Definizioni Matematica 5°liceo

Didascalia alternativa:

< f(x₂) VX₁X₂ EI (per ogni x₁ e x2 appartenente all'intervallo) ISD (l'intervallo è un sott'insieme del dominio) FUNZIONE DECRESCENTE Una funzione è decrescente in un intervallo del dominio se X₁ X₂ (allora)=> f(x₁)> f(x₂) FUNZIONE MONOTONA Una funzione è monotòna se in un intervallo è sempre crescente o decrescente in senso stretto. Un esempio di funzione monotona è la retta (che è sempre iniettiva) INTORNO COMPLETO Dato un numero reale xo, si definisce un intorno completo di xo un intervallo aperto contenente xo del tipo: 8 si legge delta 8₂[ Ixo 8₁; x0 + Esempio: -3 1 3 I I 1 I L I I(1) =]1 - 8₁; 1 +8₂ [ I(₁1) =]1-4; 1 + 2[ -4 perché da 1 a - 3 faccio 4 passi indietro; 2 perché da 1 a 3 faccio 2 passi in avanti. È un intorno completo di uno di 1 perché è un intervallo che va da -3 (numero intero negativo) a + 3 (numero intero positivo) e comprende 1. Pag. 2 a 12 INTORNO CIRCOLARE Dato un numero reale xo e un numero reale positivo 8, un intorno circolare, di raggio 8, è l'intervallo aperto: Is(x) =]xo − 81; X0 + 8₂[ 8=raggio xo-8 Esempio: xo lg(x) Xo+8 Due posti indietro e due in avanti (devo togliere o aggiungere la stessa quantità) INTORNO DI -∞ Va da -∞ ad a -> ]-∞; a[ INTORNO DI +∞ Va da ba +∞ -> ] b; +∞[ 3 -w A differenza dell'intorno completo, quello circolare ha una particolarità: 8₁ e ₂ devono essere uguali e gli estremi devono essere equidistanti da xo 5 7 8₁ 82 (5; -2) (5; 2) ex. ]-∞0; -7[ ex. ]3; +∞[ Pag. 3 a 12 DEFINIZIONE DI LIMITE FINITO DI UNA FUNZIONE IN UN PUNTO lim ƒ(x) = l x → xo Considerata una funzione y = f(x) definita nell'insieme D (dominio); e di grafico ad esempio questo: y Per ogni epsilon maggiore di 0 е DEFINIZIONE Xo 2 E è un numero arbitrariamente piccolo (cioè posso scegliere qualsiasi numero piccolo maggiore o minore di 0) y = f(x) I (intorno) \ε> 0 31(x): |ƒ(x) − l| < ε esiste un introno di x con 0 tale che il valore assoluto di f di x meno l sia minore di epsilon Più le x si avvicinano a e più la sua immagine si avvicina a l (ossia al limite); Supponiamo che il valore di xo sia 3: le x che si avvicinano da sinistra potranno raggiungere, ad esempio, un valore di 2,99; quelle che si avvicinano da destra, invece, potranno raggiungere un valore di 3,001. Questo per dire che non potranno mai essere uguali a 3 VxEI(x) = {x} per ogni x appartenente all'introno x con 0 tranne X con 0 |f(x) = l|=> lε <f(x) < l + ε Vale a dire che la funzione deve essere compresa tra: l-ɛel + ε DEFINIZIONE LIMITE FINITO ESPOSIZIONE ORALE Si dice che la funzione y = f(x) ammette limite finito per x che tende a x con 0 solo se: per ogni epsilon maggiore di zero esiste un intorno di x con zero tale che il valore assoluto di f di x meno l sia minore di epsilon per ogni x appartenente all'intorno di x con 0 tranne x con 0 Pag. 4 a 12 LIMITE DI +∞ PER X CHE TENDE A Xo Sia f(x) una funzione definita in un intervallo [a;b] e non definita in xo interno ad [a;b]. f(x) > M f(x) M O X=X₂ lim f(x) = x xo y = f(x) = +∞ ESPOSIZIONE ORALE: IN QUESTO CASO SI DICE CHE LA FUNZIONE f DIVERGE POSITIVAMENTE - (f(x) >M_\x€I(x) — {xo} Dove M è un numero reale positivo grande a piacere Il limite per x che tende a x con 0 di f(x) è uguale a +∞ se: per ogni M maggiore di 0 esiste un intorno di x con 0 tale che f di x sarà maggiore di M per ogni x appartenente all'intorno di x con 0 tranne x con 0 Pag. 5 a 12 LIMITE DI-PER X CHE TENDE A Xo Sia f(x) una funzione definita in un intervallo [a;b] e non definita in xo interno ad [a;b]. -M- f(x) X = Xo y = f(x) lim f(x) = =18 x → xo X IN QUESTO CASO SI DICE CHE LA FUNZIONE f DIVERGE NEGATIVAMENTE : f(x) <-M_\x¤I(xo) — {xo} ESPOSIZIONE ORALE: Il limite per x che tende a x con 0 di f(x) è uguale a - se: per ogni M maggiore di 0 esiste un intorno di x con 0 tale che f di x sarà minore di - M per ogni x appartenente all'intorno di x con 0 tranne x con 0 Pag. 6 a 12 ASINTOTI VERTICALI La retta x = c, di una funzione y = f(x), è asintoto verticale se si verifica che: limf (x) = +∞, -∞0 oppure co X→C il limite per c che tende a c sia uguale a meno infinito, più infinito oppure infinito. ASINTOTI ORIZZONTALI Data la funzione y = f(x) se si verifica una di queste condizioni: lim f(x) = q lim f(x) = q lim f(x) = q x→∞ x→+∞ x→−8. allora la retta y=q è un asintoto orizzontale per il grafico della funzione. IL LIMITE FINITO DI UNA FUNZIONE PER X CHE TENDE A + ∞ Dove l'intorno di +∞ è costituito da tutte le x maggiori di un numero positivo c I(+∞0) O P Dove l'intorno di - è costituito da tutte le x che sono più piccole di un certo valore, ad esempio -c I(-00) y = f(x) asintoto orizzontale Asintoto verticale H P H M X=C lim f(x) =l se V> 0 ¾c> 0 : [ƒ(x) − l| < ε \x> c 3> x→+∞ esiste un numero c positivo y=q y = f(x) IL LIMITE FINITO DI UNA FUNZIONE PER X CHE TENDE A - ∞ _lim_ƒ(x) =l se \¿> 0 ¾c> 0 : |f(x) − l| < & \x< −c x-18 Pag. 7 a 12 FUNZIONE CONTINUA Siano f(x) una funzione definita in un intervallo [a;b] e xo un punto interno all'intervallo. Una funzione f(x) è continua nel punto xo se il limite per x che tende ad xo di f(x)vale f(x): lim f(x) = f(xo) x → xo La funzione f è continua nel suo dominio D quando risulta continua in ogni punto di D. Funzioni continue possono essere una retta o una parabola. IL TEOREMA DI WEIERSTRASS Se f è una funzione continua in un intervallo limitato e chiuso [a;b], allora la funzione avrà un massimo assoluto e un minimo assoluto. Se una delle ipotesi non dovesse essere verificata, allora tale teorema no ha più valenza (continuità, intervallo chiuso e limitato) O y f(x) M Xo f(x) + ε. f(x) - y = f(x) y₁ M f(b) f([a, b]) f(a) m ESEMPIO DI IPOTESI NON VERIFICATA N 21 La funzione è continua nell'intervallo illimitato [1;+∞[, non vale il teorema di Weierstrass in quanto la funzione è priva di un minimo assoluto. Pag. 8 a 12 TEOREMA DEI VALORI INTERMEDI Se f è una funzione continua in un intervallo limitato e chiuso [a;b], allora essa assume almeno una volta, tutti i valori compresi tra il massimo e il minimo. ESEMPIO DI IPOTESI NON VERIFICATA y = f(x) f(3) -4 Zi -1 O 3 TEOREMA DI ESISTENZA DEGLI ZERI Se f è una funzione continua in un intervallo limitato e chiuso [a,b] e negli estremi di tale intervallo la funzione assume valori di segno opposto, allora esiste almeno un punto c, interno all'intervallo, in cui f si annulla, cioè f(c) = 0 Tale teorema è una conseguenza del primo, ossia quello di Weierstrass ) f(-4) f(d) = M f(c)= m+ a C X m = lim x →∞ y = f(x) d b f(x) x f(b). f(a)- a/c La funzione non è continua in x=-1, infatti come possiamo notare la funzione in -1 si spezza. Inoltre non esiste alcun punto dell'intervallo [-4;3] in cui la funzione si annulla. f continua in [a; b] => vvmsv≤M 3 x = [a; b] | f(x) = v ASINTOTI OBLIQUI La retta di equazione y = mx + q, con m ‡ 0, è asintoto obliquo per il grafico di una funzione f(x) se lim [f(x)-(mx+q)]=0 X→∞0 q y = f(x) TEOREMA SULLA RICERCA DEGLI ASINTOTI OBLIQUI Se il grafico della funzione y = f(x) ha un asintoto obliquo di equazione y = mx +q, con m = 0, allora m e q sono dati dai seguenti limiti: = lim [f(x) -mx] x →∞ Pag. 9 a 12 LA DERIVATA Data una funzione y = f(x), definita in un intervallo [a;b], la derivata della funzione nel punto c interno all'intervallo è: f(c) = lim ● (in un intervallo chiuso di a b) V m = La derivata prima della funzione nel punto c è uguale al limite per h che tende a 0 del rapporto incrementale della funzione relativo a c f(c+h)-f(c) h YB - YA cioè XB - XA m = f(c+h)-f(c). e-h+c m = La derivata di una funzione in un punto c rappresenta il coefficiente angolare della retta tangente al grafico della funzione nel suo punto di ascissa c. Quando parliamo di rapporto incrementale, ci riferiamo al coefficiente angolare della retta secante che è dato dal rapporto tra la differenza delle ordinate e la differenza delle ascisse, quindi: f(c+h)-f(c) h f(c + h) f(c) y Dx = 1 O (ma non vale il viceversa perché non posso