Introduzione alla Geometria Analitica

Punti e Segmenti nel Piano Cartesiano

Hai presente quando giochi a battaglia navale? Il piano cartesiano funziona allo stesso modo! È diviso da due assi: quello delle ascisse $x$ orizzontale e quello delle ordinate $y$ verticale. Il punto dove si incontrano si chiama origine.

Il piano è diviso in quattro quadranti e ogni punto si indica con una coppia di coordinate (x;y). È come dare l'indirizzo esatto di dove si trova il punto!

Per calcolare la distanza tra due punti, hai tre situazioni diverse. Se hanno la stessa x, usi |y₂-y₁|. Se hanno la stessa y, usi |x₂-x₁|. Per tutti gli altri casi, applichi il teorema di Pitagora: d = √$(x₂-x₁)² + (y₂-y₁)²$.

Trucco utile: Ricorda sempre di fare la radice quadrata della somma dei quadrati delle differenze!

Punto Medio e Rette

Il punto medio tra due punti è semplicissimo da trovare: fai la media delle x e la media delle y. La formula è M = $(x₁+x₂)/2; (y₁+y₂)/2$. È come trovare il centro esatto tra due luoghi!

Le rette si possono scrivere in due modi principali. La forma esplicita y = mx + q è la più usata: m è il coefficiente angolare (quanto è inclinata la retta) e q è dove la retta incontra l'asse y.

La forma implicita ax + by + c = 0 è più generale e rappresenta tutte le rette possibili. Le rette speciali da ricordare sono: l'asse x $y = 0$, l'asse y $x = 0$ e le bisettrici $y = x e y = -x$.

Attenzione: La forma esplicita non può rappresentare le rette verticali (parallele all'asse y)!

Relazioni tra Rette e Distanze

Due rette sono parallele quando hanno lo stesso coefficiente angolare $m₁ = m₂$. Sono perpendicolari quando il prodotto dei loro coefficienti angolari vale -1 $m₁ · m₂ = -1$.

Il coefficiente angolare si calcola come m = $y₂-y₁$/$x₂-x₁$, che rappresenta quanto sale la retta rispetto a quanto avanza. Se è zero, la retta è orizzontale; se non esiste (denominatore zero), è verticale.

I fasci di rette sono gruppi di rette che passano tutte per lo stesso punto. La formula y = m$x - xc$ + yc ti dà tutte le rette che passano per il centro C, cambiando solo il valore di m.

Per la distanza punto-retta, usi la formula d = |ax₀ + by₀ + c|/√$a² + b²$, dove la retta è in forma implicita. Questa distanza è sempre positiva!

Ricorda: Per le rette perpendicolari, se una ha pendenza m, l'altra avrà pendenza -1/m!