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Matematica

Relazioni e funzioni

Esponenziali e logaritmi

Proprietà dei logaritmi

Matematica

9 dic 2025

7957

7 pagine

Risolvi Equazioni e Disequazioni Esponenziali con Semplicità

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Le equazioni e disequazioni esponenziali sono uno degli argomenti più importanti dell'analisi matematica. Imparare a risolverle ti darà... Mostra di più

EQUAZIONI E DISEQUAZIONI
ESPONENZIALI
EQUAZIONI
ax
b
Regola generale: a* = b ⇒ loga(b) = x
Condizioni
b≤0
a = 1; b
1
a = 1; b = 1
a> 0; a =

Equazioni Esponenziali Le Basi

Quando ti trovi davanti a un'equazione esponenziale del tipo $a^x = b$ , la prima cosa da fare è controllare le condizioni di esistenza. Se $b ≤ 0$ non ci sono soluzioni reali, mentre se $a = 1$ e $b ≠ 1$ l'equazione è impossibile.

La regola fondamentale è $a^x = b \implies \log_a(b) = x$ . Questo significa che l'esponente $x$ è uguale al logaritmo in base $a$ di $b$ .

Il primo metodo di risoluzione è il più semplice quando riesci a riscrivere entrambi i membri con la stessa base, puoi eguagliare direttamente gli esponenti. Ad esempio, $8^x = 16$ diventa $2^{3x} = 2^4$ , quindi $3x = 4$ e $x = \frac{4}{3}$ .

Ricorda Prima di tutto cerca sempre di esprimere i numeri come potenze della stessa base - questo ti semplifica enormemente la vita!

I Tre Metodi di Risoluzione

Il secondo metodo si applica quando gli esponenti sono identici puoi semplicemente porre l'esponente uguale a zero. Nell'esempio $2^{x+5} = 9^{x+5}$ , ottieni direttamente $x + 5 = 0$ , quindi $x = -5$ .

Il terzo metodo usa i logaritmi quando hai basi ed esponenti completamente diversi. Prendiamo $(3)^{121x} = 8$ dividi per 3, ottieni $121^x = \frac{8}{3}$ , poi applichi il logaritmo naturale a entrambi i membri.

L'operazione diventa $\ln(121^x) = \ln(\frac{8}{3})$ , che grazie alle proprietà dei logaritmi si trasforma in $x\ln(121) = \ln(\frac{8}{3})$ . Infine isoli $x = \frac{\ln(\frac{8}{3})}{\ln(121)}$ .

Trucco Ricordati sempre delle proprietà delle potenze e della possibilità di usare un'incognita ausiliaria per semplificare i calcoli!

Esempi Pratici con Incognita Ausiliaria

Negli esercizi più complessi, l'incognita ausiliaria diventa il tuo migliore alleato. Quando vedi espressioni come $3^x + \frac{1}{2} - 3^x = 9(\sqrt{3} - 1)$ , metti $3^x$ in evidenza e semplifica.

Nel terzo esempio, $3^x - 3^{x-2} + 3^{x+1} = 35$ , puoi riscrivere tutto in funzione di $3^x$ e poi sostituire $3^x = y$ . L'equazione diventa $35y = 315$ , quindi $y = 9$ .

Tornando alla variabile originale $3^x = 9 = 3^2$ , quindi $x = 2$ . Questa tecnica trasforma equazioni esponenziali complesse in semplici equazioni algebriche.

Strategia vincente Quando vedi la stessa base con esponenti diversi, prova sempre l'incognita ausiliaria - spesso trasforma un problema difficile in uno facilissimo!

Equazioni di Secondo Grado e Logaritmi

L'ultimo esempio mostra come l'incognita ausiliaria può portarti a un'equazione di secondo grado. Partendo da $(9)^{2^{2x+1}} - 9^2 - 4^{2x} = 0$ e ponendo $4^x = y$ , ottieni $y^2 - 18y + 81 = 0$ .

Il discriminante è zero $\Delta = 324 - 324 = 0$ , quindi hai una soluzione doppia $y = 9$ . Questo significa $4^x = 9$ .

