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Matematica

26 nov 2025

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I logaritmi sono uno strumento matematico fondamentale che ti permetterà di risolvere equazioni che sembrano impossibili! Pensa ai... Mostra di più

Funzioni logaritmiche
I LOGARITMI E LE LORO PRORPIETA
Dati due numeri reali positivi a e b (con a>0 e a#1, b>0), si chiama "LOGARITMO
in bas

I logaritmi e le loro proprietà

Immagina di dover trovare a che potenza elevare il numero 2 per ottenere 8. Ecco dove entrano in gioco i logaritmi! Il logaritmo in base a del numero b $scritto $log_ab$$ è semplicemente l'esponente che devi dare alla base a per ottenere b.

La formula fondamentale è $x = log_ab ⟺ a^x = b$ . Questo significa che logaritmo ed esponenziale sono operazioni inverse tra loro.

Per calcolare un logaritmo, devi controllare se l'argomento è una potenza della base. Se sì, il risultato è razionale $come $log_5 5 = 1$$ . Se no, avrai bisogno della calcolatrice per un valore approssimato.

💡 Trucco veloce Ricorda sempre che $log_a 1 = 0$ e $log_a a = 1$ per qualsiasi base valida!

Le proprietà più importanti sono il logaritmo di 1 è sempre 0, il logaritmo della base è sempre 1, e puoi scrivere qualsiasi numero come logaritmo o come potenza usando le formule inverse.

Teoremi fondamentali dei logaritmi

Questi teoremi sono i tuoi migliori alleati per semplificare espressioni complesse! Il teorema del prodotto dice che $log_a(bc) = log_ab + log_ac$ il logaritmo di una moltiplicazione diventa una somma.

Il teorema della potenza trasforma $log_a(b^c) = c \cdot log_ab$ puoi "tirare fuori" l'esponente come moltiplicatore. Questo è incredibilmente utile per semplificare calcoli complicati.

Il teorema del quoziente funziona come il prodotto ma al contrario $log_a(\frac{b}{c}) = log_ab - log_ac$ . Una divisione dentro il logaritmo diventa una sottrazione.

⚠️ Attenzione Questi teoremi funzionano solo quando tutti i numeri coinvolti sono positivi e la base è diversa da 1!

Da questi derivano due conseguenze pratiche il logaritmo di un reciproco è l'opposto $log_a \frac{1}{b} = -log_ab$ e il logaritmo di una radice diventa una frazione $log_a \sqrt[n]{b} = \frac{1}{n} log_ab$ .

Cambiamento di base e funzioni logaritmiche

La tua calcolatrice calcola solo logaritmi in base 10 (decimali) e base e (naturali), ma tu potresti averne bisogno in altre basi. Niente panico! Usa la formula del cambiamento di base $log_a b = \frac{log_c b}{log_c a}$ .

Questa formula ti permette di convertire qualsiasi logaritmo in uno che la calcolatrice può risolvere. Per esempio, $log_3 7 = \frac{log_{10} 7}{log_{10} 3}$ .

Due proprietà interessanti emergono da questa formula scambiando base e argomento ottieni il reciproco, mentre usando basi reciproche ottieni risultati opposti.

🎯 Nota bene Le funzioni logaritmiche sono l'inverso delle funzioni esponenziali, con dominio $]0; +∞[$ e codominio $ℝ$ .

La funzione logaritmica elementare ha equazione $y = log_a x$ dove la base deve essere positiva e diversa da 1. È fondamentalmente l'opposto della funzione esponenziale!

Grafici delle funzioni logaritmiche (a > 1)

I grafici logaritmici hanno caratteristiche uniche che li rendono facilmente riconoscibili. Sono sempre simmetrici ai grafici esponenziali rispetto alla bisettrice del primo e terzo quadrante.

Quando a > 1, la funzione è strettamente crescente. Tutti i grafici passano per il punto (1,0) perché qualsiasi $log_a 1 = 0$ . La curva non tocca mai l'asse y, creando un asintoto verticale.

Man mano che x si avvicina a 0, il logaritmo tende a $-∞$ . Questo crea quel caratteristico "tuffo" verso il basso che vedi sempre nei grafici logaritmici.

📊 Regola pratica Se x > 1 allora $log_a x > 0$ ; se x = 1 allora $log_a x = 0$ ; se 0 < x < 1 allora $log_a x < 0$ .

La crescita logaritmica è più lenta rispetto a quella lineare aumenti grandi di x producono aumenti piccoli di y.

Grafici delle funzioni logaritmiche (0 < a < 1)

Quando 0 < a < 1, tutto si ribalta! La funzione diventa strettamente decrescente valori maggiori di x producono valori minori di y.

