Matematica

Funzioni Logaritmiche ed Esponenziali

funzione logaritmica

Matematica2,167 visualizzazioni·Aggiornato May 13, 2026·8 pagine

Esplora le Funzioni Logaritmiche

Prince@prince07_tbun

I logaritmi sono uno strumento matematico fondamentale che ti permetterà... Mostra di più

1 / 8

of 8

# Funzioni logaritmiche

- I LOGARITMI E LE LORO PRORPIETA

Dati due numeri reali positivi aeb (con a>0 e a≠1, b>0), si chiama “LOGARITMO
in

I logaritmi e le loro proprietà

Immagina di dover trovare a che potenza elevare il numero 2 per ottenere 8. Ecco dove entrano in gioco i logaritmi! Il logaritmo in base a del numero b $scritto $log_ab$$ è semplicemente l'esponente che devi dare alla base a per ottenere b.

La formula fondamentale è: $x = log_ab ⟺ a^x = b$ . Questo significa che logaritmo ed esponenziale sono operazioni inverse tra loro.

Per calcolare un logaritmo, devi controllare se l'argomento è una potenza della base. Se sì, il risultato è razionale $come $log_5 5 = 1$$ . Se no, avrai bisogno della calcolatrice per un valore approssimato.

💡 Trucco veloce: Ricorda sempre che $log_a 1 = 0$ e $log_a a = 1$ per qualsiasi base valida!

Le proprietà più importanti sono: il logaritmo di 1 è sempre 0, il logaritmo della base è sempre 1, e puoi scrivere qualsiasi numero come logaritmo o come potenza usando le formule inverse.

of 8

Teoremi fondamentali dei logaritmi

Questi teoremi sono i tuoi migliori alleati per semplificare espressioni complesse! Il teorema del prodotto dice che $log_a(bc) = log_ab + log_ac$ : il logaritmo di una moltiplicazione diventa una somma.

Il teorema della potenza trasforma $log_a(b^c) = c \cdot log_ab$ : puoi "tirare fuori" l'esponente come moltiplicatore. Questo è incredibilmente utile per semplificare calcoli complicati.

Il teorema del quoziente funziona come il prodotto ma al contrario: $log_a(\frac{b}{c}) = log_ab - log_ac$ . Una divisione dentro il logaritmo diventa una sottrazione.

⚠️ Attenzione: Questi teoremi funzionano solo quando tutti i numeri coinvolti sono positivi e la base è diversa da 1!

Da questi derivano due conseguenze pratiche: il logaritmo di un reciproco è l'opposto $log_a \frac{1}{b} = -log_ab$ e il logaritmo di una radice diventa una frazione $log_a \sqrt[n]{b} = \frac{1}{n} log_ab$ .

of 8

Cambiamento di base e funzioni logaritmiche

La tua calcolatrice calcola solo logaritmi in base 10 (decimali) e base e (naturali), ma tu potresti averne bisogno in altre basi. Niente panico! Usa la formula del cambiamento di base: $log_a b = \frac{log_c b}{log_c a}$ .

Questa formula ti permette di convertire qualsiasi logaritmo in uno che la calcolatrice può risolvere. Per esempio, $log_3 7 = \frac{log_{10} 7}{log_{10} 3}$ .

Due proprietà interessanti emergono da questa formula: scambiando base e argomento ottieni il reciproco, mentre usando basi reciproche ottieni risultati opposti.

🎯 Nota bene: Le funzioni logaritmiche sono l'inverso delle funzioni esponenziali, con dominio $]0; +∞[$ e codominio $ℝ$ .

La funzione logaritmica elementare ha equazione $y = log_a x$ dove la base deve essere positiva e diversa da 1. È fondamentalmente l'opposto della funzione esponenziale!

of 8

Grafici delle funzioni logaritmiche (a > 1)

I grafici logaritmici hanno caratteristiche uniche che li rendono facilmente riconoscibili. Sono sempre simmetrici ai grafici esponenziali rispetto alla bisettrice del primo e terzo quadrante.

Quando a > 1, la funzione è strettamente crescente. Tutti i grafici passano per il punto (1,0) perché qualsiasi $log_a 1 = 0$ . La curva non tocca mai l'asse y, creando un asintoto verticale.

Man mano che x si avvicina a 0, il logaritmo tende a $-∞$ . Questo crea quel caratteristico "tuffo" verso il basso che vedi sempre nei grafici logaritmici.

