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Matematica
25 nov 2025
3313
10 pagine
Monika Danese @monikadanese
La goniometria è lo studio delle funzioni trigonometriche e degli angoli - una parte fondamentale della matematica che... Mostra di più
Gli angoli si possono misurare in gradi sessagesimali (come 48°17'26'') o sessadecimali (come 48,2905°). Per convertire da sessagesimali a sessadecimali, dividi i minuti per 60 e i secondi per 3600, poi somma tutto.
Un altro sistema importante sono i radianti, dove l'angolo è il rapporto tra l'arco e il raggio θ = AB/r. La formula di conversione è grad/180° = rad/π.
Le funzioni goniometriche fondamentali sono tre. Il seno è il rapporto tra cateto opposto e ipotenusa, il coseno tra cateto adiacente e ipotenusa, la tangente tra cateto opposto e cateto adiacente.
Ricorda sempre cos²θ + sin²θ = 1, questa è l'identità fondamentale della goniometria!
Tutte e tre hanno periodo 2π (tranne la tangente che ha periodo π) e dominio nei reali, ma immagini diverse seno e coseno vanno da -1 a 1, mentre la tangente copre tutti i reali.
Le funzioni reciproche completano il quadro secante , cosecante e cotangente . Attenzione ai domini - dove le funzioni originali si annullano, quelle reciproche non esistono.
Le funzioni inverse ti permettono di "tornare indietro" dagli angoli. L'arcoseno ha dominio e immagine , l'arcocoseno stesso dominio ma immagine , mentre l'arcotangente ha dominio tutti i reali e immagine ]-π/2, π/2[.
Per le trasformazioni usa la forma y = A sin + k. A modifica l'ampiezza verticale, w quella orizzontale , φ sposta orizzontalmente e k verticalmente.
Trucco utile Quando vedi il valore assoluto di una funzione, rifletti la parte negativa sopra l'asse x!
I casi speciali includono funzioni al quadrato (sempre positive) e sotto radice (esistono solo dove la funzione è positiva).
Le formule di addizione sono cruciali per semplificare espressioni complesse. Per il seno sin(α ± β) = sin α cos β ± cos α sin β. Per il coseno cos(α ± β) = cos α cos β ∓ sin α sin β.
Le formule di duplicazione derivano da quelle di addizione ponendo β = α. Quindi sin 2α = 2 sin α cos α, mentre cos 2α ha tre forme equivalenti cos²α - sin²α, 1 - 2sin²α, oppure 2cos²α - 1.
Le formule di bisezione ti aiutano a calcolare sin(α/2) e cos(α/2) usando ± √. Il segno dipende dal quadrante in cui cade α/2.
Strategia vincente Le formule parametriche con t = tan(α/2) semplificano molti calcoli complessi!
Le formule di prostaferesi trasformano somme in prodotti (utili per le equazioni), mentre quelle di Werner fanno l'opposto. Sono particolarmente utili negli integrali e nelle semplificazioni.
Le equazioni elementari come sin x = 1/2 hanno soluzioni periodiche. Per sin x = 1/2, hai x = π/6 + 2kπ oppure x = 5π/6 + 2kπ, dove k è un intero qualsiasi.
Le equazioni riconducibili si risolvono con sostituzioni. Ad esempio, sin = 1 diventa un'equazione elementare sostituendo u = x - π/6.
Per le equazioni di secondo grado come 2sin²x + 3sin x + 1 = 0, poni sin x = t e risolvi l'equazione algebrica. Poi risolvi le equazioni elementari ottenute.
Attenzione Nelle equazioni con tangente, controlla sempre che cos x ≠ 0!
Le equazioni lineari del tipo sin x + cos x = λ si risolvono con le formule parametriche o elevando al quadrato (attento alle soluzioni spurie!). Il metodo grafico può aiutarti a visualizzare le soluzioni.
Le disequazioni elementari come sin x ≥ 1/2 si risolvono graficamente. Devi trovare gli intervalli dove la funzione soddisfa la condizione. Per sin x ≥ 1/2, la soluzione è π/6 + 2kπ ≤ x ≤ 5π/6 + 2kπ.
Le disequazioni riconducibili seguono lo stesso principio delle equazioni fai la sostituzione, risolvi, poi torna alla variabile originale.
