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Limiti: Metodi e Soluzioni Pratiche

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03/12/2025

Matematica

Limiti, forme indeterminate, limiti notevoli

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Matematica

Relazioni e funzioni

Limiti e calcolo

Enunciati dei principali teoremi (unicità, confronto)

688

•

3 dic 2025

•

3 pagine

Limiti: Metodi e Soluzioni Pratiche

P

patty

@patty_ccfj

I limiti sono uno strumento fondamentale per capire come si... Mostra di più

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# LIMITI - Casi particolari. $lim_{x\rightarrow0^+} \frac{1}{x} = \frac{1}{0^+} =+\infty$ $lim_{x\rightarrow0^-} \frac{1}{x} =-\infty$ $

Limiti - Casi Particolari e Concetti Base

Quando lavori con i limiti, ci sono alcuni schemi che si ripetono sempre e che devi imparare a memoria. Per la funzione 1/x, ad esempio, quando x si avvicina a 0 da destra ottieni +∞, mentre da sinistra ottieni -∞.

Gli asintoti sono linee che la funzione si avvicina ma non tocca mai. Se il limite tende a un numero fisso, hai un asintoto orizzontale; se tende a ±∞, hai un asintoto verticale.

I limiti notevoli sono formule che devi memorizzare perché ti salveranno in molti esercizi. I più importanti sono: lim(x→0) senx/x = 1 e lim(x→∞) 1+1/x1+1/x^x = e.

Trucco per ricordare: Se il denominatore si annulla, il limite tende a infinito. Se il denominatore è infinito, il limite tende a zero.

Le forme indeterminate come0/0o∞/∞come 0/0 o ∞/∞ richiedono tecniche specifiche per essere risolte - non puoi semplicemente sostituire il valore!

# LIMITI - Casi particolari. $lim_{x\rightarrow0^+} \frac{1}{x} = \frac{1}{0^+} =+\infty$ $lim_{x\rightarrow0^-} \frac{1}{x} =-\infty$ $

Risoluzione delle Forme Indeterminate

Ogni forma indeterminata ha la sua strategia di risoluzione. Per ∞-∞ con polinomi, raccogli sempre la x di grado massimo - questo ti semplifica tutto.

Quando hai 0/0, prima prova a scomporre e semplificare. Ricorda le identità fondamentali come A²-B² = A−BA-BA+BA+B e usa la formula risolutiva per i trinomi di secondo grado quando necessario.

Per le forme 1^∞, 0^0, ∞^0, usa la tecnica dell'esponenziale: trasforma f(x)f(x)^g(x) in e^(g(x)·ln[f(x)]) e risolvi l'esponente.

Strategia vincente: Con funzioni irrazionali (con radici), moltiplica e dividi per il coniugato. Questo elimina spesso la radice e risolve la forma indeterminata.

Le funzioni goniometriche richiedono le identità fondamentali: sen²x + cos²x = 1, sen2x = 2senx·cosx, e ricorda che sen(0) = 0 e cos(0) = 1.

# LIMITI - Casi particolari. $lim_{x\rightarrow0^+} \frac{1}{x} = \frac{1}{0^+} =+\infty$ $lim_{x\rightarrow0^-} \frac{1}{x} =-\infty$ $

Funzioni Esponenziali e Logaritmiche

Le funzioni esponenziali y = a^x si comportano diversamente a seconda della base. Se a > 1, quando x → +∞ la funzione cresce verso +∞, mentre quando x → -∞ tende a 0.

I logaritmi sono l'inverso degli esponenziali. Per a > 1: limx→+∞x→+∞ log_a(x) = +∞ e lim(x→0⁺) log_a(x) = -∞. Questo significa che il logaritmo cresce molto lentamente verso infinito.

Le formule goniometriche per i calcoli includono: sen2x = 2senx·cosx e cos2x = cos²x - sen²x = 1 - 2sen²x. Ricorda anche le proprietà di simmetria: sen−x-x = -senx e cos−x-x = cosx.

Attenzione alle basi: Se 0 < a < 1, i comportamenti si invertono! L'esponenziale decresce invece di crescere.

Per le traslazioni ricorda che senπ+xπ + x = -senx e cosπ+xπ + x = -cosx - queste ti aiutano a semplificare espressioni complesse.



