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Cat
29/11/2025
Matematica
Successioni e limiti di successioni
758
•
29 nov 2025
•
Cat
@cat_379
Le successioni sono uno strumento fondamentale dell'analisi matematica che ti... Mostra di più
Una successione è semplicemente una funzione che associa ad ogni numero naturale n un numero reale. Pensala come una lista infinita di numeri: a₁, a₂, a₃, ...
Il limite di una successione è il valore a cui si avvicinano sempre di più i termini quando n diventa grandissimo. Matematicamente scriviamo: se per ogni ε > 0 esiste un ν tale che |aₙ - a| < ε per tutti gli n > ν, allora la successione converge ad a.
Una proprietà cruciale è l'unicità del limite: ogni successione può convergere al massimo verso un solo valore. La dimostrazione usa il fatto che se una successione convergesse verso due valori diversi, arriverebbe a una contraddizione matematica.
Le successioni possono anche divergere: verso +∞ se diventano arbitrariamente grandi, verso -∞ se diventano arbitrariamente piccole (negative). Quando una successione converge, è sempre limitata - cioè i suoi valori restano entro certi confini.
💡 Ricorda: Se una successione converge, mantiene lo stesso segno del limite per n sufficientemente grande (teorema della permanenza del segno).
Il teorema dei carabinieri è uno strumento potentissimo: se hai tre successioni aₙ ≤ cₙ ≤ bₙ e le due "esterne" convergono allo stesso limite l, anche quella "centrale" cₙ converge a l. È come se cₙ fosse "intrappolata" tra le altre due.
Il teorema del confronto ti dice che l'ordine si conserva: se aₙ ≤ bₙ e bₙ diverge a -∞, anche aₙ diverge a -∞. Stesso discorso se aₙ diverge a +∞.
Un risultato molto utile è che il prodotto di una successione limitata per una infinitesima (che tende a zero) dà sempre zero. Questo principio ti sarà preziosissimo per calcolare limiti complessi.
Le successioni monotone (sempre crescenti o sempre decrescenti) hanno una proprietà fantastica: se sono limitate convergono sempre, altrimenti divergono. Questo è il numero di Nepero e = limⁿ emerge proprio da questo teorema.
💡 Trucco: Per riconoscere limiti che danno e, cerca sempre base ed esponente che sono reciproci l'uno dell'altro.
Una successione estratta si ottiene prendendo solo alcuni termini della successione originale, ma rispettando l'ordine. È come selezionare alcuni elementi da una lista infinita: a₂, a₄, a₈, a₁₆, ... è un'estratta di aₙ.
Il punto chiave è che se una successione converge, tutte le sue estratte convergono allo stesso limite. Però attenzione: puoi avere estratte convergenti anche se la successione originale non converge!
Il teorema di Bolzano-Weierstrass è uno dei risultati più importanti: ogni successione limitata ha almeno una sottosuccessione convergente. La dimostrazione usa un metodo geniale di "bisezione" degli intervalli.
Il criterio del rapporto ti permette di studiare la convergenza confrontando il rapporto tra termini consecutivi. Se questo rapporto tende a un limite minore di 1, la successione converge a zero.
💡 Strategia: Quando hai una successione complicata, prova prima a trovare una sua estratta più semplice - spesso ti dà informazioni preziose sul comportamento generale.
Una successione di Cauchy è quella in cui i termini diventano sempre più vicini tra loro: per ogni ε > 0, esiste un punto oltre il quale tutti i termini distano meno di ε l'uno dall'altro.
Il teorema fondamentale è che una successione converge se e solo se è di Cauchy. Questo ti dà un criterio alternativo per verificare la convergenza senza dover conoscere il limite!
La dimostrazione è elegante: se una successione converge, automaticamente è di Cauchy. Viceversa, se è di Cauchy, allora è limitata, quindi per Bolzano-Weierstrass ha un'estratta convergente, e questo implica che tutta la successione converge.