L'asintoto verticale ora punta verso $+∞$ invece che verso $-∞$ . Questo significa che quando x si avvicina a 0, $log_a x$ tende a $+∞$ .

I segni si invertono rispetto al caso precedente se x < 1 allora $log_a x > 0$ ; se x > 1 allora $log_a x < 0$ . Il punto (1,0) rimane sempre fisso.

🔄 Curiosità Due funzioni logaritmiche con basi reciproche hanno grafici simmetrici rispetto all'asse x!

Sia nel caso crescente che decrescente, la funzione logaritmica è sempre monotona (mai né crescente né decrescente nello stesso intervallo). Questo garantisce che $log_a x_1 = log_a x_2$ solo se $x_1 = x_2$ .

Espressioni ed equazioni logaritmiche semplici

Le espressioni logaritmiche sono sequenze di operazioni che risolvi usando le proprietà dei logaritmi. Il trucco è trasformare somme e sottrazioni in prodotti e quozienti usando i teoremi.

Per le equazioni logaritmiche nella forma $log_a x = b$ , la soluzione è semplicemente $x = a^b$ . Ricorda sempre di verificare che x > 0!

Quando hai $log_a f(x) = b$ , risolvi $f(x) = a^b$ ma imponi la condizione di esistenza $f(x) > 0$ . Questa condizione è cruciale se la soluzione non la rispetta, va scartata.

⚠️ Attenzione Verifica sempre che le soluzioni rispettino le condizioni di esistenza prima di considerarle valide!

Per equazioni con più logaritmi, usa le proprietà per ridurre tutto alla forma $log_a f(x) = log_a g(x)$ , che equivale a $f(x) = g(x)$ . Poi controlla sempre le condizioni di esistenza.

Equazioni logaritmiche complesse

Quando l'equazione ha più logaritmi, segui un metodo preciso. Prima poni le condizioni di esistenza per tutti gli argomenti, poi usa le proprietà dei logaritmi per semplificare.

L'obiettivo è sempre ricondurre l'equazione a $log_a f(x) = b$ oppure $log_a f(x) = log_a g(x)$ . Nel secondo caso, puoi "eliminare" i logaritmi ottenendo $f(x) = g(x)$ .

Alcune equazioni logaritmiche non si possono risolvere algebricamente, specialmente quando l'incognita compare sia dentro che fuori dal logaritmo. In questi casi usi metodi grafici.

🎯 Strategia vincente Le soluzioni grafiche corrispondono ai punti di intersezione tra i grafici dei due membri dell'equazione.

Puoi anche usare i logaritmi per risolvere equazioni esponenziali del tipo $a^{f(x)} = b^{g(x)}$ . Applichi il logaritmo a entrambi i membri e sfrutti la proprietà $log(c^d) = d \log c$ .

Tecniche avanzate e applicazioni

Le equazioni esponenziali complesse diventano gestibili con i logaritmi. Quando hai $a^{f(x)} = b^{g(x)}$ con basi diverse, applica il logaritmo naturale a entrambi i membri.

Usa la proprietà del logaritmo di una potenza per "tirare giù" gli esponenti $f(x) \ln a = g(x) \ln b$ . Ora hai un'equazione lineare nell'incognita!

A volte conviene riscrivere l'equazione prima di applicare i logaritmi. Per esempio, se hai potenze della stessa base, raccoglile per semplificare i calcoli.

💪 Trucco da pro Prima di usare i logaritmi, controlla sempre se puoi semplificare l'equazione riducendo tutto alla stessa base.

Le soluzioni grafiche sono particolarmente utili quando l'algebra diventa troppo complicata. Trasforma l'equazione in $f(x) = g(x)$ e trova dove si intersecano i due grafici quelle x sono le tue soluzioni!

Pensavamo che non l'avreste mai chiesto....

Che cos'è l'assistente AI di Knowunity?

Il nostro assistente AI è costruito specificamente per le esigenze degli studenti. Sulla base dei milioni di contenuti presenti sulla piattaforma, possiamo fornire agli studenti risposte davvero significative e pertinenti. Ma non si tratta solo di risposte, l'assistente è in grado di guidare gli studenti attraverso le loro sfide quotidiane di studio, con piani di studio personalizzati, quiz o contenuti nella chat e una personalizzazione al 100% basata sulle competenze e sugli sviluppi degli studenti.

Dove posso scaricare l'applicazione Knowunity?

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L'applicazione è molto facile da usare e ben progettata. Finora ho trovato tutto quello che cercavo e ho potuto imparare molto dalle presentazioni! Utilizzerò sicuramente l'app per i compiti in classe! È molto utile anche come fonte di ispirazione.

