I logaritmi

Didascalia alternativa:

3.9 infatti -2>-3 =42=8 CAMBIAMENTO DI BASE La formula del cambiamento di base ci permette di Scrivere un eagaritulo in una base da wa desiderata. la più comoda e so, in quanto è quella support cita dalla nostra calcolatrice. logab = loge b -CONSEGUE logab = logca CHE Leag ₂5 ESEMPIO log25 = log so 5=2,32 →infatti: 2 20802 TI log. s log, a →infatti 2232=5 funzione logaritmica funzione esponentiale inverso della funciona cogaritmmica. Je grafico della funzione logaritmica e simmetrico (proprio come ie grafico d000¹ espomemcale) rispetto acca bisedicice del I e dee III quadcaute. PROPRIETA • Domimio: RT (eccetto 0); insieme unmagine: • tipo: y = log₂x zaER+ at 1 • e'una gumzione CRESCENTE quando ass DECRESCE UTE quando 04a< Diumivoca •ie suo grafico interseca sempre il punto (1; 0) TRASLACIONE y=f(x-a) + b ESEMPIO g=en (x) ESEMPIO y = log₂ (5) SE b SIMMETRIE Simmetrica rispetto ax→ y= -f(x) y = f(x) = simmetrica rispetto ay → y = f(-x) Summetcica cispetto a 0 → y = f(-x) se e positivo = verso l'alto se e negativo = verso il basso = vers destra se e' negativo = verso sinistical traseazione di √(1;2) a se e positivo. ESEMPIO y=em (x2-1) x2+4 D:X<-AUX-s →y=em (x_a) + b ⇒y=em (x + 1) + 2 y=em (x-(-x)) + ₂ simmetrica rispetto a x → y = = log₂ (5) simmetrica rispetto ay → y = log₂ (-5) Summetcica Cispetto a 0 x y = -log₂ (-5) DOMINIO Je dominio di una cogariturica si teava impmeroo l'argomento Stattamente >0.. X²-10 X²-130 || (x-1)(x+₁1) YO|| X <-₁U+²1 <2+4 HXER grafico ESEMPIO emixes X²-10 → X ²+1 →x + +1 imporgs l'argomento ±0! A. N.B) calcolaxte ie dominio di: e' diverso! log (x-3) }è y = log (x+5) + 2. y = loga (x+5)(x-3) 4) VER I caso dobbiamo wettere a SiSTEMA i I cisultati: -5 -3 √x+5>0 √x>-5 2x+3x0 2x>-3 Nee I can abbiamo un prodotto, perciò uso la REGOLA DEI SEGNI: -5 -3 √x+5>0 SXJ-5 2x+3>0 2X > -3 3 ESEMPIO 5 y= bisagua denominator #0 log (x²+1)-1 imporre argomento positivo Strettamente Seag (x²+x) - &*0 Seag (x²+1) #1 → scrivo s come cogaritmo: 2x LUXER x² +1>0 Seag (x² + 1) = eog 10 √ x² +1+10 5x² #9 Luxe e ZYXER ZYXER • lim 8448 Su=o 2x = -3 DELE a>s (CRESCENTE) ·lim ×10† ESERCIZIO In che punto si annulla ca funzione y = log₁ (x+4) + Basta impotce che l'argomento sia uguale a + (y=0): Su=o P(-3;0) 2x+4=1 GRAFICI ✓- (110) 0:x>-3 + D: X<-5 Ux>-3 X logax=+∞ eagax=-00 FUNZIONI LOGARITMICHE y = eagax X √x ²‡±3 ZUXER okkaks DE CRESCENTE 4 1: • lim 8478 • lim 401x (110) lagax=-∞ logax=+∞o ? 