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Alice Carniel
26/11/2025
Matematica
Integrali indefiniti
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26 nov 2025
•
Gli integrali indefiniti sono uno degli strumenti fondamentali del calcolo... Mostra di più
Pensate agli integrali indefiniti come al processo inverso della derivazione. Se derivare significa trovare la velocità di cambiamento, integrare significa ricostruire la funzione originale partendo dalla sua derivata.
La primitiva di una funzione f(x) è qualsiasi funzione F(x) la cui derivata è proprio f(x). Per esempio, se f(x) = x, allora F(x) = x²/2 + c è una primitiva (dove c è una costante qualsiasi). Questo perché derivando x²/2 + c otteniamo proprio x.
L'integrale indefinito ∫f(x)dx rappresenta l'insieme di tutte le possibili primitive di f(x). La costante c che compare sempre alla fine è cruciale: esistono infinite primitive che differiscono solo per una costante.
Gli integrali immediati sono quelli che puoi risolvere direttamente applicando le formule base. I più importanti includono ∫xⁿdx = xⁿ⁺¹/ + c, ∫dx = ln|x| + c, ∫sin x dx = -cos x + c, e ∫eˣdx = eˣ + c.
💡 Suggerimento: Memorizza bene le formule degli integrali immediati - sono la base per risolvere integrali più complessi!
Gli integrali semi-immediati sono quelli dove riconosci la struttura di una derivata di funzione composta. Il trucco è individuare quando hai sia una funzione che la sua derivata nello stesso integrale.
Per esempio, in ∫2x·eˣ²dx, noti che 2x è proprio la derivata di x². Questo ti permette di scrivere direttamente il risultato: eˣ² + c. È come se la derivata "si cancellasse" con l'integrale.
La regola di sostituzione è perfetta quando l'integrale non è immediato ma puoi semplificarlo cambiando variabile. Poni t = g(x), calcola dt in funzione di dx, e sostituisci tutto nell'integrale.
Nell'esempio ∫x·e^(x²)dx, ponendo t = x² ottieni dt = 2x dx, quindi x dx = dt/2. L'integrale diventa ∫(1/2)eᵗdt = (1/2)eᵗ + c = (1/2)eˣ² + c.
💡 Suggerimento: Per gli integrali con radici, prova a sostituire la radice stessa con una nuova variabile - spesso semplifica molto i calcoli!
L'integrazione per parti usa la formula ∫f·g' = fg - ∫f'·g. Scegli f come la funzione che diventa più semplice derivando, e g' come quella facile da integrare.
Le funzioni razionali fratte hanno la forma P(x)/Q(x) dove P e Q sono polinomi. La strategia dipende dal grado del numeratore rispetto al denominatore.
Se il grado del numeratore ≥ grado del denominatore, devi prima fare la divisione polinomiale. Ottieni un quoziente (polinomio facile da integrare) più un resto/denominatore da gestire separatamente.
Quando il grado del numeratore < grado del denominatore, la tecnica dipende dal tipo di denominatore. Se il denominatore è di primo grado, l'integrale è sempre della forma k·ln|ax+b| + c.
Per denominatori di secondo grado scomponibili in due fattori distinti, usi la decomposizione in frazioni parziali: A/ + B/. Trovi A e B uguagliando i coefficienti dopo aver sviluppato.
💡 Suggerimento: Controlla sempre se il numeratore è la derivata del denominatore - in quel caso l'integrale è semplicemente ln|denominatore| + c!
Se il denominatore è un quadrato perfetto come ², la decomposizione cambia e includi termini come A/ + B/².
Per denominatori di secondo grado non scomponibili (discriminante < 0), completi il quadrato per ottenere la forma ² + k². L'integrale risultante coinvolge funzioni arcotangente.
Con numeratore di grado 1 e denominatore non scomponibile, scomponi l'integrale in due parti: una che produce ln|f(x)| e una che produce arctan(qualcosa). La chiave è scrivere il numeratore come combinazione della derivata del denominatore più una costante.
Per denominatori di grado superiore al secondo, scomponi in fattori di primo e secondo grado, poi applica la decomposizione in frazioni parziali. Ogni fattore lineare contribuisce con un termine A/, ogni fattore quadratico con /.
