Derivate

Didascalia alternativa:

preciso y' = 1 f(x+h) = K x²+2xh+h²-x² h = sempre indeterminata, quindi devo prima semplificare lim h->o x² + 2xh+h² Derivata sinistra lim h->o Derivata destra f(3) = 0 -> x+h-x h n (2x+h) h f(3+h) = h lim h->o = 2x 3 K-K h = 0 f(3+h+) == h Xo = 3 4) caso generale (5) 6) (8) f(x) = y = x² f(x+h) = (x+h)" 9) lim h->0 lim h->o y = = lim h->o f(x+h) = x+h xh y=x²² 7) y = √x x +1 X caso generale lim h->o (n.x²-1 +? x+h= h Es. y = x² f(x+h) = √x+h lim h->o (x-") caso finale y = Sinx = h h x + n. x + ? ● y=x" √x+h=√x √ +√ h y' = - = /2 f(x+h) = sin(x+h) lim h->0 X Es. ● y=x™ h² U-1 h + ?.x h² y' = 17x16 x-x-h hx(x+h) VU ER => y' = n. x и y'= xK+1 = lim h->o U-1 = n. X + h-xu U-1 senxcosh + cosxsenh - senx h y' = πT.x = TT-I - x+h-x h(√+√) (-n.x"+¹) = senx cosh + cosxsenh +...+h^ ● Formula di addizione del seno - sen = 2√x 1- cosh) h 130 + y'= -3x" cos x sen h h O = cosx 10) y = cos x 1) y = tanx 12) 13) y = cotx 15) y = e^ f(x+h) = e lim h->o 14) y = a* y = enx lim h->o 16) y = log₂ x e e" - e^ и TABELLA RIASSUNTIVA к x+h f(x). X хи f(x+h) = en (x+h) en (x+h)- enx h -|× Esponenziali y'= - senx y' = cos²x y' = y' = ex = e f(x) y' = a*. ena y'= = O и-ı n.x -|^x -15 sen²x = -1- cot²x lim h->o = y = 1 + tan²x ex (eh-1) h lim h->o en xxh h loga e f(x) senx cosx tanx cotx = (1= co₂²x + sex²³x) lim h-20 en (1+1/12) Goniometriche f'(x) COSX -senx cos²x -- = - 1x f(x) px Logaritmiche 2x enx loga x f(x) ex a. ena -|x -loga e OPERAZIONI CON LE DERIVATE 1) g(x) =y= K. f(x) g(x+h) = K f(x+h) K. f(x+h)- K.f(x) lim h->o 5) 2) h(x) = f(x) + g(x) lim h->o Es. h(x+h) = f(x+h) + g(x+h) lim h->0 Es 3) Y f(x)-g(x) h = lim h->0 y = 3.x5 4) h(x) = f(x) · g(x) f(x+h) + g(x+h)-f(x)-g(x) h(x+h) = f(x+h) g(x+h) Es. f(x) y = g(x) g(x+h). Es. f(x+h). g(x+h)-f(x). g(x) h y = senx + 8x" con k costante = h lim h->0 (f(x+h)-f(x) y = x². enx y = tanx = - f(x)) y' = K senx cosx f(x+h)-f(x) ) h y = 3 5x" = 15x² y' = f'(x) - g'(x) lim h-so Ý cosx = lim h-so f(x+h)-f(x) h y' = 4x³. lnx + f(x). ( 3(x+h) = g(x)) h COSX, COSX - senx. (-senx) cos x +32x³ 3 4 X I f(x) g(x) = f(x) g'(x) [g(x)]² f(x+h) g(x+h)-f(x) · g(x+h) + f(x) g(x+h)-f(x).g(x) h k. f(x) = + g(x+h)-g(x) h cos²x + sen²x cos²x x³ (Genx + 1) La costante non si deriva = cos²x f'(x) + g'(x) somma delle derivate f'(x) · g(x) + f(x) · g'(x) TEOREMA DI DERIVAZIONE DELLA FUNZIONE INVERSA f(x) = y = A -> B Es. Teorema: ●Es. xm> f(x) = y y = x² y = f(x) sia y = f(x) | f=" (y)| ' = f'(x) į y = cos x y=√x -> f(x) arccos x I Larccosysen Corcosy) (₂ arcsen x arctanx (√x) = zy Tabella delle derivate aggiornata: f: A-> B x~>y I una funzione invertibile, derivabile in Xo Questo teorema si usa per le funzioni inverse delle funzioni goniometriche f ¹ (y) = x = y ² ₂√x x = arccos y VI-cos² (arccosy) f'(x) √₁-x² Viax² 1+x² (gof)(x) = g(f(x)) x= √y = X = =f²¹ (y) f(x) calcolato in : x: B-> A yms f'(y) 9: B'-> c ysz A->C TEOREMA DI DERIVAZIONE DELLE FUNZIONI COMPOSTE x~>z x = f (y) =X — Derivata dell'inversa in y=√x cos²x + sen²x Dim. 3 -D y = tanx (arctany) => x= f(y) è derivabile in B&B senx = √₁-cos²x La derivata di una funzione goniometrica è una funzione pratta irrazionale I x = arctan y It tan’ arctany A yo = f(xo) e vale: B' C O O Y Teorema: siano f(x) DERIVATE DI ORDINE SUCCESSIVO (n+1) Es. y = f(x) ●Es y' = M tg Af(x) Due funzioni derivabili, derivabile