Pensavamo che non l'avreste mai chiesto....

Che cos'è l'assistente AI di Knowunity?

Il nostro assistente AI è costruito specificamente per le esigenze degli studenti. Sulla base dei milioni di contenuti presenti sulla piattaforma, possiamo fornire agli studenti risposte davvero significative e pertinenti. Ma non si tratta solo di risposte, l'assistente è in grado di guidare gli studenti attraverso le loro sfide quotidiane di studio, con piani di studio personalizzati, quiz o contenuti nella chat e una personalizzazione al 100% basata sulle competenze e sugli sviluppi degli studenti.

Dove posso scaricare l'applicazione Knowunity?

È possibile scaricare l'applicazione dal Google Play Store e dall'Apple App Store.

Knowunity è davvero gratuita?

Sì, hai accesso completamente gratuito a tutti i contenuti nell'app e puoi chattare o seguire i Creatori in qualsiasi momento. Sbloccherai nuove funzioni crescendo il tuo numero di follower. Inoltre, offriamo Knowunity Premium, che consente di studiare senza alcun limite!!

Non c'è niente di adatto? Esplorare altre aree tematiche.

Recensioni dei nostri utenti. Ci adorano - e anche tu, vedrai .

4.9/5

App Store

4.8/5

Google Play

L'applicazione è molto facile da usare e ben progettata. Finora ho trovato tutto quello che cercavo e ho potuto imparare molto dalle presentazioni! Utilizzerò sicuramente l'app per i compiti in classe! È molto utile anche come fonte di ispirazione.

Stefano S

utente iOS

Questa applicazione è davvero grande! Ci sono tantissimi appunti e aiuti con lo studio [...]. La mia materia problematica, per esempio, è il francese e l'app ha così tante opzioni per aiutarmi. Grazie a questa app ho migliorato il mio francese. La consiglio a tutti.

Samantha Klich

utente Android

Wow, sono davvero stupita. Ho appena provato l'app perché l'ho vista pubblicizzata molte volte e sono rimasta assolutamente sbalordita. Questa app è L'AIUTO che cercate per la scuola e soprattutto offre tantissime cose, come allenamenti e schede, che a me personalmente sono state MOLTO utili.

Anna

utente iOS

È bellissima questa app, la adoro. È utilissima per lo studio e mi aiuta molto, anzi moltissimo, ma soprattutto mi aiutano molto i quiz, per memorizzare anche quello che non sapevo

Anastasia

utente Android

Fantastica per qualsiasi materia avere gli appunti anche di altre persone è molto utile perchè posso confrontarmi e vedere come migliorarmi. con i quiz riesco ad apprendere al meglio.

Francesca

utente Android

moooolto utile,gli appunti sono belli e funzionanti,schoolGPT da dei consigli formidabili!!

Marianna

utente Android

L'applicazione è semplicemente fantastica! Tutto ciò che devo fare è inserire l'argomento nella barra di ricerca e ottengo la risposta molto velocemente. Non devo guardare 10 video di YouTube per capire qualcosa, quindi risparmio tempo. Consigliatissima!

Sudenaz Ocak

utente Android

A scuola andavo malissimo in matematica, ma grazie a questa applicazione ora vado meglio. Vi sono molto grato per aver creato questa app.

Greenlight Bonnie

utente Android

Knowunity è un applicazione fantastica,considerando che ha degli schemi veramente molto carini e sfiziosi e che ci sono dei quiz,oltre al fatto che questa cosa dell intelligenza artificiale "school gpt" è almeno per me molto utile, perché a differenza di Chatgpt ti da le spiegazioni, ti spiega ciò che non è chiaro! Posso studiare più velocemente tramite gli schemi e che posso pubblicare io stessa gli schemi è una funzione utilissima per gli altri studenti. Knowunity è PERFETTA

Aurora

utente Android

L’app funziona benissimo e puoi trovare qualsiasi tipo di informazione. Non ho l’abbonamento ma la parte gratuita è sufficiente per uno studio approfondito.