Gli integrali di funzioni trigonometriche come ∫sin²x dx o ∫cos⁴x dx richiedono trucchi specifici. Usa le identità trigonometriche o l'integrazione per parti ripetuta.
💡 Suggerimento: Crea una tabella riassuntiva con tutti i casi possibili - ti farà risparmiare tempo prezioso durante le verifiche!
Per integrali con radici tipo ∫√dx, la sostituzione trigonometrica trasforma l'integrale in uno trigonometrico più gestibile.
Il nostro assistente AI è costruito specificamente per le esigenze degli studenti. Sulla base dei milioni di contenuti presenti sulla piattaforma, possiamo fornire agli studenti risposte davvero significative e pertinenti. Ma non si tratta solo di risposte, l'assistente è in grado di guidare gli studenti attraverso le loro sfide quotidiane di studio, con piani di studio personalizzati, quiz o contenuti nella chat e una personalizzazione al 100% basata sulle competenze e sugli sviluppi degli studenti.
È possibile scaricare l'applicazione dal Google Play Store e dall'Apple App Store.
Sì, hai accesso completamente gratuito a tutti i contenuti nell'app e puoi chattare o seguire i Creatori in qualsiasi momento. Sbloccherai nuove funzioni crescendo il tuo numero di follower. Inoltre, offriamo Knowunity Premium, che consente di studiare senza alcun limite!!
App Store
Google Play
L'applicazione è molto facile da usare e ben progettata. Finora ho trovato tutto quello che cercavo e ho potuto imparare molto dalle presentazioni! Utilizzerò sicuramente l'app per i compiti in classe! È molto utile anche come fonte di ispirazione.
Stefano S
utente iOS
Questa applicazione è davvero grande! Ci sono tantissimi appunti e aiuti con lo studio [...]. La mia materia problematica, per esempio, è il francese e l'app ha così tante opzioni per aiutarmi. Grazie a questa app ho migliorato il mio francese. La consiglio a tutti.
Samantha Klich
utente Android
Wow, sono davvero stupita. Ho appena provato l'app perché l'ho vista pubblicizzata molte volte e sono rimasta assolutamente sbalordita. Questa app è L'AIUTO che cercate per la scuola e soprattutto offre tantissime cose, come allenamenti e schede, che a me personalmente sono state MOLTO utili.
Anna
utente iOS
È bellissima questa app, la adoro. È utilissima per lo studio e mi aiuta molto, anzi moltissimo, ma soprattutto mi aiutano molto i quiz, per memorizzare anche quello che non sapevo
Anastasia
utente Android
Fantastica per qualsiasi materia avere gli appunti anche di altre persone è molto utile perchè posso confrontarmi e vedere come migliorarmi. con i quiz riesco ad apprendere al meglio.
Francesca
utente Android
moooolto utile,gli appunti sono belli e funzionanti,schoolGPT da dei consigli formidabili!!
Marianna
utente Android
L'applicazione è semplicemente fantastica! Tutto ciò che devo fare è inserire l'argomento nella barra di ricerca e ottengo la risposta molto velocemente. Non devo guardare 10 video di YouTube per capire qualcosa, quindi risparmio tempo. Consigliatissima!
Sudenaz Ocak
utente Android
A scuola andavo malissimo in matematica, ma grazie a questa applicazione ora vado meglio. Vi sono molto grato per aver creato questa app.
Greenlight Bonnie
utente Android
Knowunity è un applicazione fantastica,considerando che ha degli schemi veramente molto carini e sfiziosi e che ci sono dei quiz,oltre al fatto che questa cosa dell intelligenza artificiale "school gpt" è almeno per me molto utile, perché a differenza di Chatgpt ti da le spiegazioni, ti spiega ciò che non è chiaro! Posso studiare più velocemente tramite gli schemi e che posso pubblicare io stessa gli schemi è una funzione utilissima per gli altri studenti. Knowunity è PERFETTA
Aurora
utente Android
L’app funziona benissimo e puoi trovare qualsiasi tipo di informazione. Non ho l’abbonamento ma la parte gratuita è sufficiente per uno studio approfondito.
Martina
utente iOS
in questi ultimi mesi di scuola dove il tempo è ormai poco, mi sta aiutando molto perché piuttosto che farmi io gli schemi su quello che leggo sul libro guardo questi già fatti e li uso come ripasso piuttosto che rileggermi tutto il libro
Chiara
utente IOS
Questa app è una delle migliori, nient’altro da dire.