Per le disequazioni di secondo grado, risolvi prima l'equazione associata per trovare gli zeri, poi studia il segno con una tabella. Questo ti dice dove la parabola è positiva o negativa.
Metodo infallibile Disegna sempre il grafico della funzione - ti aiuta a vedere subito gli intervalli soluzione!
Le disequazioni fratte richiedono lo studio del segno di numeratore e denominatore separatamente. Ricorda il denominatore non può mai essere zero, quindi escludi sempre questi valori.
La trigonometria studia le relazioni tra lati e angoli nei triangoli. In un triangolo rettangolo, le definizioni delle funzioni goniometriche diventano concrete sin α = cateto opposto/ipotenusa.
Il primo teorema dice che ogni cateto è uguale all'ipotenusa moltiplicata per il seno dell'angolo opposto (o per il coseno dell'angolo adiacente). Quindi a = c sin α e b = c cos α.
Il secondo teorema collega i cateti tra loro ogni cateto è uguale all'altro cateto moltiplicato per la tangente dell'angolo opposto. Quindi a = b tan α.
Ricorda In un triangolo rettangolo, i due angoli acuti sono sempre complementari (α + β = 90°)!
Queste relazioni sono fondamentali per risolvere i triangoli rettangoli - cioè trovare tutti i lati e angoli quando ne conosci alcuni. Le combinazioni possibili sono due cateti, cateto e ipotenusa, cateto e angolo, ipotenusa e angolo.
Quando conosci due cateti a e b, usi Pitagora per l'ipotenusa c = √. Per gli angoli α = arctan e β = 90° - α.
Con cateto e ipotenusa (a e c), trovi l'angolo con α = arcsin, poi β = 90° - α. L'altro cateto lo calcoli con Pitagora b = √.
Con cateto e angolo acuto (a e α), hai β = 90° - α direttamente. Il secondo cateto è b = a tan β, l'ipotenusa c = √.
Verifica sempre Controlla che α + β = 90° e che c² = a² + b² - è un ottimo modo per evitare errori!
Con ipotenusa e angolo (c e α), calcoli i cateti direttamente a = c sin α e b = c sin β . Questo caso è spesso il più semplice da risolvere.
Il teorema dell'area dice che l'area di qualsiasi triangolo è metà del prodotto di due lati per il seno dell'angolo compreso Area = (1/2) × lato₁ × lato₂ × sin(angolo compreso).
Il teorema della corda stabilisce che una corda è uguale al diametro moltiplicato per il seno di uno degli angoli alla circonferenza AB = 2r sin α.
Da questo deriva la formula per il raggio della circonferenza circoscritta r = a/(2 sin α) = b/(2 sin β) = c/(2 sin γ). Questo raggio è uguale per tutti e tre i lati.
Applicazione pratica Questi teoremi sono essenziali per calcolare distanze e altezze in topografia e ingegneria!
La circonferenza circoscritta passa per tutti e tre i vertici del triangolo, e il suo centro è l'intersezione degli assi dei lati. Il raggio si calcola facilmente con una delle tre formule equivalenti.
Il teorema dei seni è potentissimo in qualsiasi triangolo, il rapporto tra un lato e il seno dell'angolo opposto è costante. Quindi a/sin α = b/sin β = c/sin γ = 2r.
Il teorema del coseno generalizza Pitagora per triangoli non rettangoli a² = b² + c² - 2bc cos α. Quando α = 90°, cos α = 0 e ritrovi Pitagora!
Per triangoli con lato e due angoli noti, usi prima la somma degli angoli (α + β + γ = 180°) per trovare il terzo angolo, poi applichi i seni per trovare gli altri lati.
Strategia chiave Il teorema dei seni è perfetto quando hai angoli, quello del coseno quando hai principalmente lati!
Questi teoremi ti permettono di risolvere qualsiasi triangolo, purché tu abbia almeno tre elementi di cui almeno uno sia un lato. Sono la base per tutta la trigonometria applicata.
Con due lati e angolo compreso (b, c, α), usi il coseno per trovare il terzo lato a = √. Poi riapplichi il coseno per un secondo angolo.