3 1 (3) = e positivo o megativo? Risaliamo al grafico = funcione decrescente (perche O<a < 1) O 4 log 1 (0,5) = lag 1 4 O (40) مدارا eag & log₁ (1) = e` NEGATIVO, infatti si teava sotto l'asse x. eag (2) =e'positivo o megativo? eog (0,5) = POSITIVO, infatti si trova sopra l'ave X. (1:0) log3 (x-5)<0 eogy gralico Se la base a fosse stata > 1 avrei realissato ie Jumeique crescente e poi appricato lo stesso cagionamiento: sopra casse + = POSITIVO • Sotto ('asse x = NEGATIVO Supponiamo di cisoevera: egg 3 (x-5)>0 VIVA (x-5)<0 4 impongo Osa<₁ → 0<x-5) < 1 X 4 impongo as₁ → (x-5) > { (x-5)>0 4 impongo as1 - (X-5) >1 della X-5<1 2x-5>0 4 impongo oka<² → 0<(x-5) <1 → √x-5<{ x-510 equazioni logaritmiche Una generica equatione logaritmica si presenta nessa forma: loga A (x) = log₂ B ( x ) 4A(X) = B(x) <=> C.E. A(x)>O B(x) > 0 Per risolverte bisogna utilizzare: proprietà dei logaritmi formula del cambiamento di base cambio di variabile. Obiettivo arrivare, dopo qualche passaggio, ad avere: eagalt (x) = logas (x) → AX) = B(x) •eoga, A(x) = C →A(X)=C N.B. Bisogna sumpra impoare che logaritmi esistano! (Aegamenti 20 e basi 30 e #1). ESEMPIO C.E. log₂ (x+1)+ log₂ (x-1)-3= 0 {*+^30 { x>-4 + x>4) log₂ (x + 1) + log₂ (x-1) = 3 log₂ (x²-1) = 3 log₂ (x²-1) = log 2³ RICORDA! DEFINIEIOUE Di LOGARITMO → m = cagaa² 4 3 = eag₁2³ x²-x=8 →x²=9 →x=+3 → ACCETABILE x₂= -3 NON ACC. ESEMPIO 2 2 log₂ (x + 1) + log₁ (x+1)=5 2. eggs (x+1) Rogs (x+1)=5 logy 2 2. eog 4 (X+1) - log ₁ (x+1)=5 1 5 C.E. X+^>0. 4 lag4 (x+) + Cog (x+₁)=5 Beog4 (x+1)= $4 eag 4 (x + ₁) = log₂₁4 →x+1=4 → X=3 4 XXA ESEMPIO 3 Pag (x+2)=4-3 eog₂ (x+2) +²=4-3t +²+3t-4=0 A = 9+16=25+ t₁=-3+5 2 +2=-3-5= Geniculo +=eog₂ (x+2) → CAMBIO DI VARIABILE! clisequazioni x≤6 $x≤6 2x>2 √5=5 logariturichre Si usano fondamentalmente le stesse tecuiche gia discusse per le equazioni eogaritmiche. Bisagua Rerò' ricordare che: eaga (f (x) J > NUMERO → se ass il verso mom si eambia +>! →se ocazs si cambia verso → <! 5:24×46 ESEMPIO 2 Cox(x-1)51 eaghy * I C.E. N.B. Devo sempre impotte le C.E. del logarituro, ossia che il suo argomento sia strettamente positivo (>0) ESEMPIO A Cage (2x-4)3 e.e. 2x-4>0 2x-423 x>2 6 x<3 x+2>0 x>-2) log₂ (x+2) = 1 → × +2 = 2³x=-31 16 4 → lag ₂ (x + 2) = -4 → ×+2=2²² × =0 C.E. X-110 X>A 5x<3 X>1 2 45:1<x<3 HUGH eaga [f(x)]> Coga (g(x)] → se ass → stesso verso >! →Sa oka < 1 → cambia verso <! U.B. Imponi le C.E. dei logarituri. ESEMPIO 3 lags (x-1) + logs (x + 1) > Blog (2) C.E. (x-120 5X > s 2x+1>o 2x>-1 eagra ((x-1) (x + ₁)Jeaon (2³) (x-1)(x+1) 8 x229 -3<x<3 Sxxs 2-3<x<3 a²-6a +850 4√√√=2 스 as= 6 + 2-8-4 92=6-3 2 $18 m 4 s ESEMPIO 4 eag(x)- 6 lag₂ (x) + 8 >0 C.E. XO 4 funzione ausiliaria = chico a = log₂x 12 조 3 우 X>A →S: 1<x<3 → eag ₁₂ (x) = 4 →log ₂ (x) = log₂ (16) 2 4x = 16 log₂ (x) = 2 →lag₁₂ (x) = log₂ (4) 4x=4 →valori esterni → X< 4 Ux > 16) X>0 2 X < 4 U × > 16 O 4 16 →S: 0<x<4U × > 16