Andrea
utente iOS
L'applicazione è molto facile da usare e ben progettata. Finora ho trovato tutto quello che cercavo e ho potuto imparare molto dalle presentazioni! Utilizzerò sicuramente l'app per i compiti in classe! È molto utile anche come fonte di ispirazione.
Stefano S
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Questa applicazione è davvero grande! Ci sono tantissimi appunti e aiuti con lo studio [...]. La mia materia problematica, per esempio, è il francese e l'app ha così tante opzioni per aiutarmi. Grazie a questa app ho migliorato il mio francese. La consiglio a tutti.
Samantha Klich
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Wow, sono davvero stupita. Ho appena provato l'app perché l'ho vista pubblicizzata molte volte e sono rimasta assolutamente sbalordita. Questa app è L'AIUTO che cercate per la scuola e soprattutto offre tantissime cose, come allenamenti e schede, che a me personalmente sono state MOLTO utili.
Anna
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È bellissima questa app, la adoro. È utilissima per lo studio e mi aiuta molto, anzi moltissimo, ma soprattutto mi aiutano molto i quiz, per memorizzare anche quello che non sapevo
Anastasia
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Fantastica per qualsiasi materia avere gli appunti anche di altre persone è molto utile perchè posso confrontarmi e vedere come migliorarmi. con i quiz riesco ad apprendere al meglio.
Francesca
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moooolto utile,gli appunti sono belli e funzionanti,schoolGPT da dei consigli formidabili!!
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L'applicazione è semplicemente fantastica! Tutto ciò che devo fare è inserire l'argomento nella barra di ricerca e ottengo la risposta molto velocemente. Non devo guardare 10 video di YouTube per capire qualcosa, quindi risparmio tempo. Consigliatissima!
Sudenaz Ocak
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A scuola andavo malissimo in matematica, ma grazie a questa applicazione ora vado meglio. Vi sono molto grato per aver creato questa app.
Greenlight Bonnie
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Gli integrali indefiniti sono uno degli strumenti fondamentali del calcolo integrale - praticamente l'operazione inversa della derivazione. Padroneggiare le tecniche di integrazione ti permetterà di risolvere problemi complessi in fisica, ingegneria e matematica avanzata.
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Pensate agli integrali indefiniti come al processo inverso della derivazione. Se derivare significa trovare la velocità di cambiamento, integrare significa ricostruire la funzione originale partendo dalla sua derivata.
La primitiva di una funzione f(x) è qualsiasi funzione F(x) la cui derivata è proprio f(x). Per esempio, se f(x) = x, allora F(x) = x²/2 + c è una primitiva (dove c è una costante qualsiasi). Questo perché derivando x²/2 + c otteniamo proprio x.
L'integrale indefinito ∫f(x)dx rappresenta l'insieme di tutte le possibili primitive di f(x). La costante c che compare sempre alla fine è cruciale: esistono infinite primitive che differiscono solo per una costante.
Gli integrali immediati sono quelli che puoi risolvere direttamente applicando le formule base. I più importanti includono ∫xⁿdx = xⁿ⁺¹/ + c, ∫dx = ln|x| + c, ∫sin x dx = -cos x + c, e ∫eˣdx = eˣ + c.
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Gli integrali semi-immediati sono quelli dove riconosci la struttura di una derivata di funzione composta. Il trucco è individuare quando hai sia una funzione che la sua derivata nello stesso integrale.
Per esempio, in ∫2x·eˣ²dx, noti che 2x è proprio la derivata di x². Questo ti permette di scrivere direttamente il risultato: eˣ² + c. È come se la derivata "si cancellasse" con l'integrale.
La regola di sostituzione è perfetta quando l'integrale non è immediato ma puoi semplificarlo cambiando variabile. Poni t = g(x), calcola dt in funzione di dx, e sostituisci tutto nell'integrale.
Nell'esempio ∫x·e^(x²)dx, ponendo t = x² ottieni dt = 2x dx, quindi x dx = dt/2. L'integrale diventa ∫(1/2)eᵗdt = (1/2)eᵗ + c = (1/2)eˣ² + c.
💡 Suggerimento: Per gli integrali con radici, prova a sostituire la radice stessa con una nuova variabile - spesso semplifica molto i calcoli!
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