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VALERIO
30/11/2025
Matematica
Gli insiemi
13.854
•
30 nov 2025
•
VALERIO
@valerio.dn
Gli insiemi sono come scatole che contengono elementi con caratteristiche... Mostra di più
Immagina di dover organizzare la tua collezione di giochi: un insieme è proprio questo, una raccolta di elementi distinti che hanno qualcosa in comune. Per esempio, "tutti i videogiochi di avventura che possiedi" è un insieme perfetto!
La regola d'oro è che deve esistere un criterio oggettivo per decidere se qualcosa fa parte dell'insieme oppure no. "I pianeti del sistema solare" funziona perché è chiaro e preciso, mentre "i film più belli di sempre" no, perché dipende dai gusti personali.
Un insieme può essere finito (come i giorni della settimana), infinito (come tutti i numeri pari) o vuoto (come l'insieme degli unicorni veri). Per indicarli usiamo lettere maiuscole (A, B, C) mentre per gli elementi usiamo quelle minuscole (a, b, c).
Ricorda: Se non riesci a decidere con certezza se un elemento appartiene o no, allora non è un vero insieme matematico!
Ci sono tre modi fighi per rappresentare gli insiemi, proprio come puoi descrivere i tuoi amici in modi diversi! Il simbolo ∈ significa "appartiene a" mentre ∉ significa "non appartiene a".
La rappresentazione tabulare è la più semplice: elenchi tutti gli elementi tra parentesi graffe. Per esempio A = {aprile, giugno, settembre, novembre} per i mesi con 30 giorni.
La rappresentazione per proprietà caratteristica usa una formula speciale. A = {x ∈ N | x è un numero primo minore di 10} significa "tutti i numeri naturali x tali che x è primo e minore di 10". Il simbolo | si legge "tale che".
Trucco: La rappresentazione tabulare è perfetta per insiemi piccoli, quella per proprietà per insiemi grandi o infiniti!
I diagrammi di Eulero-Venn sono come disegnare cerchi o forme chiuse per contenere gli elementi degli insiemi. È il metodo più visivo e divertente!
Puoi immaginare ogni insieme come una bolla che contiene i suoi elementi. Per esempio, se hai l'insieme delle vocali di "Mario", disegni un cerchio con dentro le lettere a, i, o.
Questo metodo è fantastico perché rende tutto più chiaro visivamente. Quando dovrai fare operazioni tra insiemi, questi diagrammi diventeranno i tuoi migliori amici!
Consiglio: Usa sempre i diagrammi quando gli esercizi diventano complicati - vedere gli insiemi ti aiuta a capire meglio!
Un sottoinsieme è come un gruppo più piccolo dentro uno più grande. Se tutti gli elementi di B sono anche in A, allora B ⊆ A (B è sottoinsieme di A).
Pensa ai tuoi giochi per PlayStation: se hai tutti i giochi FIFA degli ultimi 5 anni, questo gruppo è un sottoinsieme di tutti i tuoi giochi PlayStation. Ogni elemento del primo gruppo appartiene anche al secondo!
Il simbolo ⊆ si può leggere in tre modi: "B è sottoinsieme di A", "B è incluso in A" o "B è contenuto in A". Sono tutti modi corretti per dire la stessa cosa.
Esempio pratico: I numeri pari sono un sottoinsieme dei numeri naturali, perché ogni numero pari è anche un numero naturale!
Due insiemi sono uguali quando contengono esattamente gli stessi elementi, anche se scritti in ordine diverso. È come avere due playlist identiche con le stesse canzoni!
L'inclusione stretta (B ⊂ A) è più specifica: tutti gli elementi di B sono in A, ma A ha anche altri elementi che B non ha. È come dire che i pastori tedeschi sono strettamente inclusi nei cani.
La differenza è importante: se A = B, allora sono identici. Se B ⊂ A, allora B è più piccolo di A. I numeri pari sono strettamente inclusi nei numeri naturali perché esistono numeri naturali (come 1, 3, 5) che non sono pari.
Ricorda: Uguali = identici, inclusione stretta = uno è più piccolo dell'altro!
Ogni insieme ha sempre due sottoinsiemi impropri speciali: se stesso e l'insieme vuoto (∅). È una regola matematica che vale sempre, come il fatto che ogni numero è divisibile per 1!