Il caso due lati e angolo opposto (α, a, b) è più complesso. Usi i seni per trovare sin β = (b sin α)/a. Attenzione se sin β ha due soluzioni, potresti avere due triangoli diversi!
Il caso ambiguo si verifica quando 0 < sin β < 1. Hai β₁ acuto e β₂ = 180° - β₁ ottuso. Devi verificare quale(i) è geometricamente possibile considerando le dimensioni relative dei lati.
Controllo essenziale Al lato maggiore è sempre opposto l'angolo maggiore - usa questa regola per eliminare soluzioni impossibili!
Dopo aver trovato tutti gli angoli, calcoli l'ultimo lato con i seni c = (a sin γ)/sin α. Verifica sempre che tutti gli angoli siano positivi e minori di 180°.
Il nostro assistente AI è costruito specificamente per le esigenze degli studenti. Sulla base dei milioni di contenuti presenti sulla piattaforma, possiamo fornire agli studenti risposte davvero significative e pertinenti. Ma non si tratta solo di risposte, l'assistente è in grado di guidare gli studenti attraverso le loro sfide quotidiane di studio, con piani di studio personalizzati, quiz o contenuti nella chat e una personalizzazione al 100% basata sulle competenze e sugli sviluppi degli studenti.
È possibile scaricare l'applicazione dal Google Play Store e dall'Apple App Store.
Sì, hai accesso completamente gratuito a tutti i contenuti nell'app e puoi chattare o seguire i Creatori in qualsiasi momento. Sbloccherai nuove funzioni crescendo il tuo numero di follower. Inoltre, offriamo Knowunity Premium, che consente di studiare senza alcun limite!!
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Strumenti Intelligenti NUOVO
Trasforma questi appunti in: ✓ 50+ Domande di Pratica ✓ Flashcard Interattive ✓ Simulazione Completa d'Esame ✓ Schemi per Saggi
grafici, caratteristiche ed equazioni sulle funzioni esponenziali
MatematicaEsponenziali
Matematicabase degli esponenziali e logaritmi
Matematicanumeri complessi, coordinate polari
Matematicaappunti sui logaritmi e le loro 3 proprietà
MatematicaDisequazioni di secondo grado con spiegazione
MatematicaApp Store
Google Play
L'applicazione è molto facile da usare e ben progettata. Finora ho trovato tutto quello che cercavo e ho potuto imparare molto dalle presentazioni! Utilizzerò sicuramente l'app per i compiti in classe! È molto utile anche come fonte di ispirazione.
Stefano S
utente iOS
Questa applicazione è davvero grande! Ci sono tantissimi appunti e aiuti con lo studio [...]. La mia materia problematica, per esempio, è il francese e l'app ha così tante opzioni per aiutarmi. Grazie a questa app ho migliorato il mio francese. La consiglio a tutti.
Samantha Klich
utente Android
Wow, sono davvero stupita. Ho appena provato l'app perché l'ho vista pubblicizzata molte volte e sono rimasta assolutamente sbalordita. Questa app è L'AIUTO che cercate per la scuola e soprattutto offre tantissime cose, come allenamenti e schede, che a me personalmente sono state MOLTO utili.
Anna
utente iOS
È bellissima questa app, la adoro. È utilissima per lo studio e mi aiuta molto, anzi moltissimo, ma soprattutto mi aiutano molto i quiz, per memorizzare anche quello che non sapevo
Anastasia
utente Android
Fantastica per qualsiasi materia avere gli appunti anche di altre persone è molto utile perchè posso confrontarmi e vedere come migliorarmi. con i quiz riesco ad apprendere al meglio.
Francesca
utente Android
moooolto utile,gli appunti sono belli e funzionanti,schoolGPT da dei consigli formidabili!!
Marianna
utente Android
L'applicazione è semplicemente fantastica! Tutto ciò che devo fare è inserire l'argomento nella barra di ricerca e ottengo la risposta molto velocemente. Non devo guardare 10 video di YouTube per capire qualcosa, quindi risparmio tempo. Consigliatissima!
Sudenaz Ocak
utente Android
A scuola andavo malissimo in matematica, ma grazie a questa applicazione ora vado meglio. Vi sono molto grato per aver creato questa app.
