Insiemi e operazioni di base

Un insieme è un raggruppamento di oggetti ben distinti, concepito come un tutto. È un concetto primitivo che accettiamo come intuitivamente noto, introdotto da George Cantor.

Possiamo rappresentare gli insiemi in diversi modi:

• Per elencazione: A = {1, 2, 3}
• Per caratteristica: A = {x/x ∈ N, 1 ≤ x ≤ 4}
• Con rappresentazione grafica $diagrammi di Eulero-Venn$

Le operazioni principali tra insiemi sono:

• Unione (∪): l'insieme formato dagli elementi che appartengono al primo o al secondo insieme
• Intersezione (∩): l'insieme formato dagli elementi comuni ai due insiemi
• Differenza: l'insieme formato dagli elementi che appartengono al primo insieme ma non al secondo

Lo sapevi? L'insieme complementare è un caso speciale di differenza. Se A è un sottoinsieme di B, allora il complementare di A rispetto a B è B-A, cioè tutti gli elementi di B che non sono in A.

Prodotto cartesiano e partizioni

Il prodotto cartesiano tra due insiemi è l'insieme delle coppie ordinate in cui il primo elemento appartiene al primo insieme e il secondo elemento al secondo. Ricorda che il prodotto cartesiano non è commutativo!

Esempio: se A = {1,2} e B = {a, b, c}, allora:

• A × B = {(1, a), (1, b), (1, c), (2, a), (2, b), (2, c)}
• B × A = {(a, 1), (b, 1), (c, 1), (a, 2), (b, 2), (c, 2)}

L'insieme delle parti di un insieme è formato da tutti i possibili sottoinsiemi dell'insieme dato. Se un insieme ha n elementi, l'insieme delle sue parti avrà 2^n elementi.

Una partizione di un insieme è un gruppo di sottoinsiemi che non sono vuoti, non hanno elementi in comune e insieme formano l'intero insieme iniziale.

Trucco utile: Pensa alla partizione come dividere una torta in fette. Ogni pezzo è una parte, nessun pezzo è vuoto, non ci sono sovrapposizioni, e tutti i pezzi insieme formano la torta intera!

Le relazioni di De Morgan ci mostrano come i complementari dell'unione e dell'intersezione di due insiemi sono collegati all'intersezione e all'unione dei loro complementari.