Martina

utente iOS

in questi ultimi mesi di scuola dove il tempo è ormai poco, mi sta aiutando molto perché piuttosto che farmi io gli schemi su quello che leggo sul libro guardo questi già fatti e li uso come ripasso piuttosto che rileggermi tutto il libro

Chiara

utente IOS

Questa app è una delle migliori, nient’altro da dire.

Andrea

utente iOS

L'applicazione è molto facile da usare e ben progettata. Finora ho trovato tutto quello che cercavo e ho potuto imparare molto dalle presentazioni! Utilizzerò sicuramente l'app per i compiti in classe! È molto utile anche come fonte di ispirazione.

Stefano S

utente iOS

Questa applicazione è davvero grande! Ci sono tantissimi appunti e aiuti con lo studio [...]. La mia materia problematica, per esempio, è il francese e l'app ha così tante opzioni per aiutarmi. Grazie a questa app ho migliorato il mio francese. La consiglio a tutti.

Samantha Klich

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Wow, sono davvero stupita. Ho appena provato l'app perché l'ho vista pubblicizzata molte volte e sono rimasta assolutamente sbalordita. Questa app è L'AIUTO che cercate per la scuola e soprattutto offre tantissime cose, come allenamenti e schede, che a me personalmente sono state MOLTO utili.

Anna

utente iOS

È bellissima questa app, la adoro. È utilissima per lo studio e mi aiuta molto, anzi moltissimo, ma soprattutto mi aiutano molto i quiz, per memorizzare anche quello che non sapevo

Anastasia

utente Android

Fantastica per qualsiasi materia avere gli appunti anche di altre persone è molto utile perchè posso confrontarmi e vedere come migliorarmi. con i quiz riesco ad apprendere al meglio.

Francesca

utente Android

moooolto utile,gli appunti sono belli e funzionanti,schoolGPT da dei consigli formidabili!!

Marianna

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L'applicazione è semplicemente fantastica! Tutto ciò che devo fare è inserire l'argomento nella barra di ricerca e ottengo la risposta molto velocemente. Non devo guardare 10 video di YouTube per capire qualcosa, quindi risparmio tempo. Consigliatissima!

Sudenaz Ocak

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A scuola andavo malissimo in matematica, ma grazie a questa applicazione ora vado meglio. Vi sono molto grato per aver creato questa app.

Greenlight Bonnie

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Knowunity è un applicazione fantastica,considerando che ha degli schemi veramente molto carini e sfiziosi e che ci sono dei quiz,oltre al fatto che questa cosa dell intelligenza artificiale "school gpt" è almeno per me molto utile, perché a differenza di Chatgpt ti da le spiegazioni, ti spiega ciò che non è chiaro! Posso studiare più velocemente tramite gli schemi e che posso pubblicare io stessa gli schemi è una funzione utilissima per gli altri studenti. Knowunity è PERFETTA

Aurora

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L’app funziona benissimo e puoi trovare qualsiasi tipo di informazione. Non ho l’abbonamento ma la parte gratuita è sufficiente per uno studio approfondito.

Martina

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Chiara

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Questa app è una delle migliori, nient’altro da dire.

Andrea

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I limiti sono uno strumento fondamentale per capire come si comporta una funzione quando la variabile si avvicina a un certo valore. Sapere risolverli ti permetterà di affrontare derivate e integrali con più sicurezza.

# LIMITI - Casi particolari. $lim_{x\rightarrow0^+} \frac{1}{x} = \frac{1}{0^+} =+\infty$ $lim_{x\rightarrow0^-} \frac{1}{x} =-\infty$ $

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Limiti - Casi Particolari e Concetti Base

Quando lavori con i limiti, ci sono alcuni schemi che si ripetono sempre e che devi imparare a memoria. Per la funzione 1/x, ad esempio, quando x si avvicina a 0 da destra ottieni +∞, mentre da sinistra ottieni -∞.

Gli asintoti sono linee che la funzione si avvicina ma non tocca mai. Se il limite tende a un numero fisso, hai un asintoto orizzontale; se tende a ±∞, hai un asintoto verticale.

I limiti notevoli sono formule che devi memorizzare perché ti salveranno in molti esercizi. I più importanti sono: lim(x→0) senx/x = 1 e lim(x→∞) 1+1/x1+1/x^x = e.

