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L'analisi matematica si concentra sui numeri reali e sui concetti fondamentali di intervalli aperti e chiusi, funzioni e loro proprietà. Questo documento fornisce una panoramica dettagliata di questi argomenti, includendo definizioni, esempi e tecniche per lo studio delle funzioni.
27/5/2022
1647
Questa breve sezione finale introduce il concetto di composizione di funzioni.
Definizione: La composizione di due funzioni f(x) e g(x) si indica con f∘g e si calcola come f(g(x)).
Esempio: Se f(x) = 1-√x e g(x) = x²+1, allora la loro composizione è f∘g = 1-√(x²+1).
Questo concetto è fondamentale per comprendere come le funzioni possono essere combinate per creare nuove funzioni più complesse.
Questa sezione introduce i concetti fondamentali dell'analisi matematica, concentrandosi sugli intervalli matematica esempi e le proprietà dei numeri reali.
Gli intervalli sono suddivisi in diverse categorie:
Definizione: Un intervallo chiuso e limitato è un insieme di numeri reali compreso tra due valori, inclusi gli estremi.
La sezione prosegue definendo i concetti di massimo, minimo, maggiorante e minorante di un insieme.
Highlight: Solo negli intervalli chiusi si possono avere massimi e minimi, mentre negli intervalli aperti si parla di estremo superiore e inferiore.
Il documento introduce poi il concetto di funzione, definendone il dominio e codominio:
Definizione: Una funzione f(x) è una legge che associa ad ogni valore di x uno e un solo valore di y. L'insieme di partenza x è chiamato dominio, mentre l'insieme y è il codominio.
Vengono forniti esempi di domini per diverse funzioni comuni, come rette, parabole e iperboli.
Esempio: Per una funzione f(x) = 2x, il dominio è R (tutti i numeri reali) e il codominio è R+ (numeri reali positivi).
La sezione si conclude con alcune convenzioni per lo studio di funzioni con base variabile ed esponente irrazionale.
Questa sezione approfondisce le caratteristiche delle funzioni, analizzando il loro comportamento e le loro proprietà fondamentali.
Il testo inizia con lo studio del segno di una funzione, spiegando come determinare gli intervalli in cui una funzione è positiva o negativa. Successivamente, si passa all'analisi delle intersezioni con gli assi coordinati:
Highlight: Lo studio delle intersezioni con gli assi è fondamentale per comprendere il comportamento grafico di una funzione.
Il documento prosegue introducendo il concetto di funzioni crescenti e decrescenti:
Definizione: Una funzione si dice crescente se, per ogni coppia di valori x₁ e x₂ del dominio con x₂ > x₁, si ha f(x₂) > f(x₁). Analogamente, una funzione è decrescente se f(x₂) < f(x₁).
Vengono poi presentate le definizioni di funzioni pari e dispari:
Esempio: La funzione f(x) = x² è una funzione pari, mentre f(x) = x³ è una funzione dispari.
La sezione continua con la spiegazione delle funzioni iniettive e suriettive:
Definizione: Una funzione è iniettiva se a valori diversi del dominio corrispondono sempre valori diversi del codominio. È suriettiva se ogni elemento del codominio è immagine di almeno un elemento del dominio.
Infine, vengono introdotti i concetti di funzione periodica e funzione inversa:
Vocabulary: Una funzione periodica è una funzione che si ripete regolarmente con un periodo T, tale che f(x+T) = f(x) per ogni x del dominio.
Definizione: Una funzione è invertibile se e solo se esiste una corrispondenza biunivoca tra il dominio e l'immagine. La funzione inversa associa a ciascun elemento dell'immagine di f la sua controimmagine.
La sezione si conclude con una spiegazione dettagliata su come calcolare e verificare l'esistenza della funzione inversa.
444
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4ªl/5ªl
integrali
schemi integrali
250
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5ªl
Riassunto funzioni
Riassunto delle varie tipologie di dominio, funzione inversa, funzione composta, funzioni pari e dispari, grafici e le loro trasformazioni
21
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4ªl/5ªl
LE FUNZIONI
Appunti sulle funzioni
332
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4ªl/5ªl
Derivate
Appunti di matematica sulle derivate
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5ªl
teoremi dei limiti + dimostrazioni
teorema dell’unicità del limite + dimostrazione teorema della permanenza del segno + dimostrazione teorema del confronto (o dei carabinieri) + dimostrazione
320
6642
4ªl/5ªl
preparazione alla seconda prova di maturità
intervalli e intorni, 4 definizione dei limiti, calcolo dei limiti, forme indeterminate, derivate, integrali, calcolo combinatorio, probabilità, teoremi, studio di una funzione, punti di non derivabilita, massimi minimi e flessi
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Definizione: Una funzione f(x) è una legge che associa ad ogni valore di x uno e un solo valore di y. L'insieme di partenza x è chiamato dominio, mentre l'insieme y è il codominio.
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Esempio: Per una funzione f(x) = 2x, il dominio è R (tutti i numeri reali) e il codominio è R+ (numeri reali positivi).
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Definizione: Una funzione si dice crescente se, per ogni coppia di valori x₁ e x₂ del dominio con x₂ > x₁, si ha f(x₂) > f(x₁). Analogamente, una funzione è decrescente se f(x₂) < f(x₁).
Vengono poi presentate le definizioni di funzioni pari e dispari:
Esempio: La funzione f(x) = x² è una funzione pari, mentre f(x) = x³ è una funzione dispari.
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Definizione: Una funzione è iniettiva se a valori diversi del dominio corrispondono sempre valori diversi del codominio. È suriettiva se ogni elemento del codominio è immagine di almeno un elemento del dominio.
Infine, vengono introdotti i concetti di funzione periodica e funzione inversa:
Vocabulary: Una funzione periodica è una funzione che si ripete regolarmente con un periodo T, tale che f(x+T) = f(x) per ogni x del dominio.
Definizione: Una funzione è invertibile se e solo se esiste una corrispondenza biunivoca tra il dominio e l'immagine. La funzione inversa associa a ciascun elemento dell'immagine di f la sua controimmagine.
La sezione si conclude con una spiegazione dettagliata su come calcolare e verificare l'esistenza della funzione inversa.
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