviluppi degli studenti.
È possibile scaricare l'applicazione dal Google Play Store e dall'Apple App Store.
Sì, hai accesso completamente gratuito a tutti i contenuti nell'app e puoi chattare o seguire i Creatori in qualsiasi momento. Sbloccherai nuove funzioni crescendo il tuo numero di follower. Inoltre, offriamo Knowunity Premium, che consente di studiare senza alcun limite!!
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Google Play
L'applicazione è molto facile da usare e ben progettata. Finora ho trovato tutto quello che cercavo e ho potuto imparare molto dalle presentazioni! Utilizzerò sicuramente l'app per i compiti in classe! È molto utile anche come fonte di ispirazione.
Stefano S
utente iOS
Questa applicazione è davvero grande! Ci sono tantissimi appunti e aiuti con lo studio [...]. La mia materia problematica, per esempio, è il francese e l'app ha così tante opzioni per aiutarmi. Grazie a questa app ho migliorato il mio francese. La consiglio a tutti.
Samantha Klich
utente Android
Wow, sono davvero stupita. Ho appena provato l'app perché l'ho vista pubblicizzata molte volte e sono rimasta assolutamente sbalordita. Questa app è L'AIUTO che cercate per la scuola e soprattutto offre tantissime cose, come allenamenti e schede, che a me personalmente sono state MOLTO utili.
Anna
utente iOS
È bellissima questa app, la adoro. È utilissima per lo studio e mi aiuta molto, anzi moltissimo, ma soprattutto mi aiutano molto i quiz, per memorizzare anche quello che non sapevo
Anastasia
utente Android
Fantastica per qualsiasi materia avere gli appunti anche di altre persone è molto utile perchè posso confrontarmi e vedere come migliorarmi. con i quiz riesco ad apprendere al meglio.
Francesca
utente Android
moooolto utile,gli appunti sono belli e funzionanti,schoolGPT da dei consigli formidabili!!
Marianna
utente Android
L'applicazione è semplicemente fantastica! Tutto ciò che devo fare è inserire l'argomento nella barra di ricerca e ottengo la risposta molto velocemente. Non devo guardare 10 video di YouTube per capire qualcosa, quindi risparmio tempo. Consigliatissima!
Sudenaz Ocak
utente Android
A scuola andavo malissimo in matematica, ma grazie a questa applicazione ora vado meglio. Vi sono molto grato per aver creato questa app.
Greenlight Bonnie
utente Android
Knowunity è un applicazione fantastica,considerando che ha degli schemi veramente molto carini e sfiziosi e che ci sono dei quiz,oltre al fatto che questa cosa dell intelligenza artificiale "school gpt" è almeno per me molto utile, perché a differenza di Chatgpt ti da le spiegazioni, ti spiega ciò che non è chiaro! Posso studiare più velocemente tramite gli schemi e che posso pubblicare io stessa gli schemi è una funzione utilissima per gli altri studenti. Knowunity è PERFETTA
Aurora
utente Android
L’app funziona benissimo e puoi trovare qualsiasi tipo di informazione. Non ho l’abbonamento ma la parte gratuita è sufficiente per uno studio approfondito.
Martina
utente iOS
in questi ultimi mesi di scuola dove il tempo è ormai poco, mi sta aiutando molto perché piuttosto che farmi io gli schemi su quello che leggo sul libro guardo questi già fatti e li uso come ripasso piuttosto che rileggermi tutto il libro
Chiara
utente IOS
Questa app è una delle migliori, nient’altro da dire.
Andrea
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Wow, sono davvero stupita. Ho appena provato l'app perché l'ho vista pubblicizzata molte volte e sono rimasta assolutamente sbalordita. Questa app è L'AIUTO che cercate per la scuola e soprattutto offre tantissime cose, come allenamenti e schede, che a me personalmente sono state MOLTO utili.
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È bellissima questa app, la adoro. È utilissima per lo studio e mi aiuta molto, anzi moltissimo, ma soprattutto mi aiutano molto i quiz, per memorizzare anche quello che non sapevo
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Arianna
@ariannadellerba_ckts
Preparati a padroneggiare i concetti chiave del calcolo differenziale e integrale! Questo riassunto copre tutto quello che devi sapere sulle funzioni, derivate, integrali e molto altro per superare brillantemente i tuoi esami di matematica.
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Una funzione è semplicemente una relazione che collega ogni elemento di un insieme (dominio) a uno e un solo elemento di un altro insieme (codominio). Pensala come una macchina: inserisci un valore x e ottieni un risultato f(x).
I tipi di funzioni che incontrerai più spesso hanno regole specifiche per il dominio. Le funzioni razionali intere hanno dominio su tutto ℝ, mentre quelle razionali fratte richiedono che il denominatore sia diverso da zero. Per le funzioni irrazionali, se l'indice è pari il radicando deve essere ≥ 0, se è dispari il dominio è tutto ℝ.
Le funzioni logaritmiche y = log_a(x) hanno una caratteristica fondamentale: l'argomento deve essere sempre maggiore di zero. Il dominio è ℝ⁺ e il codominio è ℝ, e la funzione passa sempre per il punto (1,0).
💡 Trucco per gli esami: Ricorda che non esistono logaritmi di numeri negativi o dello zero!
