Limiti e limiti notevoli spiegati con esempi

Elisa Neagu

27/11/2025

Matematica

Limiti e limiti notevoli

Materie

Matematica

Relazioni e funzioni

Limiti e calcolo

Enunciati dei principali teoremi (unicità, confronto)

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27 nov 2025

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Limiti e limiti notevoli spiegati con esempi

Elisa Neagu

@lisaeagu_cmqk

I limiti sono uno dei concetti più importanti dell'analisi matematica... Mostra di più

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intorni
Definizione si chiama in TORNO (O INTORNO CIRCOLARE) Di un numero Reale xo, Di Ragatio
e con eso l'intervallo apeRTO (xo-Z, Xo+e)
Хе

Intorni e Definizione di Limite

Partiamo dalle basi: un intorno di raggio r di un punto $x_0$ è semplicemente l'intervallo $(x_0 - r, x_0 + r)$ . Pensa a questo come a una "zona" attorno al punto che ci interessa studiare.

Un punto di accumulazione per un insieme A è un punto dove, in ogni suo intorno, cadono infiniti punti di A. Se invece un punto di A non ha questa proprietà, si chiama punto isolato.

La definizione generale di limite ti dice che $\lim_{x \to x_0} g(x) = \ell$ quando, per ogni intorno di $\ell$ , esiste un intorno di $x_0$ tale che tutti i valori della funzione $escluso $x_0$$ finiscono nell'intorno di $\ell$ .

Ci sono quattro casi principali da considerare: quando sia $x_0$ che $\ell$ sono finiti, quando uno è infinito, o quando entrambi lo sono. La formulazione cambia leggermente in ogni caso, ma il concetto rimane lo stesso.

💡 Ricorda: La condizione $x \neq x_0$ nella definizione è fondamentale - il limite non dipende dal valore della funzione nel punto, ma solo da come si comporta "vicino" al punto!

Teoremi sui Limiti e Continuità

Il teorema del confronto è il tuo migliore amico quando hai una funzione "schiacciata" tra altre due. Se $g(x) \leq f(x) \leq h(x)$ e i limiti di $g$ e $h$ sono uguali, allora anche $f$ ha lo stesso limite.

Gli altri teoremi del confronto ti aiutano con gli infiniti: se una funzione è maggiore di un'altra che tende a $+\infty$ , anche la prima tende a $+\infty$ . Vale lo stesso ragionamento per $-\infty$ .

Il teorema per funzioni monotone è molto utile: una funzione crescente in un intervallo ha sempre limite agli estremi (che coincide con l'estremo superiore o inferiore dei valori della funzione).

Una funzione è continua in $x_0$ quando $\lim_{x \to x_0} f(x) = f(x_0)$ . Questo significa che non ci sono "salti" o "buchi" nel grafico. Tutte le funzioni elementari (polinomi, esponenziali, trigonometriche) sono continue dove sono definite.

💡 Trucco: Se devi calcolare il limite di una funzione continua, spesso basta sostituire il valore!

Asintoti Verticali e Orizzontali

Gli asintoti sono rette che il grafico della funzione "insegue" senza mai raggiungerle. Sono fondamentali per capire il comportamento di una funzione agli estremi del suo dominio.

Un asintoto verticale $x = x_0$ si ha quando la funzione tende a $\pm\infty$ per $x \to x_0$ . Può essere bilatero (da entrambi i lati) o solo sinistro/destro. Questi si trovano spesso nei punti dove la funzione non è definita.

Un asintoto orizzontale $y = k$ si ha quando $\lim_{x \to \pm\infty} f(x) = k$ . Anche qui può essere bilatero o solo sinistro/destro, a seconda che il limite esista per $x \to +\infty$ , $x \to -\infty$ o entrambi.

Per trovare gli asintoti segui questa strategia: prima determina il dominio, poi calcola i limiti agli estremi di ogni intervallo del dominio. Dove il limite è infinito hai asintoti verticali, dove è finito (agli infiniti) hai asintoti orizzontali.

💡 Esempio pratico: Per $y = \frac{x^2+1}{x^2-1}$ , hai asintoti verticali in $x = \pm 1$ e asintoto orizzontale $y = 1$ .