Siccome non puoi esprimere 4 e 9 con la stessa base, usi i logaritmi $2^{2x} = 3^2$ diventa $2x\ln(2) = 2\ln(3)$ . La soluzione finale è $x = \frac{\ln(3)}{\ln(2)} = \log_2(3)$ .

Nota importante Quando le basi sono completamente diverse (come 2 e 3), i logaritmi sono l'unica strada percorribile!

Disequazioni Esponenziali Cambia il Verso!

Le disequazioni esponenziali seguono regole simili alle equazioni, ma con una differenza cruciale devi prestare attenzione al verso della disequazione. La regola base è $a^x \geq b \implies \log_a(b) \geq x$ .

Se $a > 1$ , la funzione esponenziale è crescente, quindi $a^x > b$ implica $x > \log_a(b)$ . Ma se $0 < a < 1$ , la funzione è decrescente e il verso si inverte $a^x > b$ implica $x < \log_a(b)$ .

Le condizioni di esistenza rimangono sempre $a > 0$ , $a ≠ 1$ e $b > 0$ . Senza queste condizioni, la disequazione non ha senso matematico.

Attenzione Il verso della disequazione cambia quando la base è compresa tra 0 e 1 - questo è l'errore più comune!

Esempi di Disequazioni con Incognita Ausiliaria

Nel primo esempio, $3^{2x} - 5(3^x) + 6 < 0$ , poni $3^x = y$ per ottenere $y^2 - 5y + 6 < 0$ . Le soluzioni dell'equazione associata sono $y_1 = 3$ e $y_2 = 2$ .

Studiando il segno della parabola, la disequazione è verificata per $2 < y < 3$ , cioè $2 < 3^x < 3$ . Tornando alla variabile $x$ $3^x = 2$ dà $x = \log_3(2)$ e $3^x = 3$ dà $x = 1$ .

La soluzione finale è $\log_3(2) < x < 1$ . Come vedi, l'incognita ausiliaria trasforma anche le disequazioni esponenziali complesse in problemi di secondo grado.

Metodo infallibile Usa sempre l'incognita ausiliaria quando vedi potenze della stessa base con esponenti diversi!

Disequazioni Complesse e Logaritmi

Gli ultimi esempi mostrano disequazioni molto articolate. Nel secondo caso, dopo aver semplificato con le proprietà delle potenze, arrivi a $3^{2x+\frac{1}{5}} \leq 9 = 3^2$ .

Siccome la base 3 è maggiore di 1, puoi mantenere il verso $2x + \frac{1}{5} \leq 2$ , quindi $x \leq \frac{9}{10}$ .

Il terzo esempio richiede l'uso dei logaritmi fin dall'inizio. Quando hai frazioni con basi diverse come $\frac{7^{x-2} \cdot 3^{1+x}}{5^{2-x}} > 11$ , applichi il logaritmo a entrambi i membri e usi le proprietà $\ln(ab) = \ln(a) + \ln(b)$ .

Strategia avanzata Nei casi più complessi, non aver paura di applicare subito i logaritmi - spesso semplificano tutto il lavoro!

Pensavamo che non l'avreste mai chiesto....

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Il nostro assistente AI è costruito specificamente per le esigenze degli studenti. Sulla base dei milioni di contenuti presenti sulla piattaforma, possiamo fornire agli studenti risposte davvero significative e pertinenti. Ma non si tratta solo di risposte, l'assistente è in grado di guidare gli studenti attraverso le loro sfide quotidiane di studio, con piani di studio personalizzati, quiz o contenuti nella chat e una personalizzazione al 100% basata sulle competenze e sugli sviluppi degli studenti.

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L'applicazione è molto facile da usare e ben progettata. Finora ho trovato tutto quello che cercavo e ho potuto imparare molto dalle presentazioni! Utilizzerò sicuramente l'app per i compiti in classe! È molto utile anche come fonte di ispirazione.

Stefano S

utente iOS

Questa applicazione è davvero grande! Ci sono tantissimi appunti e aiuti con lo studio [...]. La mia materia problematica, per esempio, è il francese e l'app ha così tante opzioni per aiutarmi. Grazie a questa app ho migliorato il mio francese. La consiglio a tutti.