Trucco per ricordare: Se il denominatore si annulla, il limite tende a infinito. Se il denominatore è infinito, il limite tende a zero.

Le forme indeterminate come0/0o∞/∞come 0/0 o ∞/∞ richiedono tecniche specifiche per essere risolte - non puoi semplicemente sostituire il valore!

# LIMITI - Casi particolari. $lim_{x\rightarrow0^+} \frac{1}{x} = \frac{1}{0^+} =+\infty$ $lim_{x\rightarrow0^-} \frac{1}{x} =-\infty$ $

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Risoluzione delle Forme Indeterminate

Ogni forma indeterminata ha la sua strategia di risoluzione. Per ∞-∞ con polinomi, raccogli sempre la x di grado massimo - questo ti semplifica tutto.

Quando hai 0/0, prima prova a scomporre e semplificare. Ricorda le identità fondamentali come A²-B² = A−BA-BA+BA+B e usa la formula risolutiva per i trinomi di secondo grado quando necessario.

Per le forme 1^∞, 0^0, ∞^0, usa la tecnica dell'esponenziale: trasforma f(x)f(x)^g(x) in e^(g(x)·ln[f(x)]) e risolvi l'esponente.

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Le funzioni goniometriche richiedono le identità fondamentali: sen²x + cos²x = 1, sen2x = 2senx·cosx, e ricorda che sen(0) = 0 e cos(0) = 1.

# LIMITI - Casi particolari. $lim_{x\rightarrow0^+} \frac{1}{x} = \frac{1}{0^+} =+\infty$ $lim_{x\rightarrow0^-} \frac{1}{x} =-\infty$ $

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Funzioni Esponenziali e Logaritmiche

Le funzioni esponenziali y = a^x si comportano diversamente a seconda della base. Se a > 1, quando x → +∞ la funzione cresce verso +∞, mentre quando x → -∞ tende a 0.

I logaritmi sono l'inverso degli esponenziali. Per a > 1: limx→+∞x→+∞ log_a(x) = +∞ e lim(x→0⁺) log_a(x) = -∞. Questo significa che il logaritmo cresce molto lentamente verso infinito.

Le formule goniometriche per i calcoli includono: sen2x = 2senx·cosx e cos2x = cos²x - sen²x = 1 - 2sen²x. Ricorda anche le proprietà di simmetria: sen−x-x = -senx e cos−x-x = cosx.

Attenzione alle basi: Se 0 < a < 1, i comportamenti si invertono! L'esponenziale decresce invece di crescere.

Per le traslazioni ricorda che senπ+xπ + x = -senx e cosπ+xπ + x = -cosx - queste ti aiutano a semplificare espressioni complesse.

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Che cos'è l'assistente AI di Knowunity?

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Dove posso scaricare l'applicazione Knowunity?

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L'applicazione è molto facile da usare e ben progettata. Finora ho trovato tutto quello che cercavo e ho potuto imparare molto dalle presentazioni! Utilizzerò sicuramente l'app per i compiti in classe! È molto utile anche come fonte di ispirazione.

Stefano S

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Questa applicazione è davvero grande! Ci sono tantissimi appunti e aiuti con lo studio [...]. La mia materia problematica, per esempio, è il francese e l'app ha così tante opzioni per aiutarmi. Grazie a questa app ho migliorato il mio francese. La consiglio a tutti.

Samantha Klich

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Wow, sono davvero stupita. Ho appena provato l'app perché l'ho vista pubblicizzata molte volte e sono rimasta assolutamente sbalordita. Questa app è L'AIUTO che cercate per la scuola e soprattutto offre tantissime cose, come allenamenti e schede, che a me personalmente sono state MOLTO utili.

Anna

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È bellissima questa app, la adoro. È utilissima per lo studio e mi aiuta molto, anzi moltissimo, ma soprattutto mi aiutano molto i quiz, per memorizzare anche quello che non sapevo

Anastasia

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Fantastica per qualsiasi materia avere gli appunti anche di altre persone è molto utile perchè posso confrontarmi e vedere come migliorarmi. con i quiz riesco ad apprendere al meglio.

Francesca

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moooolto utile,gli appunti sono belli e funzionanti,schoolGPT da dei consigli formidabili!!

