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29 nov 2025
•
Martina Bruno
@martiibruno
Questi appunti di matematica coprono concetti fondamentali che ti serviranno... Mostra di più
Gli insiemi sono semplicemente collezioni di oggetti, come una scatola che contiene delle cose specifiche. Per esempio, A = {3, 5, 9} contiene solo quei tre numeri.
Ci sono alcuni insiemi che userai sempre: N (numeri naturali 0, 1, 2...), Z (numeri interi inclusi i negativi), Q (frazioni), R (numeri reali) e C (numeri complessi). La cardinalità |A| ti dice semplicemente quanti elementi ci sono nell'insieme.
Le operazioni tra insiemi sono come le operazioni tra numeri, ma più intuitive. L'unione A ∪ B prende tutto quello che c'è in A e in B, l'intersezione A ∩ B prende solo gli elementi comuni. Il prodotto cartesiano A × B crea tutte le coppie possibili - molto utile per il piano cartesiano!
💡 Trucco: Due insiemi sono disgiunti quando A ∩ B = ∅, cioè non hanno niente in comune!
Gli insiemi seguono regole precise, proprio come l'algebra. Le leggi di De Morgan sono fondamentali: (A ∪ B)ᶜ = Aᶜ ∩ Bᶜ. In pratica, il complementare di un'unione è l'intersezione dei complementari.
L'insieme delle parti P(A) contiene tutti i possibili sottoinsiemi di A. Se A ha 2 elementi, P(A) ne avrà 2² = 4. È una crescita esponenziale che ti stupirà sempre!
Le proprietà sono simili a quelle dei numeri: unione e intersezione sono commutative e associative. Esistono anche proprietà distributive che collegano unione e intersezione.
💡 Nota bene: Se |A| = n, allora |P(A)| = 2ⁿ - una delle formule più eleganti della matematica!
I numeri razionali Q sono tutte le frazioni p/q dove p e q sono interi e q ≠ 0. Questi numeri hanno proprietà speciali che li rendono un campo ordinato.
Le proprietà della somma includono: commutatività, associatività, esistenza dello zero e dell'opposto. Per la moltiplicazione abbiamo: commutatività, associatività, esistenza dell'uno e del reciproco (per numeri ≠ 0), più la distributiva che collega somma e prodotto.
Un insieme con tutte queste proprietà (1-9) si chiama campo. Gli insiemi N e Z non sono campi perché mancano alcune proprietà - per esempio, in N non esistono opposti, in Z non esistono reciproci.
💡 Importante: La proprietà di densità di Q significa che tra due numeri razionali qualsiasi puoi sempre trovarne un altro razionale!
Esistono numeri che non sono razionali, come √2. La dimostrazione che √2 ∉ Q è un classico: se fosse razionale, porterebbe a una contraddizione (p e q sarebbero entrambi pari).
I numeri reali R si rappresentano con allineamenti decimali infiniti. I razionali danno allineamenti limitati o periodici, gli irrazionali danno allineamenti non periodici.
La proprietà più importante di R è la completezza: ogni insieme limitato superiormente ha un estremo superiore. Questo distingue R da Q e permette di "riempire tutti i buchi" sulla retta numerica.
💡 Teorema chiave: Sia Q che i numeri irrazionali sono densi in R - tra due reali qualsiasi trovi sempre sia razionali che irrazionali!
Gli intervalli sono porzioni continue della retta reale. Possono essere aperti (a,b), chiusi o misti [a,b). Le semirette estendono il concetto all'infinito.
Un insieme A ha maggioranti (numeri ≥ di tutti gli elementi di A) e minoranti (numeri ≤ di tutti gli elementi). Il massimo è un maggiorante che appartiene ad A, il minimo è un minorante che appartiene ad A.
Il teorema di completezza garantisce che ogni insieme limitato superiormente ha un estremo superiore (il più piccolo maggiorante) e ogni insieme limitato inferiormente ha un estremo inferiore (il più grande minorante).
💡 Differenza cruciale: Massimo e minimo appartengono all'insieme, estremi superiore e inferiore possono non appartenervi!