Stefano S

utente iOS

Questa applicazione è davvero grande! Ci sono tantissimi appunti e aiuti con lo studio [...]. La mia materia problematica, per esempio, è il francese e l'app ha così tante opzioni per aiutarmi. Grazie a questa app ho migliorato il mio francese. La consiglio a tutti.

Samantha Klich

utente Android

Wow, sono davvero stupita. Ho appena provato l'app perché l'ho vista pubblicizzata molte volte e sono rimasta assolutamente sbalordita. Questa app è L'AIUTO che cercate per la scuola e soprattutto offre tantissime cose, come allenamenti e schede, che a me personalmente sono state MOLTO utili.

Anna

utente iOS

È bellissima questa app, la adoro. È utilissima per lo studio e mi aiuta molto, anzi moltissimo, ma soprattutto mi aiutano molto i quiz, per memorizzare anche quello che non sapevo

Anastasia

utente Android

Fantastica per qualsiasi materia avere gli appunti anche di altre persone è molto utile perchè posso confrontarmi e vedere come migliorarmi. con i quiz riesco ad apprendere al meglio.

Francesca

utente Android

moooolto utile,gli appunti sono belli e funzionanti,schoolGPT da dei consigli formidabili!!

Marianna

utente Android

L'applicazione è semplicemente fantastica! Tutto ciò che devo fare è inserire l'argomento nella barra di ricerca e ottengo la risposta molto velocemente. Non devo guardare 10 video di YouTube per capire qualcosa, quindi risparmio tempo. Consigliatissima!

Sudenaz Ocak

utente Android

A scuola andavo malissimo in matematica, ma grazie a questa applicazione ora vado meglio. Vi sono molto grato per aver creato questa app.

Greenlight Bonnie

utente Android

Knowunity è un applicazione fantastica,considerando che ha degli schemi veramente molto carini e sfiziosi e che ci sono dei quiz,oltre al fatto che questa cosa dell intelligenza artificiale "school gpt" è almeno per me molto utile, perché a differenza di Chatgpt ti da le spiegazioni, ti spiega ciò che non è chiaro! Posso studiare più velocemente tramite gli schemi e che posso pubblicare io stessa gli schemi è una funzione utilissima per gli altri studenti. Knowunity è PERFETTA

Aurora

utente Android

L’app funziona benissimo e puoi trovare qualsiasi tipo di informazione. Non ho l’abbonamento ma la parte gratuita è sufficiente per uno studio approfondito.

Martina

utente iOS

in questi ultimi mesi di scuola dove il tempo è ormai poco, mi sta aiutando molto perché piuttosto che farmi io gli schemi su quello che leggo sul libro guardo questi già fatti e li uso come ripasso piuttosto che rileggermi tutto il libro

Chiara

utente IOS

Questa app è una delle migliori, nient’altro da dire.

Andrea

utente iOS

Stefano S

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Samantha Klich

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È bellissima questa app, la adoro. È utilissima per lo studio e mi aiuta molto, anzi moltissimo, ma soprattutto mi aiutano molto i quiz, per memorizzare anche quello che non sapevo

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Francesca

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Sudenaz Ocak

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A scuola andavo malissimo in matematica, ma grazie a questa applicazione ora vado meglio. Vi sono molto grato per aver creato questa app.

Greenlight Bonnie

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Prince

@prince07_tbun

I logaritmi sono uno strumento matematico fondamentale che ti permetterà di risolvere equazioni che sembrano impossibili! Pensa ai logaritmi come al "contrario" delle potenze: mentre con una potenza parti dalla base e arrivi al risultato, con il logaritmo fai il... Mostra di più

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I logaritmi e le loro proprietà

La formula fondamentale è: $x = log_ab ⟺ a^x = b$ . Questo significa che logaritmo ed esponenziale sono operazioni inverse tra loro.

💡 Trucco veloce: Ricorda sempre che $log_a 1 = 0$ e $log_a a = 1$ per qualsiasi base valida!

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Da questi derivano due conseguenze pratiche: il logaritmo di un reciproco è l'opposto $log_a \frac{1}{b} = -log_ab$ e il logaritmo di una radice diventa una frazione $log_a \sqrt[n]{b} = \frac{1}{n} log_ab$ .

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🎯 Nota bene: Le funzioni logaritmiche sono l'inverso delle funzioni esponenziali, con dominio $]0; +∞[$ e codominio $ℝ$ .

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Quando hai $log_a f(x) = b$ , risolvi $f(x) = a^b$ ma imponi la condizione di esistenza $f(x) > 0$ . Questa condizione è cruciale: se la soluzione non la rispetta, va scartata.

⚠️ Attenzione: Verifica sempre che le soluzioni rispettino le condizioni di esistenza prima di considerarle valide!

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