Limiti Notevoli Trigonometrici

I limiti notevoli sono formule che devi assolutamente memorizzare perché ti permettono di risolvere rapidamente le forme indeterminate più comuni.

Il limite fondamentale è $\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$ . La dimostrazione usa il teorema del confronto confrontando l'area del settore circolare con quelle di due triangoli. È un risultato geometrico elegante!

Il secondo limite notevole importante è $\lim_{x \to 0} \frac{1-\cos x}{x^2} = \frac{1}{2}$ . Si dimostra moltiplicando e dividendo per $(1+\cos x)$ e usando il primo limite notevole.

Da questi derivano molte generalizzazioni utili: $\lim_{x \to 0} \frac{\sin(ax)}{x} = a$ e $\lim_{x \to 0} \frac{1-\cos(ax)}{x^2} = \frac{a^2}{2}$ . Basta sostituire opportunamente e applicare i limiti base.

💡 Strategia: Quando vedi seni, coseni e forme $\frac{0}{0}$ , cerca sempre di ricondurrti ai limiti notevoli con sostituzioni intelligenti!

Limiti Notevoli Esponenziali e Logaritmici

Le funzioni esponenziali e logaritmiche hanno i loro limiti notevoli specifici che devi conoscere per risolvere le forme indeterminate del tipo $1^{\infty}$ .

Il limite fondamentale è $\lim_{x \to 0} (1+x)^{\frac{1}{x}} = e$ . Da questo derivano tutti gli altri limiti notevoli esponenziali attraverso sostituzioni opportune.

Altri limiti essenziali sono: $\lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{x} = 1$ , $\lim_{x \to 0} \frac{\ln(1+x)}{x} = 1$ , e $\lim_{x \to 0} \frac{a^x - 1}{x} = \ln a$ .

Per le funzioni a base ed esponente variabili del tipo $f(x)^{g(x)}$ , usa la tecnica di riscrivere come $e^{g(x) \ln f(x)}$ e poi applica i limiti notevoli.

💡 Ricorda: Quando hai forme $1^{\infty}$ , $0^0$ o $\infty^0$ , trasforma sempre in esponenziale con base $e$ !

Equivalenze Asintotiche

Il metodo delle equivalenze asintotiche è una tecnica potentissima che ti fa risparmiare un sacco di tempo nei calcoli dei limiti. Due funzioni sono equivalenti per $x \to x_0$ se il loro rapporto tende a 1.

Le equivalenze fondamentali per $x \to 0$ sono: $\sin x \sim x$ , $1-\cos x \sim \frac{x^2}{2}$ , $e^x - 1 \sim x$ , $\ln(1+x) \sim x$ , e $(1+x)^{\alpha} - 1 \sim \alpha x$ .

Puoi moltiplicare e dividere le equivalenze: se $f_1 \sim g_1$ e $f_2 \sim g_2$ , allora $f_1 \cdot f_2 \sim g_1 \cdot g_2$ e $\frac{f_1}{f_2} \sim \frac{g_1}{g_2}$ . Questo ti permette di semplificare espressioni complesse.

Attenzione: non puoi usare le equivalenze per somme e differenze! In quei casi devi sviluppare in serie di Taylor o usare altri metodi.

💡 Esempio veloce: $\lim_{x \to 0} \frac{\sin(3x) \ln(1+2x)}{1-\cos(4x)} \sim \frac{3x \cdot 2x}{\frac{16x^2}{2}} = \frac{6x^2}{8x^2} = \frac{3}{4}$

Pensavamo che non l'avreste mai chiesto....

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L'applicazione è molto facile da usare e ben progettata. Finora ho trovato tutto quello che cercavo e ho potuto imparare molto dalle presentazioni! Utilizzerò sicuramente l'app per i compiti in classe! È molto utile anche come fonte di ispirazione.

Stefano S

utente iOS

Questa applicazione è davvero grande! Ci sono tantissimi appunti e aiuti con lo studio [...]. La mia materia problematica, per esempio, è il francese e l'app ha così tante opzioni per aiutarmi. Grazie a questa app ho migliorato il mio francese. La consiglio a tutti.