Greenlight Bonnie
utente Android
Knowunity è un applicazione fantastica,considerando che ha degli schemi veramente molto carini e sfiziosi e che ci sono dei quiz,oltre al fatto che questa cosa dell intelligenza artificiale "school gpt" è almeno per me molto utile, perché a differenza di Chatgpt ti da le spiegazioni, ti spiega ciò che non è chiaro! Posso studiare più velocemente tramite gli schemi e che posso pubblicare io stessa gli schemi è una funzione utilissima per gli altri studenti. Knowunity è PERFETTA
Aurora
utente Android
L’app funziona benissimo e puoi trovare qualsiasi tipo di informazione. Non ho l’abbonamento ma la parte gratuita è sufficiente per uno studio approfondito.
Martina
utente iOS
in questi ultimi mesi di scuola dove il tempo è ormai poco, mi sta aiutando molto perché piuttosto che farmi io gli schemi su quello che leggo sul libro guardo questi già fatti e li uso come ripasso piuttosto che rileggermi tutto il libro
Chiara
utente IOS
Questa app è una delle migliori, nient’altro da dire.
Andrea
utente iOS
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Sudenaz Ocak
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Greenlight Bonnie
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Knowunity è un applicazione fantastica,considerando che ha degli schemi veramente molto carini e sfiziosi e che ci sono dei quiz,oltre al fatto che questa cosa dell intelligenza artificiale "school gpt" è almeno per me molto utile, perché a differenza di Chatgpt ti da le spiegazioni, ti spiega ciò che non è chiaro! Posso studiare più velocemente tramite gli schemi e che posso pubblicare io stessa gli schemi è una funzione utilissima per gli altri studenti. Knowunity è PERFETTA
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in questi ultimi mesi di scuola dove il tempo è ormai poco, mi sta aiutando molto perché piuttosto che farmi io gli schemi su quello che leggo sul libro guardo questi già fatti e li uso come ripasso piuttosto che rileggermi tutto il libro
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La goniometria è lo studio delle funzioni trigonometriche e degli angoli - una parte fondamentale della matematica che ti servirà sia per gli esami che per molte applicazioni pratiche. Imparerai a convertire tra diverse unità di misura degli angoli, a... Mostra di più
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Un altro sistema importante sono i radianti, dove l'angolo è il rapporto tra l'arco e il raggio: θ = AB/r. La formula di conversione è: grad/180° = rad/π.
Le funzioni goniometriche fondamentali sono tre. Il seno è il rapporto tra cateto opposto e ipotenusa, il coseno tra cateto adiacente e ipotenusa, la tangente tra cateto opposto e cateto adiacente.
Ricorda sempre: cos²θ + sin²θ = 1, questa è l'identità fondamentale della goniometria!
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Per le trasformazioni usa la forma y = A sin + k. A modifica l'ampiezza verticale, w quella orizzontale , φ sposta orizzontalmente e k verticalmente.
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Le formule di duplicazione derivano da quelle di addizione ponendo β = α. Quindi sin 2α = 2 sin α cos α, mentre cos 2α ha tre forme equivalenti: cos²α - sin²α, 1 - 2sin²α, oppure 2cos²α - 1.
Le formule di bisezione ti aiutano a calcolare sin(α/2) e cos(α/2) usando ± √. Il segno dipende dal quadrante in cui cade α/2.
Strategia vincente: Le formule parametriche con t = tan(α/2) semplificano molti calcoli complessi!
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Le equazioni riconducibili si risolvono con sostituzioni. Ad esempio, sin = 1 diventa un'equazione elementare sostituendo u = x - π/6.
Per le equazioni di secondo grado come 2sin²x + 3sin x + 1 = 0, poni sin x = t e risolvi l'equazione algebrica. Poi risolvi le equazioni elementari ottenute.
Attenzione: Nelle equazioni con tangente, controlla sempre che cos x ≠ 0!
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Le disequazioni riconducibili seguono lo stesso principio delle equazioni: fai la sostituzione, risolvi, poi torna alla variabile originale.
Per le disequazioni di secondo grado, risolvi prima l'equazione associata per trovare gli zeri, poi studia il segno con una tabella. Questo ti dice dove la parabola è positiva o negativa.
Metodo infallibile: Disegna sempre il grafico della funzione - ti aiuta a vedere subito gli intervalli soluzione!