L'insieme vuoto è sottoinsieme di qualsiasi insieme perché non ha elementi che possano "disturbare". È come dire che una scatola vuota può stare dentro qualsiasi scatola più grande.
I sottoinsiemi propri sono tutti gli altri: non vuoti e strettamente inclusi nell'insieme originale. Sono i sottoinsiemi più interessanti perché contengono davvero una parte dell'insieme principale.
Memo: Ogni insieme ha sempre almeno 2 sottoinsiemi impropri (se stesso e l'insieme vuoto)!
L'intersezione (A ∩ B) è l'insieme degli elementi che appartengono sia ad A che a B. È come trovare gli amici in comune tra te e il tuo migliore amico!
Se gli insiemi hanno elementi in comune, l'intersezione li contiene tutti. Se uno è sottoinsieme dell'altro, l'intersezione è uguale al più piccolo. Se non hanno nulla in comune, si chiamano insiemi disgiunti e la loro intersezione è vuota (∅).
Per esempio, se A sono le lettere di "camion" e B quelle di "cane", l'intersezione A ∩ B = {c, a, n} perché sono le lettere presenti in entrambe le parole.
Trucco visivo: Nei diagrammi di Venn, l'intersezione è la parte dove i cerchi si sovrappongono!
Quando un insieme è completamente contenuto nell'altro, l'intersezione è uguale all'insieme più piccolo. È come se il gruppo più piccolo fosse completamente "assorbito" da quello più grande.
Se prendiamo le lettere di "Francesco" e quelle di "fresco", vediamo che tutte le lettere di "fresco" sono presenti anche in "Francesco". Quindi la loro intersezione è proprio l'insieme delle lettere di "fresco".
Quando due insiemi non hanno elementi in comune, li chiamiamo insiemi disgiunti e scriviamo A ∩ B = ∅. È come confrontare le lettere di "Marco" con quelle di "penne": non hanno niente in comune!
Osservazione: Se due insiemi sono disgiunti, la loro intersezione è sempre l'insieme vuoto!
L'unione (A ∪ B) è l'insieme di tutti gli elementi che appartengono ad A o a B. È come mettere insieme due collezioni, ma senza duplicati!
La regola importante è che se gli insiemi hanno elementi in comune, questi si considerano una sola volta nell'unione. Non puoi avere copie duplicate dello stesso elemento.
Riprendendo l'esempio delle lettere di "camion" e "cane": A ∪ B = {c, a, n, m, i, o, e}. Le lettere c, a, n che erano presenti in entrambi compaiono una sola volta nel risultato.
Analogia: L'unione è come unire due gruppi WhatsApp: le persone presenti in entrambi non vengono duplicate!
Quando un insieme è sottoinsieme dell'altro, l'unione è uguale all'insieme più grande. È logico: se tutto B è già contenuto in A, unirli non aggiunge nulla di nuovo ad A.
Con "Francesco" e "fresco", siccome tutte le lettere di "fresco" sono già in "Francesco", l'unione A ∪ B è semplicemente uguale alle lettere di "Francesco".
Per insiemi disgiunti come "Marco" e "penne", l'unione contiene tutti gli elementi di entrambi: A ∪ B = {m, a, r, c, o, p, e, n}. Nessuna sovrapposizione, quindi si sommano tutti!
Schema utile: Sottoinsieme → unione = il più grande; Disgiunti → unione = tutti insieme; Sovrapposti → unione = tutti meno i duplicati!
Il nostro assistente AI è costruito specificamente per le esigenze degli studenti. Sulla base dei milioni di contenuti presenti sulla piattaforma, possiamo fornire agli studenti risposte davvero significative e pertinenti. Ma non si tratta solo di risposte, l'assistente è in grado di guidare gli studenti attraverso le loro sfide quotidiane di studio, con piani di studio personalizzati, quiz o contenuti nella chat e una personalizzazione al 100% basata sulle competenze e sugli sviluppi degli studenti.
È possibile scaricare l'applicazione dal Google Play Store e dall'Apple App Store.
