Limiti di Funzioni

Questo capitolo introduce il concetto fondamentale di limite di una funzione, essenziale per l'analisi matematica.

La definizione di limite finito di una funzione in un punto viene presentata in modo rigoroso:

Definizione: Si dice che lim(x→x₀) f(x) = l se per ogni ε > 0 esiste un intorno di x₀ tale che |f(x) - l| < ε per ogni x appartenente all'intorno di x₀, escluso x₀ stesso.

Questa definizione formalizza l'idea intuitiva che i valori della funzione si avvicinano arbitrariamente al valore l quando x si avvicina a x₀.

Il capitolo prosegue con la definizione di limite infinito:

• Limite +∞: lim(x→x₀) f(x) = +∞ se per ogni M > 0 esiste un intorno di x₀ tale che f(x) > M per ogni x nell'intorno, escluso x₀.
• Limite -∞: lim(x→x₀) f(x) = -∞ se per ogni M < 0 esiste un intorno di x₀ tale che f(x) < M per ogni x nell'intorno, escluso x₀.

Highlight: Quando una funzione ha limite +∞ o -∞, si dice che diverge positivamente o negativamente.

Queste definizioni sono fondamentali per comprendere il comportamento asintotico delle funzioni e sono alla base di concetti più avanzati come la continuità e la derivabilità.

La comprensione dei limiti è essenziale per analizzare il comportamento delle funzioni in prossimità di punti critici o all'infinito, permettendo di studiare fenomeni come le discontinuità e le asintoti.