Questo criterio di convergenza di Cauchy è particolarmente utile quando non riesci a intuire verso quale valore converge una successione, ma vuoi comunque verificare se converge.
💡 Applicazione pratica: Il criterio di Cauchy è perfetto per successioni definite ricorsivamente, dove ogni termine dipende dai precedenti ma il limite non è ovvio.
Il nostro assistente AI è costruito specificamente per le esigenze degli studenti. Sulla base dei milioni di contenuti presenti sulla piattaforma, possiamo fornire agli studenti risposte davvero significative e pertinenti. Ma non si tratta solo di risposte, l'assistente è in grado di guidare gli studenti attraverso le loro sfide quotidiane di studio, con piani di studio personalizzati, quiz o contenuti nella chat e una personalizzazione al 100% basata sulle competenze e sugli sviluppi degli studenti.
È possibile scaricare l'applicazione dal Google Play Store e dall'Apple App Store.
Sì, hai accesso completamente gratuito a tutti i contenuti nell'app e puoi chattare o seguire i Creatori in qualsiasi momento. Sbloccherai nuove funzioni crescendo il tuo numero di follower. Inoltre, offriamo Knowunity Premium, che consente di studiare senza alcun limite!!
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Google Play
L'applicazione è molto facile da usare e ben progettata. Finora ho trovato tutto quello che cercavo e ho potuto imparare molto dalle presentazioni! Utilizzerò sicuramente l'app per i compiti in classe! È molto utile anche come fonte di ispirazione.
Stefano S
utente iOS
Questa applicazione è davvero grande! Ci sono tantissimi appunti e aiuti con lo studio [...]. La mia materia problematica, per esempio, è il francese e l'app ha così tante opzioni per aiutarmi. Grazie a questa app ho migliorato il mio francese. La consiglio a tutti.
Samantha Klich
utente Android
Wow, sono davvero stupita. Ho appena provato l'app perché l'ho vista pubblicizzata molte volte e sono rimasta assolutamente sbalordita. Questa app è L'AIUTO che cercate per la scuola e soprattutto offre tantissime cose, come allenamenti e schede, che a me personalmente sono state MOLTO utili.
Anna
utente iOS
È bellissima questa app, la adoro. È utilissima per lo studio e mi aiuta molto, anzi moltissimo, ma soprattutto mi aiutano molto i quiz, per memorizzare anche quello che non sapevo
Anastasia
utente Android
Fantastica per qualsiasi materia avere gli appunti anche di altre persone è molto utile perchè posso confrontarmi e vedere come migliorarmi. con i quiz riesco ad apprendere al meglio.
Francesca
utente Android
moooolto utile,gli appunti sono belli e funzionanti,schoolGPT da dei consigli formidabili!!
Marianna
utente Android
L'applicazione è semplicemente fantastica! Tutto ciò che devo fare è inserire l'argomento nella barra di ricerca e ottengo la risposta molto velocemente. Non devo guardare 10 video di YouTube per capire qualcosa, quindi risparmio tempo. Consigliatissima!
Sudenaz Ocak
utente Android
A scuola andavo malissimo in matematica, ma grazie a questa applicazione ora vado meglio. Vi sono molto grato per aver creato questa app.
Greenlight Bonnie
utente Android
Knowunity è un applicazione fantastica,considerando che ha degli schemi veramente molto carini e sfiziosi e che ci sono dei quiz,oltre al fatto che questa cosa dell intelligenza artificiale "school gpt" è almeno per me molto utile, perché a differenza di Chatgpt ti da le spiegazioni, ti spiega ciò che non è chiaro! Posso studiare più velocemente tramite gli schemi e che posso pubblicare io stessa gli schemi è una funzione utilissima per gli altri studenti. Knowunity è PERFETTA
Aurora
utente Android
L’app funziona benissimo e puoi trovare qualsiasi tipo di informazione. Non ho l’abbonamento ma la parte gratuita è sufficiente per uno studio approfondito.