Gli estremi superiore e inferiore hanno una caratterizzazione precisa. Se l = sup A, allora: tutti gli elementi di A sono ≤ l, e per ogni ε > 0 esiste almeno un elemento di A maggiore di l - ε.
La dimostrazione della completezza di R è costruttiva: si costruisce cifra per cifra l'allineamento decimale dell'estremo. È un processo che "stringe" sempre di più l'intervallo fino a individuare il numero cercato.
Questa proprietà è unica dei numeri reali. È quello che rende R "completo" rispetto a Q e permette di risolvere equazioni come x² = 2.
💡 Tecnica: Per dimostrare che un numero è sup A, verifica le due condizioni: è maggiorante e per ogni ε > 0 puoi "avvicinarti" quanto vuoi!
Per ogni numero reale y ≥ 0 esiste un unico numero non negativo x tale che x² = y. Questo numero si chiama radice quadrata e si scrive x = √y.
Il concetto si generalizza: per ogni n ∈ N e y ≥ 0, esiste un unico x ≥ 0 tale che xⁿ = y. Si scrive x = ⁿ√y = y^.
Quando n è dispari, puoi estrarre radici anche da numeri negativi, perché ⁿ = -xⁿ. Questo significa che ³√(-8) = -2.
💡 Regola pratica: Indice pari → solo numeri positivi; indice dispari → tutti i numeri reali!
Una funzione f: X → Y è una "macchina" che prende ogni elemento x di X e gli associa esattamente un elemento y di Y. Scrivi y = f(x).
Il dominio X è l'insieme di partenza, il codominio Y quello di arrivo. L'immagine è l'insieme dei valori effettivamente assunti da f. Il grafico è l'insieme di tutte le coppie (x, f(x)).
Le funzioni possono essere monotone: crescenti se x₁ < x₂ implica f(x₁) ≤ f(x₂), strettamente crescenti se f(x₁) < f(x₂). Possono essere pari se f = f(x) o dispari se f = -f(x).
💡 Test visivo: Una funzione è crescente se il grafico "va verso l'alto" da sinistra a destra!
Le funzioni pari hanno grafici simmetrici rispetto all'asse y, quelle dispari rispetto all'origine. Se f è dispari, allora f(0) = 0 (quando 0 è nel dominio).
Una funzione è limitata se esiste un numero M tale che |f(x)| ≤ M per tutti gli x del dominio. Puoi definire estremo superiore e inferiore di una funzione proprio come per gli insiemi.
Per le successioni {aₙ}, la monotonia si verifica confrontando termini consecutivi: aₙ ≤ aₙ₊₁ per successioni crescenti.
💡 Proprietà utile: Il prodotto di due funzioni pari (o due dispari) è pari; il prodotto di una pari e una dispari è dispari!
Una funzione è iniettiva se elementi diversi hanno immagini diverse: x₁ ≠ x₂ implica f(x₁) ≠ f(x₂). È suriettiva se ogni elemento del codominio ha almeno una controimmagine.
Una funzione biiettiva è sia iniettiva che suriettiva. Solo le funzioni biiettive hanno funzione inversa f⁻¹, che "inverte" l'operazione: se y = f(x), allora x = f⁻¹(y).
Le funzioni strettamente monotone sono sempre iniettive. Se f è strettamente crescente, anche f⁻¹ lo è. Questo collegamento tra monotonia e invertibilità è fondamentale.
💡 Test del grafico: Una funzione è iniettiva se ogni retta orizzontale interseca il grafico al massimo una volta!
Il nostro assistente AI è costruito specificamente per le esigenze degli studenti. Sulla base dei milioni di contenuti presenti sulla piattaforma, possiamo fornire agli studenti risposte davvero significative e pertinenti. Ma non si tratta solo di risposte, l'assistente è in grado di guidare gli studenti attraverso le loro sfide quotidiane di studio, con piani di studio personalizzati, quiz o contenuti nella chat e una personalizzazione al 100% basata sulle competenze e sugli sviluppi degli studenti.
È possibile scaricare l'applicazione dal Google Play Store e dall'Apple App Store.
Sì, hai accesso completamente gratuito a tutti i contenuti nell'app e puoi chattare o seguire i Creatori in qualsiasi momento. Sbloccherai nuove funzioni crescendo il tuo numero di follower. Inoltre, offriamo Knowunity Premium, che consente di studiare senza alcun limite!!
