Introduzione analisi e funzioni

Didascalia alternativa:

2*: R → R² oppure (-∞0, +∞0) -→> (0, +∞0) EVIDENZIO I LIMITI, CIOE STUDIO GU ESTRENI -retta:→→R -parabola non degenere con a 0: R[v₁ +00) -parabola non degenere con a<0: -iperbole equilatera: (-∞0, 0) (0, +00) (-∞0, 0) (0, +∞0) g(x) esiste N.B.: per altri esempi vedi tabella pagina 10 2) Se bisogna studiare funzioni con base variabile ed esponente irrazionale, per convenzione: irrazionale positivo: (x-a) C.E.: x-020 I = (x-a) √₂ D: xza - irrazionale negativo: (x-a), C.E.: x-a>0 ⇒ D:x>a Se sia la base sia l'esponente sono variabili, per convenzione si è scelto di prendere come C.E.: f(x) g(x) [f(x) >0 -PERCHE → f(x) 8(x)=f(n) 8(x) eg(x). Ju f(x) SEGNO Per trovare il segno della funzione trovo per quali valori di x f(x)>0, in questo modo trovo gli intervalli dove f(x) è positiva e di conseguenza anche quelli in cui è negativa. INTERSEZIONE CON GLI ASSI Intersezione con x: [y=f(x). gif{softlens Intersezione con y: x: {yo f(x) X: J=0 PROPRIETA DELLE FUNZIONI f(x): D→C, ISC Quindi f(x)=2* → f(x): R-R ma : Se l'intervallo è chiuso posso definire i massimi (max) e minimi (min), se è aperto posso definire l'estremo superiore (sup) e quello inferiore (inf) sia per il dominio sia per l'immagine. SONO GLI 2ERI DELLA FUNZIONE FUNZIONI CRESCENTI & DECRESCENTI - CRESCENTE: Vx₁, x₂ € DI X₂ > X₁ I= R¹ - {0} - DECRESCENTE: Vx₁, x₂ € D 1X₂ > x₁ FUNZIONI PARI & DISPARI - PARI: Vx € D, -x ED => f(x) = f(-x) - DISPARI: VxEID, -XED => f(x) = -f(-x) -> f(x) BIUNIVOCAINIETTIVA & SURIETTIVA. INIETTIVA: Vx₁, x₂ € D / X₁ ‡ × ₂ = f (x₁) + f (x₂) → ↓ -PARI: moi INIETTIVA -DISPARI: può essere INIETTIVA STRETTO => f(x₂) = f(x₁): SENSO LATO => f(x₂) > f (x₁) = = f (x₂) ≤ f (x₁) : ⇒ f (x₂) < f (x₁) : FUNZIONI PERIODICA VED TO, TER / f (x+T) = f(x) T= periode 7 N.B.: Se c'è una dilatazione orizzontale w, I = T •FUNZIONE INVERSA Una funzione è invertibile se e solo se esiste una corrispondenza biunivoca tra il dominio e l'immagine (ad ogni valore. dell'immagine corrisponde un solo valore del dominio). La funzione è quindi iniettiva. La funzione inversa di f' associa a ciascun elemento dell'immagine di f la sua controimmagine. I " "1 RICORDA: f = inversa di f(x) ; CALCOLO DELL'INVERSA if →SIMMETRIA RISPETTO A Y • f(x)²¹. f(x) & INVERTIBILE →> VERIFICA: risolvo f(x) + f (x₂): • SE OTTENGO SOLO X₁ X₂ →→ INIETTIVA •SE CTENGO ANCHE ALTRO > NON INIETTIVA LATO STRETTO N.B. STUDIA LA DERIVATA PER CAPIRE SE tutte l'asse SURIETTIVA: ogni elements del C i immagine di almeno un elemento di D: LE C almeno un x € D/ b= f(x) → I=(→ proiettande f(x) suy copre. N.B.: come funzione può essere suriettivg & si limita D VERIFICA: Raicons & im frenzione di y e vedo se po delle limitazioni: SE NON LE HO E SURLETTINA 1 f(x) ₁x0 = [ f(x)] = reciproce € INIETTIVA f" simmetrica a f(x) rispette a bisettrice I e II quadrante (y=x) Scambio le x con le y e ricod y: Ex. f(x) = 2x+3 f₁¹: y=2x+3 x +3 2 X= •LA COMPOSIZIONE f(x), g(x), fog= f(g(x)) Ex. f(x)=1-√x g(x)=x²+1 => fog=1-√√x²+1 x=y! 16