📊 Regola pratica: Se x > 1 allora $log_a x > 0$ ; se x = 1 allora $log_a x = 0$ ; se 0 < x < 1 allora $log_a x < 0$ .

La crescita logaritmica è più lenta rispetto a quella lineare: aumenti grandi di x producono aumenti piccoli di y.

of 8

Grafici delle funzioni logaritmiche (0 < a < 1)

Quando 0 < a < 1, tutto si ribalta! La funzione diventa strettamente decrescente: valori maggiori di x producono valori minori di y.

L'asintoto verticale ora punta verso $+∞$ invece che verso $-∞$ . Questo significa che quando x si avvicina a 0, $log_a x$ tende a $+∞$ .

I segni si invertono rispetto al caso precedente: se x < 1 allora $log_a x > 0$ ; se x > 1 allora $log_a x < 0$ . Il punto (1,0) rimane sempre fisso.

🔄 Curiosità: Due funzioni logaritmiche con basi reciproche hanno grafici simmetrici rispetto all'asse x!

Sia nel caso crescente che decrescente, la funzione logaritmica è sempre monotona (mai né crescente né decrescente nello stesso intervallo). Questo garantisce che $log_a x_1 = log_a x_2$ solo se $x_1 = x_2$ .

of 8

Espressioni ed equazioni logaritmiche semplici

Le espressioni logaritmiche sono sequenze di operazioni che risolvi usando le proprietà dei logaritmi. Il trucco è trasformare somme e sottrazioni in prodotti e quozienti usando i teoremi.

Per le equazioni logaritmiche nella forma $log_a x = b$ , la soluzione è semplicemente $x = a^b$ . Ricorda sempre di verificare che x > 0!

Quando hai $log_a f(x) = b$ , risolvi $f(x) = a^b$ ma imponi la condizione di esistenza $f(x) > 0$ . Questa condizione è cruciale: se la soluzione non la rispetta, va scartata.

⚠️ Attenzione: Verifica sempre che le soluzioni rispettino le condizioni di esistenza prima di considerarle valide!

Per equazioni con più logaritmi, usa le proprietà per ridurre tutto alla forma $log_a f(x) = log_a g(x)$ , che equivale a $f(x) = g(x)$ . Poi controlla sempre le condizioni di esistenza.

of 8

Equazioni logaritmiche complesse

Quando l'equazione ha più logaritmi, segui un metodo preciso. Prima poni le condizioni di esistenza per tutti gli argomenti, poi usa le proprietà dei logaritmi per semplificare.

L'obiettivo è sempre ricondurre l'equazione a $log_a f(x) = b$ oppure $log_a f(x) = log_a g(x)$ . Nel secondo caso, puoi "eliminare" i logaritmi ottenendo $f(x) = g(x)$ .

Alcune equazioni logaritmiche non si possono risolvere algebricamente, specialmente quando l'incognita compare sia dentro che fuori dal logaritmo. In questi casi usi metodi grafici.

🎯 Strategia vincente: Le soluzioni grafiche corrispondono ai punti di intersezione tra i grafici dei due membri dell'equazione.

Puoi anche usare i logaritmi per risolvere equazioni esponenziali del tipo $a^{f(x)} = b^{g(x)}$ . Applichi il logaritmo a entrambi i membri e sfrutti la proprietà $log(c^d) = d \log c$ .

of 8

Tecniche avanzate e applicazioni

Le equazioni esponenziali complesse diventano gestibili con i logaritmi. Quando hai $a^{f(x)} = b^{g(x)}$ con basi diverse, applica il logaritmo naturale a entrambi i membri.

Usa la proprietà del logaritmo di una potenza per "tirare giù" gli esponenti: $f(x) \ln a = g(x) \ln b$ . Ora hai un'equazione lineare nell'incognita!

A volte conviene riscrivere l'equazione prima di applicare i logaritmi. Per esempio, se hai potenze della stessa base, raccoglile per semplificare i calcoli.

💪 Trucco da pro: Prima di usare i logaritmi, controlla sempre se puoi semplificare l'equazione riducendo tutto alla stessa base.

Le soluzioni grafiche sono particolarmente utili quando l'algebra diventa troppo complicata. Trasforma l'equazione in $f(x) = g(x)$ e trova dove si intersecano i due grafici: quelle x sono le tue soluzioni!

Pensavamo che non l'avreste mai chiesto....

