Concetto di Limite e Definizione Formale

Quando calcoliamo $\lim_{x \to c} f(x) = l$, non stiamo sostituendo $c$ al posto di $x$, ma stiamo guardando cosa succede quando $x$ prende valori sempre più vicini a $c$. La funzione potrebbe anche non esistere nel punto $c$!

La definizione formale dice che per ogni epsilon maggiore di zero (un numero piccolo a piacere), deve esistere un intorno del punto $c$ tale che tutti i valori della funzione in quell'intorno si trovino vicini al limite $l$.

💡 Trucco per ricordare: L'intorno è "bucato" perché escludiamo il punto $c$ stesso - ci interessa solo cosa succede "intorno" a quel punto.

Un esempio pratico: $\lim_{x \to 2} (3x - 1) = 5$. Qui dobbiamo dimostrare che prendendo valori di $x$ vicini a 2, otteniamo risultati vicini a 5. Matematicamente: $|3x - 6| < \epsilon$ ci dà $2 - \frac{\epsilon}{3} < x < 2 + \frac{\epsilon}{3}$.

Esempi di Limiti e Teorema di Unicità

Vediamo alcuni esempi concreti per capire meglio. Per $\lim_{x \to 0} 2^x = 1$, dobbiamo trovare un intorno di 0 dove $|2^x - 1| < \epsilon$, che ci porta a $\log_2(1 - \epsilon) < x < \log_2(1 + \epsilon)$.

Un caso interessante è $\lim_{x \to 4} \frac{x - 4}{\sqrt{x} - 2} = 4$. Nota che il punto $x = 4$ non appartiene al dominio della frazione! Razionalizzando otteniamo $|\sqrt{x} - 2| < \epsilon$, quindi $4 - 4\epsilon + \epsilon^2 < x < 4 + 4\epsilon + \epsilon^2$.

💡 Punto chiave: Il teorema di unicità ci assicura che ogni funzione può avere al massimo un limite per ogni punto. Se esistesse un secondo limite diverso, arriveemmo a una contraddizione usando la disuguaglianza triangolare.

La dimostrazione per assurdo è elegante: se esistessero due limiti diversi $l_1$ e $l_2$, la loro distanza $|l_1 - l_2|$ dovrebbe essere sia fissa che più piccola di qualsiasi epsilon, il che è impossibile.

Forme Non Indeterminate e Procedure di Calcolo

Quando il limite non è una forma indeterminata, il calcolo è diretto. Per esempio, $\lim_{x \to 1} x^2 + 2 = 3$ - sostituisci e hai finito!

Per i rapporti $\lim_{x \to x_0} \frac{A(x)}{B(x)}$, se il numeratore tende a un valore $l \neq 0$ e il denominatore tende a zero, il limite sarà $\pm \infty$. Esempio: $\lim_{x \to 2} \frac{x - 3}{(x^2 - 4)^2} = -\infty$.

Se invece il denominatore tende all'infinito mentre il numeratore resta finito, il limite sarà zero. Questo può essere zero positivo o zero negativo a seconda dei segni.

💡 Regola pratica: Quando hai dubbi sul segno, studia separatamente il comportamento del numeratore e denominatore vicino al punto critico.

La situazione si complica con le forme indeterminate, che richiedono tecniche specifiche per essere risolte.

Forme Indeterminate: 0/0 e ∞/∞

Le forme indeterminate sono casi dove le regole normali non funzionano e servono tecniche speciali. La più comune è $\frac{0}{0}$.

Per $\lim_{x \to 0} \frac{x^2 - 5x}{x^2 + 7x} = \frac{0}{0}$, raccogliamo $x$: $\frac{x(x - 5)}{x(x + 7)} = \frac{-5}{7}$. Altro esempio: $\lim_{x \to 1} \frac{x^2 - 1}{x^2 - 3x + 2}$ diventa $\frac{(x-1)(x+1)}{(x-1)(x-2)} = -2$.

La forma $\frac{\infty}{\infty}$ richiede di vedere "chi domina" tra numeratore e denominatore. Per $\lim_{x \to \infty} \frac{x^3 + x + 1}{x + 3}$, il termine $x^3$ domina, quindi il limite è $+\infty$.

💡 Strategia vincente: Nelle forme $\frac{\infty}{\infty}$, raccogli sempre la potenza più alta e semplifica. Se i gradi sono uguali, il limite è il rapporto dei coefficienti principali.

Quando hai radici, ricorda che $\sqrt{x^4} = x^2$ per $x > 0$, come in $\lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{x^4 + x + 1}}{x^3 + 5} = 0^+$.

