Le equazioni della retta

Ci sono tre modi principali per scrivere l'equazione di una retta, e ognuno ha i suoi vantaggi. La forma esplicita y = mx + q è la più usata perché ti fa vedere subito quanto è inclinata la retta.

Il coefficiente angolare m ti dice se la retta sale (m > 0) o scende (m < 0). Più m è grande, più la retta è ripida. Il termine q indica dove la retta attraversa l'asse y.

Per disegnare una retta basta trovare due punti: scegli due valori di x, calcola le corrispondenti y, e unisci i punti. Ad esempio, per y = 3x - 1, se x = 0 allora y = -1, se x = 1 allora y = 2.

Ricorda: Per disegnare qualsiasi retta bastano sempre solo due punti!

Trovare l'equazione di una retta

Quando conosci due punti A e B, puoi trovare l'equazione della retta che li unisce. Prima calcoli il coefficiente angolare con la formula m = $y₂ - y₁$/$x₂ - x₁$, poi usi l'equazione del fascio y - y₀ = m$x - x₀$.

Le rette parallele hanno lo stesso coefficiente angolare $mr = ms$. Le rette perpendicolari hanno coefficienti angolari che moltiplicati danno -1 $mr · ms = -1$.

Per trovare dove si intersecano due rette, metti a sistema le loro equazioni e risolvi. Per verificare se un punto appartiene a una retta, sostituisci le sue coordinate nell'equazione: se ottieni un'uguaglianza vera, il punto ci sta!

La distanza di un punto da una retta si calcola con formule specifiche che dipendono dalla forma dell'equazione della retta.

Trucco: Se due rette sono perpendicolari, i loro coefficienti angolari sono "opposti e capovolti"!

Bisettrici, assi e angoli tra rette

La bisettrice di un angolo formato da due rette è il luogo dei punti equidistanti dalle due rette. Per trovarla, usi la proprietà che tutti i suoi punti hanno la stessa distanza da entrambe le rette.

L'asse di un segmento è la retta perpendicolare al segmento che passa per il suo punto medio. Per costruirlo: trova il punto medio, calcola il coefficiente angolare del segmento, prendi quello perpendicolare, e scrivi l'equazione.

Per calcolare l'angolo tra due rette usi la formula della tangente: tg α = |mr - ms|/$1 + mr·ms$. Tre punti sono allineati se hanno lo stesso coefficiente angolare o se l'area del triangolo che formano è zero.

Importante: L'asse di un segmento è sempre perpendicolare al segmento stesso!

I fasci di rette

Un fascio di rette è un insieme di rette che hanno qualcosa in comune. Il fascio proprio contiene tutte le rette che passano per uno stesso punto (il centro), mentre il fascio improprio contiene tutte le rette parallele.

Riconosci un fascio dalla presenza di un parametro (come k, t, m) nell'equazione. Se il coefficiente angolare dipende dal parametro, è un fascio proprio; se il parametro si semplifica, è improprio.

Le rette generatrici sono le due rette che "generano" tutto il fascio. Per trovarle, raccogli il parametro a fattor comune: ottieni due equazioni che rappresentano le generatrici.

Per trovare il centro di un fascio proprio, metti a sistema due rette del fascio e risolvi: le soluzioni sono le coordinate del centro.

Da ricordare: Ogni fascio è sempre generato da due rette, che possono essere parallele o incidenti!