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Google Play
L'applicazione è molto facile da usare e ben progettata. Finora ho trovato tutto quello che cercavo e ho potuto imparare molto dalle presentazioni! Utilizzerò sicuramente l'app per i compiti in classe! È molto utile anche come fonte di ispirazione.
Stefano S
utente iOS
Questa applicazione è davvero grande! Ci sono tantissimi appunti e aiuti con lo studio [...]. La mia materia problematica, per esempio, è il francese e l'app ha così tante opzioni per aiutarmi. Grazie a questa app ho migliorato il mio francese. La consiglio a tutti.
Samantha Klich
utente Android
Wow, sono davvero stupita. Ho appena provato l'app perché l'ho vista pubblicizzata molte volte e sono rimasta assolutamente sbalordita. Questa app è L'AIUTO che cercate per la scuola e soprattutto offre tantissime cose, come allenamenti e schede, che a me personalmente sono state MOLTO utili.
Anna
utente iOS
È bellissima questa app, la adoro. È utilissima per lo studio e mi aiuta molto, anzi moltissimo, ma soprattutto mi aiutano molto i quiz, per memorizzare anche quello che non sapevo
Anastasia
utente Android
Fantastica per qualsiasi materia avere gli appunti anche di altre persone è molto utile perchè posso confrontarmi e vedere come migliorarmi. con i quiz riesco ad apprendere al meglio.
Francesca
utente Android
moooolto utile,gli appunti sono belli e funzionanti,schoolGPT da dei consigli formidabili!!
Marianna
utente Android
L'applicazione è semplicemente fantastica! Tutto ciò che devo fare è inserire l'argomento nella barra di ricerca e ottengo la risposta molto velocemente. Non devo guardare 10 video di YouTube per capire qualcosa, quindi risparmio tempo. Consigliatissima!
Sudenaz Ocak
utente Android
A scuola andavo malissimo in matematica, ma grazie a questa applicazione ora vado meglio. Vi sono molto grato per aver creato questa app.
Greenlight Bonnie
utente Android
Knowunity è un applicazione fantastica,considerando che ha degli schemi veramente molto carini e sfiziosi e che ci sono dei quiz,oltre al fatto che questa cosa dell intelligenza artificiale "school gpt" è almeno per me molto utile, perché a differenza di Chatgpt ti da le spiegazioni, ti spiega ciò che non è chiaro! Posso studiare più velocemente tramite gli schemi e che posso pubblicare io stessa gli schemi è una funzione utilissima per gli altri studenti. Knowunity è PERFETTA
Aurora
utente Android
L’app funziona benissimo e puoi trovare qualsiasi tipo di informazione. Non ho l’abbonamento ma la parte gratuita è sufficiente per uno studio approfondito.
Martina
utente iOS
in questi ultimi mesi di scuola dove il tempo è ormai poco, mi sta aiutando molto perché piuttosto che farmi io gli schemi su quello che leggo sul libro guardo questi già fatti e li uso come ripasso piuttosto che rileggermi tutto il libro
Chiara
utente IOS
Questa app è una delle migliori, nient’altro da dire.
Andrea
utente iOS
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Stefano S
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Questa applicazione è davvero grande! Ci sono tantissimi appunti e aiuti con lo studio [...]. La mia materia problematica, per esempio, è il francese e l'app ha così tante opzioni per aiutarmi. Grazie a questa app ho migliorato il mio francese. La consiglio a tutti.
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Sudenaz Ocak
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A scuola andavo malissimo in matematica, ma grazie a questa applicazione ora vado meglio. Vi sono molto grato per aver creato questa app.
Greenlight Bonnie
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Martina Bruno
@martiibruno
Questi appunti di matematica coprono concetti fondamentali che ti serviranno per tutta la carriera scolastica. Partiamo dalla teoria degli insiemi e arriviamo fino alle funzioni e alle loro proprietà. Sono tutti argomenti che sembrano complicati a prima vista, ma una... Mostra di più
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Gli insiemi sono semplicemente collezioni di oggetti, come una scatola che contiene delle cose specifiche. Per esempio, A = {3, 5, 9} contiene solo quei tre numeri.