Altre Forme Indeterminate e Sviluppi di Taylor

Le forme $0 \cdot \infty$ e $\infty - \infty$ sono altrettanto insidiose. Per $0 \cdot \infty$, come in $\lim_{x \to 0} x^2 \ln x^2$, usa la sostituzione $t = \frac{1}{x^2}$ per trasformarla in $\frac{\infty}{\infty}$.

Per $\infty - \infty$, spesso aiuta raccogliere il termine dominante: $\lim_{x \to \infty} x^2 - 2x = \lim_{x \to \infty} x(x - 2) = +\infty$.

Gli sviluppi di Taylor sono fondamentali per i limiti difficili. Memorizza quelli più importanti:

• $\sin t = t - \frac{t^3}{6} + o(t^3)$
• $\cos t = 1 - \frac{t^2}{2} + \frac{t^4}{24} + o(t^4)$
• $e^t = 1 + t + \frac{t^2}{2} + o(t^2)$
• $\ln(1 + t) = t - \frac{t^2}{2} + \frac{t^3}{3} + o(t^3)$

💡 Segreto del successo: Il simbolo $o(t^n)$ indica termini che vanno a zero più velocemente di $t^n$ - sono trascurabili nei calcoli.

Calcolo dei Limiti con Taylor

Il metodo di Taylor è potentissimo per le forme indeterminate complesse. L'idea è sostituire le funzioni con i loro sviluppi e semplificare.

Per $\lim_{x \to 0} \frac{2e^{x^2} - 2 - 2x - x^2}{x - \tan x}$, sostituiamo gli sviluppi: $e^{x^2} \approx 1 + x^2 + \frac{x^4}{2} + o(x^4)$ e $\tan x \approx x + \frac{x^3}{3} + o(x^3)$.

Dopo le sostituzioni otteniamo $\frac{\frac{x^3}{3} + o(x^3)}{-\frac{x^3}{3} + o(x^3)} = -1$.

💡 Trucco fondamentale: Sviluppa sempre fino all'ordine necessario per eliminare gli zeri al numeratore e denominatore. Non esagerare con gli ordini - complichi solo i calcoli!

Un altro esempio: $\lim_{x \to 0} \frac{\ln(1 + x) - x + \frac{x^2}{2}}{\sin x - \arctan x} = 2$. Qui serve sviluppare fino al quarto ordine per vedere i termini che non si annullano.

Il concetto di o piccolo è cruciale: $g(x) = o(f(x))$ significa che $g$ va a zero più velocemente di $f$.

Limiti Notevoli Fondamentali

I limiti notevoli sono forme indeterminate classiche con risultati specifici che devi memorizzare. I due pilastri sono:

$\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$ - questo è il limite goniometrico fondamentale.

Da questo derivano altri limiti utili:

• $\lim_{x \to 0} \frac{\tan x}{x} = 1$ perché $\tan x = \frac{\sin x}{\cos x}$
• $\lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos x}{x^2} = \frac{1}{2}$ (usando la razionalizzazione)

💡 Strategia per gli esercizi: Quando vedi funzioni trigonometriche, cerca sempre di ricondurre tutto ai limiti notevoli. Scomponi, razionalizza, ma arriva sempre ai pattern fondamentali.

Esempio pratico: $\lim_{x \to 0} \frac{2\sin x + 4\tan x}{x\cos x + 2\sin x}$. Dividi tutto per $x$ e usa i limiti notevoli: ottieni $\frac{6}{3} = 2$.

Per $\lim_{x \to 0} \sqrt{\frac{\cos x - \cos^2 x}{2x^2}}$, raccogli $\cos x$ e usa $(1 - \cos x)$: il risultato è $\frac{1}{2}$.

Limiti Notevoli Esponenziali e Logaritmici

Il secondo limite notevole fondamentale è $\lim_{x \to \infty} (1 + \frac{1}{x})^x = e$, la definizione del numero di Eulero.

Da questo derivano tutti i limiti con esponenziali e logaritmi:

• $\lim_{x \to 0} \frac{\ln(1+x)}{x} = 1$
• $\lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{x} = 1$
• $\lim_{x \to 0} \frac{a^x - 1}{x} = \ln a$

La dimostrazione di $\lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{x} = 1$ è elegante: poni $y = e^x - 1$, quindi $x = \ln(1 + y)$, e il limite diventa $\lim_{y \to 0} \frac{y}{\ln(1+y)} = 1$.

💡 Metodo infallibile: Per i limiti con esponenziali e logaritmi, trasforma sempre usando le sostituzioni appropriate per ricondurre ai limiti notevoli base.

Questi limiti sono essenziali per studiare la crescita di funzioni esponenziali e logaritmiche, fondamentali in fisica, economia e informatica. Memorizzali bene perché li userai costantemente!