Martina
utente iOS
in questi ultimi mesi di scuola dove il tempo è ormai poco, mi sta aiutando molto perché piuttosto che farmi io gli schemi su quello che leggo sul libro guardo questi già fatti e li uso come ripasso piuttosto che rileggermi tutto il libro
Chiara
utente IOS
Questa app è una delle migliori, nient’altro da dire.
Andrea
utente iOS
L'applicazione è molto facile da usare e ben progettata. Finora ho trovato tutto quello che cercavo e ho potuto imparare molto dalle presentazioni! Utilizzerò sicuramente l'app per i compiti in classe! È molto utile anche come fonte di ispirazione.
Stefano S
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Questa applicazione è davvero grande! Ci sono tantissimi appunti e aiuti con lo studio [...]. La mia materia problematica, per esempio, è il francese e l'app ha così tante opzioni per aiutarmi. Grazie a questa app ho migliorato il mio francese. La consiglio a tutti.
Samantha Klich
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Wow, sono davvero stupita. Ho appena provato l'app perché l'ho vista pubblicizzata molte volte e sono rimasta assolutamente sbalordita. Questa app è L'AIUTO che cercate per la scuola e soprattutto offre tantissime cose, come allenamenti e schede, che a me personalmente sono state MOLTO utili.
Anna
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È bellissima questa app, la adoro. È utilissima per lo studio e mi aiuta molto, anzi moltissimo, ma soprattutto mi aiutano molto i quiz, per memorizzare anche quello che non sapevo
Anastasia
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Fantastica per qualsiasi materia avere gli appunti anche di altre persone è molto utile perchè posso confrontarmi e vedere come migliorarmi. con i quiz riesco ad apprendere al meglio.
Francesca
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moooolto utile,gli appunti sono belli e funzionanti,schoolGPT da dei consigli formidabili!!
Marianna
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L'applicazione è semplicemente fantastica! Tutto ciò che devo fare è inserire l'argomento nella barra di ricerca e ottengo la risposta molto velocemente. Non devo guardare 10 video di YouTube per capire qualcosa, quindi risparmio tempo. Consigliatissima!
Sudenaz Ocak
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A scuola andavo malissimo in matematica, ma grazie a questa applicazione ora vado meglio. Vi sono molto grato per aver creato questa app.
Greenlight Bonnie
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Knowunity è un applicazione fantastica,considerando che ha degli schemi veramente molto carini e sfiziosi e che ci sono dei quiz,oltre al fatto che questa cosa dell intelligenza artificiale "school gpt" è almeno per me molto utile, perché a differenza di Chatgpt ti da le spiegazioni, ti spiega ciò che non è chiaro! Posso studiare più velocemente tramite gli schemi e che posso pubblicare io stessa gli schemi è una funzione utilissima per gli altri studenti. Knowunity è PERFETTA
Aurora
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L’app funziona benissimo e puoi trovare qualsiasi tipo di informazione. Non ho l’abbonamento ma la parte gratuita è sufficiente per uno studio approfondito.
Martina
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in questi ultimi mesi di scuola dove il tempo è ormai poco, mi sta aiutando molto perché piuttosto che farmi io gli schemi su quello che leggo sul libro guardo questi già fatti e li uso come ripasso piuttosto che rileggermi tutto il libro
Chiara
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Questa app è una delle migliori, nient’altro da dire.
Andrea
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Cat
@cat_379
Le successioni sono uno strumento fondamentale dell'analisi matematica che ti permetterà di comprendere il comportamento all'infinito di sequenze numeriche. Padroneggiare questi concetti ti darà una solida base per affrontare limiti, serie e tutto il calcolo differenziale che incontrerai quest'anno.
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Una successione è semplicemente una funzione che associa ad ogni numero naturale n un numero reale. Pensala come una lista infinita di numeri: a₁, a₂, a₃, ...