Sì, hai accesso completamente gratuito a tutti i contenuti nell'app e puoi chattare o seguire i Creatori in qualsiasi momento. Sbloccherai nuove funzioni crescendo il tuo numero di follower. Inoltre, offriamo Knowunity Premium, che consente di studiare senza alcun limite!!
App Store
Google Play
L'applicazione è molto facile da usare e ben progettata. Finora ho trovato tutto quello che cercavo e ho potuto imparare molto dalle presentazioni! Utilizzerò sicuramente l'app per i compiti in classe! È molto utile anche come fonte di ispirazione.
Stefano S
utente iOS
Questa applicazione è davvero grande! Ci sono tantissimi appunti e aiuti con lo studio [...]. La mia materia problematica, per esempio, è il francese e l'app ha così tante opzioni per aiutarmi. Grazie a questa app ho migliorato il mio francese. La consiglio a tutti.
Samantha Klich
utente Android
Wow, sono davvero stupita. Ho appena provato l'app perché l'ho vista pubblicizzata molte volte e sono rimasta assolutamente sbalordita. Questa app è L'AIUTO che cercate per la scuola e soprattutto offre tantissime cose, come allenamenti e schede, che a me personalmente sono state MOLTO utili.
Anna
utente iOS
È bellissima questa app, la adoro. È utilissima per lo studio e mi aiuta molto, anzi moltissimo, ma soprattutto mi aiutano molto i quiz, per memorizzare anche quello che non sapevo
Anastasia
utente Android
Fantastica per qualsiasi materia avere gli appunti anche di altre persone è molto utile perchè posso confrontarmi e vedere come migliorarmi. con i quiz riesco ad apprendere al meglio.
Francesca
utente Android
moooolto utile,gli appunti sono belli e funzionanti,schoolGPT da dei consigli formidabili!!
Marianna
utente Android
L'applicazione è semplicemente fantastica! Tutto ciò che devo fare è inserire l'argomento nella barra di ricerca e ottengo la risposta molto velocemente. Non devo guardare 10 video di YouTube per capire qualcosa, quindi risparmio tempo. Consigliatissima!
Sudenaz Ocak
utente Android
A scuola andavo malissimo in matematica, ma grazie a questa applicazione ora vado meglio. Vi sono molto grato per aver creato questa app.
Greenlight Bonnie
utente Android
Knowunity è un applicazione fantastica,considerando che ha degli schemi veramente molto carini e sfiziosi e che ci sono dei quiz,oltre al fatto che questa cosa dell intelligenza artificiale "school gpt" è almeno per me molto utile, perché a differenza di Chatgpt ti da le spiegazioni, ti spiega ciò che non è chiaro! Posso studiare più velocemente tramite gli schemi e che posso pubblicare io stessa gli schemi è una funzione utilissima per gli altri studenti. Knowunity è PERFETTA
Aurora
utente Android
L’app funziona benissimo e puoi trovare qualsiasi tipo di informazione. Non ho l’abbonamento ma la parte gratuita è sufficiente per uno studio approfondito.
Martina
utente iOS
in questi ultimi mesi di scuola dove il tempo è ormai poco, mi sta aiutando molto perché piuttosto che farmi io gli schemi su quello che leggo sul libro guardo questi già fatti e li uso come ripasso piuttosto che rileggermi tutto il libro
Chiara
utente IOS
Questa app è una delle migliori, nient’altro da dire.
Andrea
utente iOS
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Stefano S
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Questa applicazione è davvero grande! Ci sono tantissimi appunti e aiuti con lo studio [...]. La mia materia problematica, per esempio, è il francese e l'app ha così tante opzioni per aiutarmi. Grazie a questa app ho migliorato il mio francese. La consiglio a tutti.
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Sudenaz Ocak
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A scuola andavo malissimo in matematica, ma grazie a questa applicazione ora vado meglio. Vi sono molto grato per aver creato questa app.
Greenlight Bonnie
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Martina
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in questi ultimi mesi di scuola dove il tempo è ormai poco, mi sta aiutando molto perché piuttosto che farmi io gli schemi su quello che leggo sul libro guardo questi già fatti e li uso come ripasso piuttosto che rileggermi tutto il libro
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Questa app è una delle migliori, nient’altro da dire.