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Il primo teorema dice che ogni cateto è uguale all'ipotenusa moltiplicata per il seno dell'angolo opposto (o per il coseno dell'angolo adiacente). Quindi a = c sin α e b = c cos α.
Il secondo teorema collega i cateti tra loro: ogni cateto è uguale all'altro cateto moltiplicato per la tangente dell'angolo opposto. Quindi a = b tan α.
Ricorda: In un triangolo rettangolo, i due angoli acuti sono sempre complementari (α + β = 90°)!
Queste relazioni sono fondamentali per risolvere i triangoli rettangoli - cioè trovare tutti i lati e angoli quando ne conosci alcuni. Le combinazioni possibili sono: due cateti, cateto e ipotenusa, cateto e angolo, ipotenusa e angolo.
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Quando conosci due cateti a e b, usi Pitagora per l'ipotenusa: c = √. Per gli angoli: α = arctan e β = 90° - α.
Con cateto e ipotenusa (a e c), trovi l'angolo con α = arcsin, poi β = 90° - α. L'altro cateto lo calcoli con Pitagora: b = √.
Con cateto e angolo acuto (a e α), hai β = 90° - α direttamente. Il secondo cateto è b = a tan β, l'ipotenusa c = √.
Verifica sempre: Controlla che α + β = 90° e che c² = a² + b² - è un ottimo modo per evitare errori!
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Il teorema dell'area dice che l'area di qualsiasi triangolo è metà del prodotto di due lati per il seno dell'angolo compreso: Area = (1/2) × lato₁ × lato₂ × sin(angolo compreso).
Il teorema della corda stabilisce che una corda è uguale al diametro moltiplicato per il seno di uno degli angoli alla circonferenza: AB = 2r sin α.
Da questo deriva la formula per il raggio della circonferenza circoscritta: r = a/(2 sin α) = b/(2 sin β) = c/(2 sin γ). Questo raggio è uguale per tutti e tre i lati.
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Il teorema dei seni è potentissimo: in qualsiasi triangolo, il rapporto tra un lato e il seno dell'angolo opposto è costante. Quindi a/sin α = b/sin β = c/sin γ = 2r.
Il teorema del coseno generalizza Pitagora per triangoli non rettangoli: a² = b² + c² - 2bc cos α. Quando α = 90°, cos α = 0 e ritrovi Pitagora!
Per triangoli con lato e due angoli noti, usi prima la somma degli angoli (α + β + γ = 180°) per trovare il terzo angolo, poi applichi i seni per trovare gli altri lati.
Strategia chiave: Il teorema dei seni è perfetto quando hai angoli, quello del coseno quando hai principalmente lati!
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Con due lati e angolo compreso (b, c, α), usi il coseno per trovare il terzo lato: a = √. Poi riapplichi il coseno per un secondo angolo.
Il caso due lati e angolo opposto (α, a, b) è più complesso. Usi i seni per trovare sin β = (b sin α)/a. Attenzione: se sin β ha due soluzioni, potresti avere due triangoli diversi!
Il caso ambiguo si verifica quando 0 < sin β < 1. Hai β₁ acuto e β₂ = 180° - β₁ ottuso. Devi verificare quale(i) è geometricamente possibile considerando le dimensioni relative dei lati.
Controllo essenziale: Al lato maggiore è sempre opposto l'angolo maggiore - usa questa regola per eliminare soluzioni impossibili!
Dopo aver trovato tutti gli angoli, calcoli l'ultimo lato con i seni: c = (a sin γ)/sin α. Verifica sempre che tutti gli angoli siano positivi e minori di 180°.
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Questa applicazione è davvero grande! Ci sono tantissimi appunti e aiuti con lo studio [...]. La mia materia problematica, per esempio, è il francese e l'app ha così tante opzioni per aiutarmi. Grazie a questa app ho migliorato il mio francese. La consiglio a tutti.
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Wow, sono davvero stupita. Ho appena provato l'app perché l'ho vista pubblicizzata molte volte e sono rimasta assolutamente sbalordita. Questa app è L'AIUTO che cercate per la scuola e soprattutto offre tantissime cose, come allenamenti e schede, che a me personalmente sono state MOLTO utili.