Il limite di una successione è il valore a cui si avvicinano sempre di più i termini quando n diventa grandissimo. Matematicamente scriviamo: se per ogni ε > 0 esiste un ν tale che |aₙ - a| < ε per tutti gli n > ν, allora la successione converge ad a.
Una proprietà cruciale è l'unicità del limite: ogni successione può convergere al massimo verso un solo valore. La dimostrazione usa il fatto che se una successione convergesse verso due valori diversi, arriverebbe a una contraddizione matematica.
Le successioni possono anche divergere: verso +∞ se diventano arbitrariamente grandi, verso -∞ se diventano arbitrariamente piccole (negative). Quando una successione converge, è sempre limitata - cioè i suoi valori restano entro certi confini.
💡 Ricorda: Se una successione converge, mantiene lo stesso segno del limite per n sufficientemente grande (teorema della permanenza del segno).
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Il teorema dei carabinieri è uno strumento potentissimo: se hai tre successioni aₙ ≤ cₙ ≤ bₙ e le due "esterne" convergono allo stesso limite l, anche quella "centrale" cₙ converge a l. È come se cₙ fosse "intrappolata" tra le altre due.
Il teorema del confronto ti dice che l'ordine si conserva: se aₙ ≤ bₙ e bₙ diverge a -∞, anche aₙ diverge a -∞. Stesso discorso se aₙ diverge a +∞.
Un risultato molto utile è che il prodotto di una successione limitata per una infinitesima (che tende a zero) dà sempre zero. Questo principio ti sarà preziosissimo per calcolare limiti complessi.
Le successioni monotone (sempre crescenti o sempre decrescenti) hanno una proprietà fantastica: se sono limitate convergono sempre, altrimenti divergono. Questo è il numero di Nepero e = limⁿ emerge proprio da questo teorema.
💡 Trucco: Per riconoscere limiti che danno e, cerca sempre base ed esponente che sono reciproci l'uno dell'altro.
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Una successione estratta si ottiene prendendo solo alcuni termini della successione originale, ma rispettando l'ordine. È come selezionare alcuni elementi da una lista infinita: a₂, a₄, a₈, a₁₆, ... è un'estratta di aₙ.
Il punto chiave è che se una successione converge, tutte le sue estratte convergono allo stesso limite. Però attenzione: puoi avere estratte convergenti anche se la successione originale non converge!
Il teorema di Bolzano-Weierstrass è uno dei risultati più importanti: ogni successione limitata ha almeno una sottosuccessione convergente. La dimostrazione usa un metodo geniale di "bisezione" degli intervalli.
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Una successione di Cauchy è quella in cui i termini diventano sempre più vicini tra loro: per ogni ε > 0, esiste un punto oltre il quale tutti i termini distano meno di ε l'uno dall'altro.
Il teorema fondamentale è che una successione converge se e solo se è di Cauchy. Questo ti dà un criterio alternativo per verificare la convergenza senza dover conoscere il limite!
La dimostrazione è elegante: se una successione converge, automaticamente è di Cauchy. Viceversa, se è di Cauchy, allora è limitata, quindi per Bolzano-Weierstrass ha un'estratta convergente, e questo implica che tutta la successione converge.
Questo criterio di convergenza di Cauchy è particolarmente utile quando non riesci a intuire verso quale valore converge una successione, ma vuoi comunque verificare se converge.
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definizioni con esempi
MatematicaAppunti di analisi matematica I (ingegneria informatica)
MatematicaAnche logaritmi ed esponenziali per risolvere limiti e metodi per risolvere forme indeterminate🫶
MatematicaFormulario per dimostrazioni e proprietà per l'analisi (indicato soprattutto per il corso di ing. Informatica presso La Sapienza, doc. N. Galesi)
MatematicaTeorema dell’unicità del limite, teorema della permanenza del segno e teorema del confronto
MatematicaAppunti di Analisi 1
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