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Se la base a > 1 la funzione è crescente, se 0 < a < 1 è decrescente. Il grafico esiste solo nel primo e secondo quadrante.
Le proprietà dei logaritmi sono fondamentali per risolvere equazioni complesse. Il teorema del prodotto ti dice che log_a(xy) = log_a(x) + log_a(y). Il teorema del rapporto afferma che log_a = log_a(x) - log_a(y). Infine, il teorema della potenza: log_a(xⁿ) = n·log_a(x).
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Due rette sono parallele quando hanno lo stesso coefficiente angolare. Sono perpendicolari quando il prodotto dei loro coefficienti angolari è -1. Per trovare l'equazione di una retta passante per un punto: y - y₀ = m.
La parabola ha equazione y = ax² + bx + c e rappresenta graficamente una funzione quadratica. Il vertice ha coordinate dove Δ = b² - 4ac. Il fuoco si trova in e l'asse di simmetria è x = -b/2a.
💡 Ricorda: Il segno di 'a' determina se la parabola è rivolta verso l'alto (a > 0) o verso il basso (a < 0).
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Il rapporto incrementale è il rapporto tra la variazione della funzione (Δy) e la variazione della x (Δx) partendo da un punto x₀. È la formula: /h.
Questo concetto ti prepara alla derivata: quando h tende a 0, il rapporto incrementale diventa la derivata prima f'(x₀). Geometricamente, rappresenta il coefficiente angolare della retta tangente al grafico nel punto dato.
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Il limite descrive come si comporta una funzione quando x si avvicina a un certo valore. È uno strumento potente per studiare l'andamento delle funzioni anche dove non sono definite.
Le forme indeterminate richiedono tecniche speciali. Per 0/0 devi scomporre, per ∞/∞ consideri solo i termini di grado massimo. Se il grado maggiore è al denominatore il limite è 0, se è al numeratore è ∞, se sono uguali dividi i coefficienti.
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Per le operazioni tra funzioni hai regole precise. Somma: ' = f'+g'. Prodotto: (f·g)' = f'·g + f·g'. Quoziente: ' = /g². Per le funzioni composte usi la regola della catena: (f(g(x)))' = f'(g(x))·g'(x).
Le derivate di ordine superiore (f'', f''', ...) ti danno informazioni sulla concavità e sui flessi. La derivata prima ti dice se la funzione cresce o decresce, la seconda se è concava verso l'alto o il basso.
💡 Trucco memorizzazione: La regola del prodotto è come "il primo per la derivata del secondo più il secondo per la derivata del primo"!
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I punti critici sono dove f'(x) = 0 o f'(x) non esiste. Analizzando il segno della derivata prima a sinistra e destra determini se sono massimi, minimi o né l'uno né l'altro. Se f' cambia da + a - hai un massimo, da - a + hai un minimo.
La concavità dipende dal segno di f''. Se f'' > 0 la funzione è concava verso l'alto (forma a U), se f'' < 0 è concava verso il basso (forma a ∩). I punti di flesso sono dove f'' cambia segno.
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Una primitiva di f(x) è una funzione che, derivata, restituisce f(x). L'integrale indefinito ∫f(x)dx rappresenta tutte le primitive di f(x) e differisce per una costante C.
L'integrale indefinito gode della proprietà di linearità: ∫dx = ∫f(x)dx + ∫g(x)dx e ∫k·f(x)dx = k·∫f(x)dx. Questo ti permette di spezzare integrali complessi in parti più semplici.
Le integrazioni immediate utilizzano le formule inverse delle derivate: ∫xⁿdx = xⁿ⁺¹/ + C, ∫eˣdx = eˣ + C, ∫sin(x)dx = -cos(x) + C, ∫cos(x)dx = sin(x) + C.
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Questa tecnica deriva dalla regola del prodotto delle derivate applicata al contrario. È particolarmente utile per integrali del tipo ∫x·eˣdx o ∫x·sin(x)dx.
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Samantha Klich
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Sudenaz Ocak
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A scuola andavo malissimo in matematica, ma grazie a questa applicazione ora vado meglio. Vi sono molto grato per aver creato questa app.
Greenlight Bonnie
utente Android
Knowunity è un applicazione fantastica,considerando che ha degli schemi veramente molto carini e sfiziosi e che ci sono dei quiz,oltre al fatto che questa cosa dell intelligenza artificiale "school gpt" è almeno per me molto utile, perché a differenza di Chatgpt ti da le spiegazioni, ti spiega ciò che non è chiaro! Posso studiare più velocemente tramite gli schemi e che posso pubblicare io stessa gli schemi è una funzione utilissima per gli altri studenti. Knowunity è PERFETTA
Aurora
utente Android
L’app funziona benissimo e puoi trovare qualsiasi tipo di informazione. Non ho l’abbonamento ma la parte gratuita è sufficiente per uno studio approfondito.
Martina
utente iOS
in questi ultimi mesi di scuola dove il tempo è ormai poco, mi sta aiutando molto perché piuttosto che farmi io gli schemi su quello che leggo sul libro guardo questi già fatti e li uso come ripasso piuttosto che rileggermi tutto il libro
Chiara
utente IOS
Questa app è una delle migliori, nient’altro da dire.
Andrea
utente iOS