in xo e g derivabile in f(xo) = yo => (gof)(x) è derivabile in Xo e vale: RETTA TANGENTE E RETTA NORMALE f. AB, = Of DIFFERENZIALE f(x+Ax) ↑ y=x²-3x³ + x² y = x² + 2x f(x) (n) = 2x + 2 f(x₁) + (df(x) = f'(x) Ax f(x) = x Ax qualsiasi 9: B' —> C ES. Fondamentale Normale: come si trovano le tangenti e le normali a F(x) in un punto xo? Tangente: y- yoy' (xo)(x-xo) Esponente tra parentesi = ordine della derivata = y-yo P(1; 3) y' (₁) = 4 = M con Ax A, B, B, C y' = 5x² - 21x². + 2x y"= 60 x² - 42 y = 120 y' (xo) X₁ df(x) = dx = (x-xo) tg 15y = df(x) SR, [(gof)(xo)] = g'(f(xo)). f'(xo) tan: Y-3 = 4(x-1) nor: Y-3 = -— (x-1) I Ax = Ax se f(x) è una funzione qualsiasi y = y y" y² = 0 f'(x) = m = 20x 42 x + 2 = 120 B&B' = f'(x). Ax X (n) -> y = 0 A Se Ax>0 => df(x) = f'(x) dx df(x) Vn 26 -> f'(x)=√x => 1 = f'(x). Ax df(x) = Af(x) f'(x) = df(x) dx Nor PUNTI DI NON DERIVABILITÀ 1) Flessi verticali X Flesso ascendente lim f'(x) X-> Xo Calcolo differensiale 3) punti angolosi Dim: = 2) cuspidi (particolari punti angolosi) La tangente c'è ma è verticale lim f'(x) x->xo* calcoliamo: lim f'(x) = -00 x-> Xo = +∞ eim f'(x) = +00 x_xo+ lim f(x) = x->xo Non esiste la retta tangente sappiamo che esiste finito il → Tutti i punti riguardano le funzioni continue lim X-> Xo TEOREMA: se fcx) è derivabile in xo allora f(x) è continua in xo lim X->xo* lim x-> Xo f'(x) = 6₁ f'(x) = (₂ lim x-> Xo f(x)-f(xo) x-xo vogliamo dimostrare che è continua, cioè il lim f(x) = f(xo) X-> Xo f(x) = f(xo) + f(xo). = Flesso discendente eim X-> Xo lim f'(x) X-> Xo C₁ C₂ = Df(x) lim f'(x) x->Xo+ f(x)-f(xo) (x-xo) + f(xo) x-xo =10 lim f'(x) = +00 x-> Xo lim f'(x) = -00 X->xo* uno o l'altro possono essere ∞ f(x) CRITERIO GENERALE DI DERIVABILITÀ se f(x) è continua in xo, è derivabile a destra e a sinistra di xo (cioè è derivabile in un intorno destro e sinistro di xo) e vale: ES. 20 lim f'(x) = lim f'(x) = e X-> Xo x->xo y = -√√x² 1) D: R 2) y'= - lim •.-×* _- X->0 lim X-30* NON derivabile (perché non continua) 3√x Xo TEOREMI FONDAMENTALI • TEOREMA DI ROLLE a allora esiste almeno un punto Xo ● TEOREMA DI CAUCHY -> f'(xo) g'(xo) xo cuspide = (con e non ∞o) b => sia f(x) una funzione continua in un intervallo [a; b] (chiuso e limitato), derivabile in (a; b), € (a; b) | f'(xo) f(b)-f(a) g(b)-g(a) dominio di f'(x) Xo Derivabile f(x) = 0 è derivabile in xo -> x=0 siano f(x) e g(x) que funzioni continue in [a; b], derivabili in (a; b), g'(x) = 0 allora esiste un punto xo € (a; b) tale che: • tangenti f(a) = f(b), Vx € (a; b) ● TEOREMA DI LAGRANGE sia f(x) una funzione continua in un intervallo [a; b], derivabile in (a; b) allora esiste almeno un punto xo € (a; b) tale che: TEOREMA: f'(xo) Lagrange = I teoremi precedenti sono equivalenti Rolle f(b)-f(a) b-a cauchy Dim 1) Rolle implica Cauchy K = h(a) f(a) - Kg(a) h(b) = f(b) - Kg(b) siano f(x) e g(x) due funzioni che soddisfano le ipotesi di cauchy. ● costruiamo la seguente funzione: h(x) = f(x) - K. g(x) ● vogliamo determinare k in modo che h(a) = h(b) f(b) f(a) g(b)-g(a) h(x) soddisfa rolle S Hanno lo stesso valore di verità se uno è vero, tutti sono veri Teorema del valore medio Dimostrazione di tipo ciclico Per il teorema di cauchy -> f(a) - Kg (a) purché 3xo h'(x) = f'(xo) - Kg'(xo) = 0 3x0 € (a; b) = g(b) = g(a) —> Dim 2) Cauchy implica Lagrange sia P(x) una funzione che soddisfa le