Ci sono alcuni insiemi che userai sempre: N (numeri naturali 0, 1, 2...), Z (numeri interi inclusi i negativi), Q (frazioni), R (numeri reali) e C (numeri complessi). La cardinalità |A| ti dice semplicemente quanti elementi ci sono nell'insieme.
Le operazioni tra insiemi sono come le operazioni tra numeri, ma più intuitive. L'unione A ∪ B prende tutto quello che c'è in A e in B, l'intersezione A ∩ B prende solo gli elementi comuni. Il prodotto cartesiano A × B crea tutte le coppie possibili - molto utile per il piano cartesiano!
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L'insieme delle parti P(A) contiene tutti i possibili sottoinsiemi di A. Se A ha 2 elementi, P(A) ne avrà 2² = 4. È una crescita esponenziale che ti stupirà sempre!
Le proprietà sono simili a quelle dei numeri: unione e intersezione sono commutative e associative. Esistono anche proprietà distributive che collegano unione e intersezione.
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I numeri razionali Q sono tutte le frazioni p/q dove p e q sono interi e q ≠ 0. Questi numeri hanno proprietà speciali che li rendono un campo ordinato.
Le proprietà della somma includono: commutatività, associatività, esistenza dello zero e dell'opposto. Per la moltiplicazione abbiamo: commutatività, associatività, esistenza dell'uno e del reciproco (per numeri ≠ 0), più la distributiva che collega somma e prodotto.
Un insieme con tutte queste proprietà (1-9) si chiama campo. Gli insiemi N e Z non sono campi perché mancano alcune proprietà - per esempio, in N non esistono opposti, in Z non esistono reciproci.
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Esistono numeri che non sono razionali, come √2. La dimostrazione che √2 ∉ Q è un classico: se fosse razionale, porterebbe a una contraddizione (p e q sarebbero entrambi pari).
I numeri reali R si rappresentano con allineamenti decimali infiniti. I razionali danno allineamenti limitati o periodici, gli irrazionali danno allineamenti non periodici.
La proprietà più importante di R è la completezza: ogni insieme limitato superiormente ha un estremo superiore. Questo distingue R da Q e permette di "riempire tutti i buchi" sulla retta numerica.
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Un insieme A ha maggioranti (numeri ≥ di tutti gli elementi di A) e minoranti (numeri ≤ di tutti gli elementi). Il massimo è un maggiorante che appartiene ad A, il minimo è un minorante che appartiene ad A.
Il teorema di completezza garantisce che ogni insieme limitato superiormente ha un estremo superiore (il più piccolo maggiorante) e ogni insieme limitato inferiormente ha un estremo inferiore (il più grande minorante).
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La dimostrazione della completezza di R è costruttiva: si costruisce cifra per cifra l'allineamento decimale dell'estremo. È un processo che "stringe" sempre di più l'intervallo fino a individuare il numero cercato.
Questa proprietà è unica dei numeri reali. È quello che rende R "completo" rispetto a Q e permette di risolvere equazioni come x² = 2.
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Per ogni numero reale y ≥ 0 esiste un unico numero non negativo x tale che x² = y. Questo numero si chiama radice quadrata e si scrive x = √y.
Il concetto si generalizza: per ogni n ∈ N e y ≥ 0, esiste un unico x ≥ 0 tale che xⁿ = y. Si scrive x = ⁿ√y = y^.
Quando n è dispari, puoi estrarre radici anche da numeri negativi, perché ⁿ = -xⁿ. Questo significa che ³√(-8) = -2.
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Una funzione f: X → Y è una "macchina" che prende ogni elemento x di X e gli associa esattamente un elemento y di Y. Scrivi y = f(x).
Il dominio X è l'insieme di partenza, il codominio Y quello di arrivo. L'immagine è l'insieme dei valori effettivamente assunti da f. Il grafico è l'insieme di tutte le coppie (x, f(x)).
Le funzioni possono essere monotone: crescenti se x₁ < x₂ implica f(x₁) ≤ f(x₂), strettamente crescenti se f(x₁) < f(x₂). Possono essere pari se f = f(x) o dispari se f = -f(x).