Samantha Klich

utente Android

Wow, sono davvero stupita. Ho appena provato l'app perché l'ho vista pubblicizzata molte volte e sono rimasta assolutamente sbalordita. Questa app è L'AIUTO che cercate per la scuola e soprattutto offre tantissime cose, come allenamenti e schede, che a me personalmente sono state MOLTO utili.

Anna

utente iOS

È bellissima questa app, la adoro. È utilissima per lo studio e mi aiuta molto, anzi moltissimo, ma soprattutto mi aiutano molto i quiz, per memorizzare anche quello che non sapevo

Anastasia

utente Android

Fantastica per qualsiasi materia avere gli appunti anche di altre persone è molto utile perchè posso confrontarmi e vedere come migliorarmi. con i quiz riesco ad apprendere al meglio.

Francesca

utente Android

moooolto utile,gli appunti sono belli e funzionanti,schoolGPT da dei consigli formidabili!!

Marianna

utente Android

L'applicazione è semplicemente fantastica! Tutto ciò che devo fare è inserire l'argomento nella barra di ricerca e ottengo la risposta molto velocemente. Non devo guardare 10 video di YouTube per capire qualcosa, quindi risparmio tempo. Consigliatissima!

Sudenaz Ocak

utente Android

A scuola andavo malissimo in matematica, ma grazie a questa applicazione ora vado meglio. Vi sono molto grato per aver creato questa app.

Greenlight Bonnie

utente Android

Knowunity è un applicazione fantastica,considerando che ha degli schemi veramente molto carini e sfiziosi e che ci sono dei quiz,oltre al fatto che questa cosa dell intelligenza artificiale "school gpt" è almeno per me molto utile, perché a differenza di Chatgpt ti da le spiegazioni, ti spiega ciò che non è chiaro! Posso studiare più velocemente tramite gli schemi e che posso pubblicare io stessa gli schemi è una funzione utilissima per gli altri studenti. Knowunity è PERFETTA

Aurora

utente Android

L’app funziona benissimo e puoi trovare qualsiasi tipo di informazione. Non ho l’abbonamento ma la parte gratuita è sufficiente per uno studio approfondito.

Martina

utente iOS

in questi ultimi mesi di scuola dove il tempo è ormai poco, mi sta aiutando molto perché piuttosto che farmi io gli schemi su quello che leggo sul libro guardo questi già fatti e li uso come ripasso piuttosto che rileggermi tutto il libro

Chiara

utente IOS

Questa app è una delle migliori, nient’altro da dire.

Andrea

utente iOS

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Samantha Klich

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Anna

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Anastasia

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Sudenaz Ocak

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Greenlight Bonnie

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Equazioni Esponenziali: Le Basi

La regola fondamentale è: $a^x = b \implies \log_a(b) = x$ . Questo significa che l'esponente $x$ è uguale al logaritmo in base $a$ di $b$ .

Il primo metodo di risoluzione è il più semplice: quando riesci a riscrivere entrambi i membri con la stessa base, puoi eguagliare direttamente gli esponenti. Ad esempio, $8^x = 16$ diventa $2^{3x} = 2^4$ , quindi $3x = 4$ e $x = \frac{4}{3}$ .

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Le condizioni di esistenza rimangono sempre $a > 0$ , $a ≠ 1$ e $b > 0$ . Senza queste condizioni, la disequazione non ha senso matematico.

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La soluzione finale è $\log_3(2) < x < 1$ . Come vedi, l'incognita ausiliaria trasforma anche le disequazioni esponenziali complesse in problemi di secondo grado.

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Disequazioni Complesse e Logaritmi

Gli ultimi esempi mostrano disequazioni molto articolate. Nel secondo caso, dopo aver semplificato con le proprietà delle potenze, arrivi a $3^{2x+\frac{1}{5}} \leq 9 = 3^2$ .

Siccome la base 3 è maggiore di 1, puoi mantenere il verso: $2x + \frac{1}{5} \leq 2$ , quindi $x \leq \frac{9}{10}$ .

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