ipotesi di Lagrange consideriamo g(x) = x -> g'(x)= x tale che Allora la funzione soddisperebbe il teorema di rolle € (a; b) tale che: h'(xo) = = 0 f'(xo) a f'(xo) g'(xo) = Kg'(xo) -> Più importante Dove k è una costante = Xo f(b)-kg(b) -▷ K[g(b)-g(a)] = f(b) = f(a) f(b) f(b) f(a) g(b)-g(a) f(a) b-a che sicuramente è vero perché altrimenti dovrebbe esistere xo € (a; b) tale che g'(xo) = o contro l'ipotesi g'(x) = 0 Vx € (a; b) f'(xo) g'(xo) Xo = K = f(b) f(a) f(b) f(a) g(b)-g(a) f'(xo) f(b)-f(a) b-a Dim 3) Lagrange implica Rolle sia P(x) una funzione che soddisfa le ipotesi di Rolle una f(x) soddisfa anche le ipotesi di Lagrange: 3xo € (a; b) tale che: f(b) f(a) b-a ma f(b) = f(a) TEOREMA DI DE L'HÔPITAL f'(xo) = Es. • lim f(x) = ± 00 X-> Xo Allora, se esiste il se f(x) e g(x) sono due infiniti o infinitesimi per x che tende a xo (con xo che tende anche a ∞ ), cioè: • lim g(x) = ± 00 X-> Xo A = ● lim Es. 463 • lim + lim X-30 X->XO se invece il primo limite non esiste, allora non si può dire nulla del secondo Flesso orizzontale X->00 a-zx 2 MASSIMI E MINIMI DI UNA FUNZIONE senx x + = 3x-7x +5 x + 8 f'(x) g'(x), questo coincide con il si studiano con i segni di f'(x) (se f(x) è continua) MOX [:] H Min oppure = ax - 2x² 2 + Max stazionario stazionario Stazionario lim X->0 2p = a Amax ? cosx I lim X-> 00 A' = • lim f(x) = 0 X-> Xo • lim g(x) = 0 X-> Xo lim X->XO = 1 6x-7 3x² a-4x f'(xo) f(x) g(x) se f'(x) A = AB BC 20 = = 0 O b-a lim X-> 00 = 0 In questo caso massimi e minimi sono relativi, in quanto non si può Stabilire se essi sono i punti maggiori e minori di tutta la funzione se invece lo fossero sarebbero massimi e minimi assoluti Pongo AB = x a-4x20 De X in x c'è un punto stazionario = 0 x ≤ BC = a-2x 2 (oExez) 214 ZEL Es. 0 STUDIO DELLA CONCAVITÀ y = x²-3x - 3x + 5 y' = 2x - 5 Y = In generale: 3) 2 -20 y 8/2 Quindi vale il seguente teorema: = ax² + by + c Es. f"(x): 2) f '(x0) = 0 Siccome ogni curva può essere approssimata con una parabola, allora la concavità della curva coincide con quella della parabola che la approssima NO Plessi 1) f(x) Deve essere continua in xo - 응 max = f(x) > 0 (n) f (xo) <0 2=1> O se y = f(x) è una funzione continua in [a,b], derivabile due volte in (a,b) se f"(x) > 0 se f"(x) < 0 se f"(x) = 0 studiando i segni della derivata seconda possiamo ricavare la concavità ei flessi della funzione Dove con A3 = 2/1/2 -> AB = BC la concavità è rivolta verso l'alto la concavità è rivolta verso il basso Non è possibile dirlo • Per avere un plesso, P(x) deve essere continua, derivabile una volta, derivabile una seconda volta e f"(x) = 0 nel punto di plesso > e< negli introni di esso (intorno destro e sinistro) Flessi concavità verso l'alto = 23 STUDIO DEI MASSIMI E DEI MINIMI CON LE DERIVATE SUCCESSIVE ALLA PRIMA Quadrato BC = a-2 *vanno esclusi i plessi verticali, i quali sono ricavati solo con lo studio della derivata prima (n) (xo) Si intende la prima derivata successiva alla prima che risulta o in Xo sen pari ● sen dispari Es. y = x² Es. y = x³ y' = 3x² y" = 6x y = 6 > O <0 y y -> y' = 4x³ y" = 12x² Non c'è nè un massimo nè un minimo = 24x = 24 -> 3x = 0 -> y" (o) = 0 ->y (o) = 6 -> > 0 minimo massimo Xo = 0 -> y' = o se ->y" (o) = 0 y" (o) = 0 24 > O -> 4 pari —> Plesso ascendente c'è un plesso (ascendente se >o e discendente se <0) Xo = O V in x = 0 c'è un minimo