Marianna

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L'applicazione è semplicemente fantastica! Tutto ciò che devo fare è inserire l'argomento nella barra di ricerca e ottengo la risposta molto velocemente. Non devo guardare 10 video di YouTube per capire qualcosa, quindi risparmio tempo. Consigliatissima!

Sudenaz Ocak

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A scuola andavo malissimo in matematica, ma grazie a questa applicazione ora vado meglio. Vi sono molto grato per aver creato questa app.

Greenlight Bonnie

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Knowunity è un applicazione fantastica,considerando che ha degli schemi veramente molto carini e sfiziosi e che ci sono dei quiz,oltre al fatto che questa cosa dell intelligenza artificiale "school gpt" è almeno per me molto utile, perché a differenza di Chatgpt ti da le spiegazioni, ti spiega ciò che non è chiaro! Posso studiare più velocemente tramite gli schemi e che posso pubblicare io stessa gli schemi è una funzione utilissima per gli altri studenti. Knowunity è PERFETTA

Aurora

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L’app funziona benissimo e puoi trovare qualsiasi tipo di informazione. Non ho l’abbonamento ma la parte gratuita è sufficiente per uno studio approfondito.

Martina

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in questi ultimi mesi di scuola dove il tempo è ormai poco, mi sta aiutando molto perché piuttosto che farmi io gli schemi su quello che leggo sul libro guardo questi già fatti e li uso come ripasso piuttosto che rileggermi tutto il libro

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Questa app è una delle migliori, nient’altro da dire.

Andrea

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L'applicazione è molto facile da usare e ben progettata. Finora ho trovato tutto quello che cercavo e ho potuto imparare molto dalle presentazioni! Utilizzerò sicuramente l'app per i compiti in classe! È molto utile anche come fonte di ispirazione.

Stefano S

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Questa applicazione è davvero grande! Ci sono tantissimi appunti e aiuti con lo studio [...]. La mia materia problematica, per esempio, è il francese e l'app ha così tante opzioni per aiutarmi. Grazie a questa app ho migliorato il mio francese. La consiglio a tutti.

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Wow, sono davvero stupita. Ho appena provato l'app perché l'ho vista pubblicizzata molte volte e sono rimasta assolutamente sbalordita. Questa app è L'AIUTO che cercate per la scuola e soprattutto offre tantissime cose, come allenamenti e schede, che a me personalmente sono state MOLTO utili.

Anna

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È bellissima questa app, la adoro. È utilissima per lo studio e mi aiuta molto, anzi moltissimo, ma soprattutto mi aiutano molto i quiz, per memorizzare anche quello che non sapevo

Anastasia

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Fantastica per qualsiasi materia avere gli appunti anche di altre persone è molto utile perchè posso confrontarmi e vedere come migliorarmi. con i quiz riesco ad apprendere al meglio.

Francesca

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moooolto utile,gli appunti sono belli e funzionanti,schoolGPT da dei consigli formidabili!!

Marianna

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L'applicazione è semplicemente fantastica! Tutto ciò che devo fare è inserire l'argomento nella barra di ricerca e ottengo la risposta molto velocemente. Non devo guardare 10 video di YouTube per capire qualcosa, quindi risparmio tempo. Consigliatissima!

Sudenaz Ocak

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A scuola andavo malissimo in matematica, ma grazie a questa applicazione ora vado meglio. Vi sono molto grato per aver creato questa app.

Greenlight Bonnie

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Knowunity è un applicazione fantastica,considerando che ha degli schemi veramente molto carini e sfiziosi e che ci sono dei quiz,oltre al fatto che questa cosa dell intelligenza artificiale "school gpt" è almeno per me molto utile, perché a differenza di Chatgpt ti da le spiegazioni, ti spiega ciò che non è chiaro! Posso studiare più velocemente tramite gli schemi e che posso pubblicare io stessa gli schemi è una funzione utilissima per gli altri studenti. Knowunity è PERFETTA

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L’app funziona benissimo e puoi trovare qualsiasi tipo di informazione. Non ho l’abbonamento ma la parte gratuita è sufficiente per uno studio approfondito.

Martina

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Questa app è una delle migliori, nient’altro da dire.

Andrea

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