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Greenlight Bonnie
utente Android
Knowunity è un applicazione fantastica,considerando che ha degli schemi veramente molto carini e sfiziosi e che ci sono dei quiz,oltre al fatto che questa cosa dell intelligenza artificiale "school gpt" è almeno per me molto utile, perché a differenza di Chatgpt ti da le spiegazioni, ti spiega ciò che non è chiaro! Posso studiare più velocemente tramite gli schemi e che posso pubblicare io stessa gli schemi è una funzione utilissima per gli altri studenti. Knowunity è PERFETTA
Aurora
utente Android
L’app funziona benissimo e puoi trovare qualsiasi tipo di informazione. Non ho l’abbonamento ma la parte gratuita è sufficiente per uno studio approfondito.
Martina
utente iOS
in questi ultimi mesi di scuola dove il tempo è ormai poco, mi sta aiutando molto perché piuttosto che farmi io gli schemi su quello che leggo sul libro guardo questi già fatti e li uso come ripasso piuttosto che rileggermi tutto il libro
Chiara
utente IOS
Questa app è una delle migliori, nient’altro da dire.
Andrea
utente iOS
L'applicazione è molto facile da usare e ben progettata. Finora ho trovato tutto quello che cercavo e ho potuto imparare molto dalle presentazioni! Utilizzerò sicuramente l'app per i compiti in classe! È molto utile anche come fonte di ispirazione.
Stefano S
utente iOS
Questa applicazione è davvero grande! Ci sono tantissimi appunti e aiuti con lo studio [...]. La mia materia problematica, per esempio, è il francese e l'app ha così tante opzioni per aiutarmi. Grazie a questa app ho migliorato il mio francese. La consiglio a tutti.
Samantha Klich
utente Android
Wow, sono davvero stupita. Ho appena provato l'app perché l'ho vista pubblicizzata molte volte e sono rimasta assolutamente sbalordita. Questa app è L'AIUTO che cercate per la scuola e soprattutto offre tantissime cose, come allenamenti e schede, che a me personalmente sono state MOLTO utili.
Anna
utente iOS
È bellissima questa app, la adoro. È utilissima per lo studio e mi aiuta molto, anzi moltissimo, ma soprattutto mi aiutano molto i quiz, per memorizzare anche quello che non sapevo
Anastasia
utente Android
Fantastica per qualsiasi materia avere gli appunti anche di altre persone è molto utile perchè posso confrontarmi e vedere come migliorarmi. con i quiz riesco ad apprendere al meglio.
Francesca
utente Android
moooolto utile,gli appunti sono belli e funzionanti,schoolGPT da dei consigli formidabili!!
Marianna
utente Android
L'applicazione è semplicemente fantastica! Tutto ciò che devo fare è inserire l'argomento nella barra di ricerca e ottengo la risposta molto velocemente. Non devo guardare 10 video di YouTube per capire qualcosa, quindi risparmio tempo. Consigliatissima!
Sudenaz Ocak
utente Android
A scuola andavo malissimo in matematica, ma grazie a questa applicazione ora vado meglio. Vi sono molto grato per aver creato questa app.
Greenlight Bonnie
utente Android
Knowunity è un applicazione fantastica,considerando che ha degli schemi veramente molto carini e sfiziosi e che ci sono dei quiz,oltre al fatto che questa cosa dell intelligenza artificiale "school gpt" è almeno per me molto utile, perché a differenza di Chatgpt ti da le spiegazioni, ti spiega ciò che non è chiaro! Posso studiare più velocemente tramite gli schemi e che posso pubblicare io stessa gli schemi è una funzione utilissima per gli altri studenti. Knowunity è PERFETTA
Aurora
utente Android
L’app funziona benissimo e puoi trovare qualsiasi tipo di informazione. Non ho l’abbonamento ma la parte gratuita è sufficiente per uno studio approfondito.
Martina
utente iOS
in questi ultimi mesi di scuola dove il tempo è ormai poco, mi sta aiutando molto perché piuttosto che farmi io gli schemi su quello che leggo sul libro guardo questi già fatti e li uso come ripasso piuttosto che rileggermi tutto il libro
Chiara
utente IOS
Questa app è una delle migliori, nient’altro da dire.
Andrea
utente iOS