Samantha Klich

utente Android

Wow, sono davvero stupita. Ho appena provato l'app perché l'ho vista pubblicizzata molte volte e sono rimasta assolutamente sbalordita. Questa app è L'AIUTO che cercate per la scuola e soprattutto offre tantissime cose, come allenamenti e schede, che a me personalmente sono state MOLTO utili.

Anna

utente iOS

È bellissima questa app, la adoro. È utilissima per lo studio e mi aiuta molto, anzi moltissimo, ma soprattutto mi aiutano molto i quiz, per memorizzare anche quello che non sapevo

Anastasia

utente Android

Fantastica per qualsiasi materia avere gli appunti anche di altre persone è molto utile perchè posso confrontarmi e vedere come migliorarmi. con i quiz riesco ad apprendere al meglio.

Francesca

utente Android

moooolto utile,gli appunti sono belli e funzionanti,schoolGPT da dei consigli formidabili!!

Marianna

utente Android

L'applicazione è semplicemente fantastica! Tutto ciò che devo fare è inserire l'argomento nella barra di ricerca e ottengo la risposta molto velocemente. Non devo guardare 10 video di YouTube per capire qualcosa, quindi risparmio tempo. Consigliatissima!

Sudenaz Ocak

utente Android

A scuola andavo malissimo in matematica, ma grazie a questa applicazione ora vado meglio. Vi sono molto grato per aver creato questa app.

Greenlight Bonnie

utente Android

Knowunity è un applicazione fantastica,considerando che ha degli schemi veramente molto carini e sfiziosi e che ci sono dei quiz,oltre al fatto che questa cosa dell intelligenza artificiale "school gpt" è almeno per me molto utile, perché a differenza di Chatgpt ti da le spiegazioni, ti spiega ciò che non è chiaro! Posso studiare più velocemente tramite gli schemi e che posso pubblicare io stessa gli schemi è una funzione utilissima per gli altri studenti. Knowunity è PERFETTA

Aurora

utente Android

L’app funziona benissimo e puoi trovare qualsiasi tipo di informazione. Non ho l’abbonamento ma la parte gratuita è sufficiente per uno studio approfondito.

Martina

utente iOS

in questi ultimi mesi di scuola dove il tempo è ormai poco, mi sta aiutando molto perché piuttosto che farmi io gli schemi su quello che leggo sul libro guardo questi già fatti e li uso come ripasso piuttosto che rileggermi tutto il libro

Chiara

utente IOS

Questa app è una delle migliori, nient’altro da dire.

Andrea

utente iOS

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Samantha Klich

utente Android

Anna

utente iOS

È bellissima questa app, la adoro. È utilissima per lo studio e mi aiuta molto, anzi moltissimo, ma soprattutto mi aiutano molto i quiz, per memorizzare anche quello che non sapevo

Anastasia

utente Android

Fantastica per qualsiasi materia avere gli appunti anche di altre persone è molto utile perchè posso confrontarmi e vedere come migliorarmi. con i quiz riesco ad apprendere al meglio.

Francesca

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Marianna

utente Android

Sudenaz Ocak

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A scuola andavo malissimo in matematica, ma grazie a questa applicazione ora vado meglio. Vi sono molto grato per aver creato questa app.

Greenlight Bonnie

utente Android

Aurora

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Martina

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Elisa Neagu

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I limiti sono uno dei concetti più importanti dell'analisi matematica e ti serviranno per capire la continuità delle funzioni e il calcolo differenziale. Imparerai come definire rigorosamente cosa succede quando una funzione si avvicina a un certo valore e come... Mostra di più

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Intorni e Definizione di Limite

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Limiti Notevoli Trigonometrici

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Limiti Notevoli Esponenziali e Logaritmici

Le funzioni esponenziali e logaritmiche hanno i loro limiti notevoli specifici che devi conoscere per risolvere le forme indeterminate del tipo $1^{\infty}$ .

Il limite fondamentale è $\lim_{x \to 0} (1+x)^{\frac{1}{x}} = e$ . Da questo derivano tutti gli altri limiti notevoli esponenziali attraverso sostituzioni opportune.

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Equivalenze Asintotiche

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