dire che una funzione continua è derivabile in un punto) sufficiente per la derivabilità. REGOLE DI DERIVAZIONE 1°REGOLA: la derivata (D) di una costante (k) è sempre zero (0): 2°REGOLA: la derivata (D) di x è sempre 1: ESPONENTE NATURALE: la derivata di f(x) = x", con n E N - {0} eVxER è f(x) = mt = lim h→0 m = f'(c) Invece, il coefficiente angolare della retta tangente differisce rispetto a quello della retta secante in quanto il rapporto incrementale, cioè il rapporto tra la differenza delle ordinate e la differenza delle ascisse, è preceduto dal limite per h che tende a 0, e dunque: TEOREMA C Se una funzione f(x) è derivabile nel punto xo, in quel punto la funzione è anche continua. La continuità è una condizione necessaria ma non Dk = 0 C y = mx + q c+h x f(c+h)-f(c) h nx”-1: Dxn = nxn-1 D funzioni derivabili funzioni continue Pag. 10 a 12 TEOREMI DEL CALCOLO DIFFERENZIALE TEOREMA DI LAGRANGE Se una funzione f(x) è continua in un intervallo chiuso [a;b] ed è derivabile in ogni punto interno a esso, esiste almeno un punto c = f(c) f(b)-f(a) = interno ad [a;b] per cui vale la relazione: b-a OSSERVAZIONE: Poiché il teorema di Lagrange afferma che esista almeno un punto c, nulla vieta che possano essere anche più di uno, come ad esempio ne grafico a destra: f(b) f(a) Dal punto di vista geometrico, il teorema di Rolle dice che, se verificate le ipotesi, esiste almeno un punto c in cui la tangente al grafico è parallela all'asse x in quanto il suo valore è pari a 0. O f(b)+ A f(a) 1. verifico continuità: dominio funzione; 2. verifico derivabilità: derivo la funzione e trovo il suo dominio; 3. se entrambe le ipotesi sono verificate, cioè la funzione non presenta delle interruzioni in quel intervallo, allora applico Lagrange; 4. trovo c ponendo la derivata prima uguale al risultato ottenuto con il teorema di Lagrange a C₁ O 14α A y a f(a) = f(b). O TEOREMA FUNZIONI CRESCENTI E FUNZIONI DECRESCENTI Data una funzione y = f(x), continua in un intervallo I e derivabile nei punti interni di I: se (la derivata prima) f(x) > 0 per ogni x interno a I, allora f(x) è crescente in I. se (la derivata prima) f(x) > 0 per ogni x interno a I, allora f(x) è decrescente in I. α C₂ A a TEOREMA DI ROLLE = Se, una funzione f(x) è continua in un intervallo [a; b], derivabile nei punti interni di questo intervallo e se il valore della funzione in a è uguale al valore della funzione in b, cioè f(a) f(b), allora esiste almeno un punto c, interno all'intervallo, per il quale risulta che la derivata prima in c è uguale a 0: f(c) = 0 सी C3 B с bx Pag. 11 a 12 B H bx m = f'(c) = 0 B bx TEOREMA DI DE L'HOSPITAL Lo usiamo quando calcoliamo un limite e ci esce o- cioè una forma indeterminata. IL TEOREMA AFFERMA CHE: Dati un intorno I di un punto c e due funzioni f(x) e g(x) definite nell'intorno I (escluso al più c), se: ● f(x) e g(x) sono derivabili nell'intorno I (escluso al più c), con g' = 0 (la derivata prima di c diverso da zero); le due funzioni tendono entrambe a 0 0 a +∞ oa -∞o per xc (x che tende a c); per x → c (x che tende a c) esiste il limite del rapporto derivata prima di f di x e la derivata prima di g di x) Allora esiste anche il limite del rapporto delle funzioni ed è: f(x) g(x) delle loro derivate (cioè tra la lim f(x) x → C 9 (c) = lim f(x) x → c g(x) il limite per x che tende a c di f di x fratto g di x uguale al limite per x che tende a c della derivata prima di f di x e la derivata prima di g di x = TEOREMA DI CAUCHY Se le funzioni f(x) e g(x) sono continue nell'intervallo chiuso [a;b], derivabili in ogni punto interno ad esso e se, inoltre, (la derivata prima di g di x) g'(x) = 0 in Ja; b[ (nell'intervallo aperto a, b), allora esiste un punto c interno ad [a;b] in cui si ha: f(b) f(a) f(c) 9(b) — 9(a) 9 (c) cioè il rapporto fra gli incrementi delle funzioni f(x) e g(x) nell'intervallo [a;b] è uguale al rapporto fra le rispettive derivate calcolate in un particolare punto c interno all'intervallo Pag. 12 a 12