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VALERIO
@valerio.dn
Gli insiemi sono come scatole che contengono elementi con caratteristiche comuni - pensaci come alle playlist musicali o ai gruppi WhatsApp! La cosa più importante è che deve esserci sempre un criterio oggettivo per decidere se qualcosa appartiene o no... Mostra di più
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La regola d'oro è che deve esistere un criterio oggettivo per decidere se qualcosa fa parte dell'insieme oppure no. "I pianeti del sistema solare" funziona perché è chiaro e preciso, mentre "i film più belli di sempre" no, perché dipende dai gusti personali.
Un insieme può essere finito (come i giorni della settimana), infinito (come tutti i numeri pari) o vuoto (come l'insieme degli unicorni veri). Per indicarli usiamo lettere maiuscole (A, B, C) mentre per gli elementi usiamo quelle minuscole (a, b, c).
Ricorda: Se non riesci a decidere con certezza se un elemento appartiene o no, allora non è un vero insieme matematico!
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La rappresentazione per proprietà caratteristica usa una formula speciale. A = {x ∈ N | x è un numero primo minore di 10} significa "tutti i numeri naturali x tali che x è primo e minore di 10". Il simbolo | si legge "tale che".
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Un sottoinsieme è come un gruppo più piccolo dentro uno più grande. Se tutti gli elementi di B sono anche in A, allora B ⊆ A (B è sottoinsieme di A).
Pensa ai tuoi giochi per PlayStation: se hai tutti i giochi FIFA degli ultimi 5 anni, questo gruppo è un sottoinsieme di tutti i tuoi giochi PlayStation. Ogni elemento del primo gruppo appartiene anche al secondo!
Il simbolo ⊆ si può leggere in tre modi: "B è sottoinsieme di A", "B è incluso in A" o "B è contenuto in A". Sono tutti modi corretti per dire la stessa cosa.
Esempio pratico: I numeri pari sono un sottoinsieme dei numeri naturali, perché ogni numero pari è anche un numero naturale!
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La differenza è importante: se A = B, allora sono identici. Se B ⊂ A, allora B è più piccolo di A. I numeri pari sono strettamente inclusi nei numeri naturali perché esistono numeri naturali (come 1, 3, 5) che non sono pari.
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Per esempio, se A sono le lettere di "camion" e B quelle di "cane", l'intersezione A ∩ B = {c, a, n} perché sono le lettere presenti in entrambe le parole.
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Se prendiamo le lettere di "Francesco" e quelle di "fresco", vediamo che tutte le lettere di "fresco" sono presenti anche in "Francesco". Quindi la loro intersezione è proprio l'insieme delle lettere di "fresco".
Quando due insiemi non hanno elementi in comune, li chiamiamo insiemi disgiunti e scriviamo A ∩ B = ∅. È come confrontare le lettere di "Marco" con quelle di "penne": non hanno niente in comune!
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Riprendendo l'esempio delle lettere di "camion" e "cane": A ∪ B = {c, a, n, m, i, o, e}. Le lettere c, a, n che erano presenti in entrambi compaiono una sola volta nel risultato.
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Quando un insieme è sottoinsieme dell'altro, l'unione è uguale all'insieme più grande. È logico: se tutto B è già contenuto in A, unirli non aggiunge nulla di nuovo ad A.
Con "Francesco" e "fresco", siccome tutte le lettere di "fresco" sono già in "Francesco", l'unione A ∪ B è semplicemente uguale alle lettere di "Francesco".
Per insiemi disgiunti come "Marco" e "penne", l'unione contiene tutti gli elementi di entrambi: A ∪ B = {m, a, r, c, o, p, e, n}. Nessuna sovrapposizione, quindi si sommano tutti!
Schema utile: Sottoinsieme → unione = il più grande; Disgiunti → unione = tutti insieme; Sovrapposti → unione = tutti meno i duplicati!
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Trasforma questi appunti in: ✓ 50+ Domande di Pratica ✓ Flashcard Interattive ✓ Simulazione Completa d'Esame ✓ Schemi per Saggi
In questa sintesi ci sono tutto ciò che riguarda gli insiemi con esempi e come indicarli.
MatematicaAppunti sugli insiemi
MatematicaSignoficato di insieme-sottoinsieme-inclusione stretta etc..