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Una funzione è limitata se esiste un numero M tale che |f(x)| ≤ M per tutti gli x del dominio. Puoi definire estremo superiore e inferiore di una funzione proprio come per gli insiemi.
Per le successioni {aₙ}, la monotonia si verifica confrontando termini consecutivi: aₙ ≤ aₙ₊₁ per successioni crescenti.
💡 Proprietà utile: Il prodotto di due funzioni pari (o due dispari) è pari; il prodotto di una pari e una dispari è dispari!
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Una funzione è iniettiva se elementi diversi hanno immagini diverse: x₁ ≠ x₂ implica f(x₁) ≠ f(x₂). È suriettiva se ogni elemento del codominio ha almeno una controimmagine.
Una funzione biiettiva è sia iniettiva che suriettiva. Solo le funzioni biiettive hanno funzione inversa f⁻¹, che "inverte" l'operazione: se y = f(x), allora x = f⁻¹(y).
Le funzioni strettamente monotone sono sempre iniettive. Se f è strettamente crescente, anche f⁻¹ lo è. Questo collegamento tra monotonia e invertibilità è fondamentale.
💡 Test del grafico: Una funzione è iniettiva se ogni retta orizzontale interseca il grafico al massimo una volta!
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L'applicazione è molto facile da usare e ben progettata. Finora ho trovato tutto quello che cercavo e ho potuto imparare molto dalle presentazioni! Utilizzerò sicuramente l'app per i compiti in classe! È molto utile anche come fonte di ispirazione.
Stefano S
utente iOS
Questa applicazione è davvero grande! Ci sono tantissimi appunti e aiuti con lo studio [...]. La mia materia problematica, per esempio, è il francese e l'app ha così tante opzioni per aiutarmi. Grazie a questa app ho migliorato il mio francese. La consiglio a tutti.
Samantha Klich
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Wow, sono davvero stupita. Ho appena provato l'app perché l'ho vista pubblicizzata molte volte e sono rimasta assolutamente sbalordita. Questa app è L'AIUTO che cercate per la scuola e soprattutto offre tantissime cose, come allenamenti e schede, che a me personalmente sono state MOLTO utili.
Anna
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È bellissima questa app, la adoro. È utilissima per lo studio e mi aiuta molto, anzi moltissimo, ma soprattutto mi aiutano molto i quiz, per memorizzare anche quello che non sapevo
Anastasia
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Fantastica per qualsiasi materia avere gli appunti anche di altre persone è molto utile perchè posso confrontarmi e vedere come migliorarmi. con i quiz riesco ad apprendere al meglio.
Francesca
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moooolto utile,gli appunti sono belli e funzionanti,schoolGPT da dei consigli formidabili!!
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L'applicazione è semplicemente fantastica! Tutto ciò che devo fare è inserire l'argomento nella barra di ricerca e ottengo la risposta molto velocemente. Non devo guardare 10 video di YouTube per capire qualcosa, quindi risparmio tempo. Consigliatissima!
Sudenaz Ocak
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A scuola andavo malissimo in matematica, ma grazie a questa applicazione ora vado meglio. Vi sono molto grato per aver creato questa app.
Greenlight Bonnie
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Knowunity è un applicazione fantastica,considerando che ha degli schemi veramente molto carini e sfiziosi e che ci sono dei quiz,oltre al fatto che questa cosa dell intelligenza artificiale "school gpt" è almeno per me molto utile, perché a differenza di Chatgpt ti da le spiegazioni, ti spiega ciò che non è chiaro! Posso studiare più velocemente tramite gli schemi e che posso pubblicare io stessa gli schemi è una funzione utilissima per gli altri studenti. Knowunity è PERFETTA
Aurora
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Martina
utente iOS
in questi ultimi mesi di scuola dove il tempo è ormai poco, mi sta aiutando molto perché piuttosto che farmi io gli schemi su quello che leggo sul libro guardo questi già fatti e li uso come ripasso piuttosto che rileggermi tutto il libro
Chiara
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Anastasia
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Francesca
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Sudenaz Ocak
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Greenlight Bonnie
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