Che cos'è l'assistente AI di Knowunity?

Il nostro assistente AI è costruito specificamente per le esigenze degli studenti. Sulla base dei milioni di contenuti presenti sulla piattaforma, possiamo fornire agli studenti risposte davvero significative e pertinenti. Ma non si tratta solo di risposte, l'assistente è in grado di guidare gli studenti attraverso le loro sfide quotidiane di studio, con piani di studio personalizzati, quiz o contenuti nella chat e una personalizzazione al 100% basata sulle competenze e sugli sviluppi degli studenti.

Dove posso scaricare l'applicazione Knowunity?

È possibile scaricare l'applicazione dal Google Play Store e dall'Apple App Store.

Knowunity è davvero gratuita?

Sì, hai accesso completamente gratuito a tutti i contenuti nell'app e puoi chattare o seguire i Creatori in qualsiasi momento. Sbloccherai nuove funzioni crescendo il tuo numero di follower. Inoltre, offriamo Knowunity Premium, che consente di studiare senza alcun limite!!

I logaritmi e le loro proprietà

Teoremi fondamentali dei logaritmi

Cambiamento di base e funzioni logaritmiche

Grafici delle funzioni logaritmiche (a > 1)

Grafici delle funzioni logaritmiche (0 < a < 1)

Espressioni ed equazioni logaritmiche semplici

Equazioni logaritmiche complesse

Tecniche avanzate e applicazioni

Pensavamo che non l'avreste mai chiesto....

Che cos'è l'assistente AI di Knowunity?

Dove posso scaricare l'applicazione Knowunity?

Knowunity è davvero gratuita?

Contenuti simili

I logaritmi

Equazioni e disequazioni esponenziali

I logaritmi e le equazioni e disequazioni logaritmiche

Equazioni logaritmiche

Gli esponenziali

I logaritmi

Contenuti più popolari: funzione logaritmica

Energia idroelettrica

Contenuti più popolari di Matematica

ecco un breve test per verificare le tue conoscenze sul teorema di Pitagora

Fondamenti del Teorema di Pitagora

I RADICALI

Operazioni e prodotti notevoli

Derivate

i criteri di divisibilità

Piano cartesiano e retta

Funzioni esponenziali, equazioni esponenziali, disequazioni esponenziali e grafici esponenziali

GEOMETRIA ANALITICA

Contenuti più popolari

Riassunto patente B

Teoria patente b

I promessi sposi

Teoria patente di guida B: Segnali stradali

PATENTE

promessi sposi (capitoli 1-18)

Sintesi finale di Analisi logica

I promessi sposi

Programma di italiano per la maturità

Non c'è niente di adatto? Esplorare altre aree tematiche.

Recensioni dei nostri utenti. Ci adorano - e anche tu, vedrai .

Iscriviti per mostrare il contenuto. È gratis!

I logaritmi e le loro proprietà

Iscriviti per mostrare il contenuto. È gratis!

Teoremi fondamentali dei logaritmi

Iscriviti per mostrare il contenuto. È gratis!

Cambiamento di base e funzioni logaritmiche

Iscriviti per mostrare il contenuto. È gratis!

Grafici delle funzioni logaritmiche (a > 1)

Iscriviti per mostrare il contenuto. È gratis!

Grafici delle funzioni logaritmiche (0 < a < 1)

Iscriviti per mostrare il contenuto. È gratis!

Espressioni ed equazioni logaritmiche semplici

Iscriviti per mostrare il contenuto. È gratis!

Equazioni logaritmiche complesse

Iscriviti per mostrare il contenuto. È gratis!

Tecniche avanzate e applicazioni

Pensavamo che non l'avreste mai chiesto....

Che cos'è l'assistente AI di Knowunity?

Dove posso scaricare l'applicazione Knowunity?

Knowunity è davvero gratuita?

Contenuti simili

I logaritmi

Equazioni e disequazioni esponenziali

I logaritmi e le equazioni e disequazioni logaritmiche

Equazioni logaritmiche

Gli esponenziali

I logaritmi

Contenuti più popolari: funzione logaritmica

Energia idroelettrica

Contenuti più popolari di Matematica

ecco un breve test per verificare le tue conoscenze sul teorema di Pitagora

Fondamenti del Teorema di Pitagora

I RADICALI

Operazioni e prodotti notevoli

Derivate

i criteri di divisibilità

Piano cartesiano e retta