Matematicaregole sugli insiemi
MatematicaMappa per capire gli insiemi in matematica
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L'applicazione è molto facile da usare e ben progettata. Finora ho trovato tutto quello che cercavo e ho potuto imparare molto dalle presentazioni! Utilizzerò sicuramente l'app per i compiti in classe! È molto utile anche come fonte di ispirazione.
Stefano S
utente iOS
Questa applicazione è davvero grande! Ci sono tantissimi appunti e aiuti con lo studio [...]. La mia materia problematica, per esempio, è il francese e l'app ha così tante opzioni per aiutarmi. Grazie a questa app ho migliorato il mio francese. La consiglio a tutti.
Samantha Klich
utente Android
Wow, sono davvero stupita. Ho appena provato l'app perché l'ho vista pubblicizzata molte volte e sono rimasta assolutamente sbalordita. Questa app è L'AIUTO che cercate per la scuola e soprattutto offre tantissime cose, come allenamenti e schede, che a me personalmente sono state MOLTO utili.
Anna
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È bellissima questa app, la adoro. È utilissima per lo studio e mi aiuta molto, anzi moltissimo, ma soprattutto mi aiutano molto i quiz, per memorizzare anche quello che non sapevo
Anastasia
utente Android
Fantastica per qualsiasi materia avere gli appunti anche di altre persone è molto utile perchè posso confrontarmi e vedere come migliorarmi. con i quiz riesco ad apprendere al meglio.
Francesca
utente Android
moooolto utile,gli appunti sono belli e funzionanti,schoolGPT da dei consigli formidabili!!
Marianna
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L'applicazione è semplicemente fantastica! Tutto ciò che devo fare è inserire l'argomento nella barra di ricerca e ottengo la risposta molto velocemente. Non devo guardare 10 video di YouTube per capire qualcosa, quindi risparmio tempo. Consigliatissima!
Sudenaz Ocak
utente Android
A scuola andavo malissimo in matematica, ma grazie a questa applicazione ora vado meglio. Vi sono molto grato per aver creato questa app.
Greenlight Bonnie
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Knowunity è un applicazione fantastica,considerando che ha degli schemi veramente molto carini e sfiziosi e che ci sono dei quiz,oltre al fatto che questa cosa dell intelligenza artificiale "school gpt" è almeno per me molto utile, perché a differenza di Chatgpt ti da le spiegazioni, ti spiega ciò che non è chiaro! Posso studiare più velocemente tramite gli schemi e che posso pubblicare io stessa gli schemi è una funzione utilissima per gli altri studenti. Knowunity è PERFETTA
Aurora
utente Android
L’app funziona benissimo e puoi trovare qualsiasi tipo di informazione. Non ho l’abbonamento ma la parte gratuita è sufficiente per uno studio approfondito.
Martina
utente iOS
in questi ultimi mesi di scuola dove il tempo è ormai poco, mi sta aiutando molto perché piuttosto che farmi io gli schemi su quello che leggo sul libro guardo questi già fatti e li uso come ripasso piuttosto che rileggermi tutto il libro
Chiara
utente IOS
Questa app è una delle migliori, nient’altro da dire.
Andrea
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Samantha Klich
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Wow, sono davvero stupita. Ho appena provato l'app perché l'ho vista pubblicizzata molte volte e sono rimasta assolutamente sbalordita. Questa app è L'AIUTO che cercate per la scuola e soprattutto offre tantissime cose, come allenamenti e schede, che a me personalmente sono state MOLTO utili.
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Anastasia
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Francesca
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Sudenaz Ocak
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A scuola andavo malissimo in matematica, ma grazie a questa applicazione ora vado meglio. Vi sono molto grato per aver creato questa app.
Greenlight Bonnie
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Knowunity è un applicazione fantastica,considerando che ha degli schemi veramente molto carini e sfiziosi e che ci sono dei quiz,oltre al fatto che questa cosa dell intelligenza artificiale "school gpt" è almeno per me molto utile, perché a differenza di Chatgpt ti da le spiegazioni, ti spiega ciò che non è chiaro! Posso studiare più velocemente tramite gli schemi e che posso pubblicare io stessa gli schemi è una funzione utilissima per gli altri studenti. Knowunity è PERFETTA
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Andrea
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