Didascalia alternativa:

LOGARITHO DI UNA POTENEA eoga b = m. eogab. ESEMPIO eag ₁394 = 4· log 39 =42=8 infatti loga b = loge b logca CAMBIAMENTO DI BASE La formula del cambiamento di base ci permette di Scrivere un eagarituro in una base da ua desiderata. La più comoda è so, in quanto è quella support ata dalla nostra calcolatrice. Leag s CONSEGUE CHE -21-3 ESEMPIO 2,32 log 25 = log₁o 5 = 2,32 →infatti: 2²³2 =5 logo 2 11 Logs 2 logab = log, a A funzione logaritmica Funzione esponenziale inverso della Suntione eogaritmica. Je grafico della funzione logaritmica e simmetrico (propris. come ie grafico dell'espomemcale) cispetto alla bisettice del I e del II quadcaute. PROPRIETA • Domimio: RT (eccetto 0); insieme immagine: R • tipo: y = log₂x za ER+ at 1 • e'uma funzione CRESCENTE quando a>< biumivoca DECRESCENTE quando 0<a<i ie suo grafico interseca sempre il punto (1; 0) TRASLACIONE y = f(x-a) + b ESEMPIO em (x) y= SIMMETRIE ESEMPIO y = log₂ (5) b Simmetrica rispetto ax → y = -f(x) y=f(x) = simmetrica rispetto a 4+ y = f(-x) sunwettica cispetto a 0 ⇒ y = f(-x) ESEMPIO y = em (x2-1) x2+4 se e positivo = verso l'alto se e negativo = verso il basso (2) ESEMPIO a se e positivo traseazione di √(1;2) D:X<-AUX>1 emixes = verso destra se e negativo = verso sinistra) Dominio Ye dominio di una cogariturica si trova imponendo l'argomento Stattamente >0. →y=em (x-a) + b ⇒y=em (x + 1) +2 y=en (x-(_^)) + 2 simmetrica rispetto a → y = log₂ (5) Simmetrica rispetto ay ⇒ y = log₂ (-5) Simmettica dispetto a 0 = y = -log ₂ (-5) →>>> x2-130 x²-130 || (x-1)(x+1) >0 || x x²+4 +4>0 UXER gragica X4-1644 VXER impolgs l'argomento ±0! X²-10 →X²+1 → × + ± 1 N.B) calcolaxe le dominio di: 1. y = log (x + 5) + log (x-3) } e` diverso! 2. y = log (x+5 )(x-3) 4 VER I caso dobbiamo mettere a SISTEMA i asultati: √x+5>0 √x>-5 2x > -3 2x+3x0 # Nel II cars abbiamo un prodotto, perciò uso la REGOLA DEI SEGNI: <-5 3 √x+5>0 SX > -5 2x+3>0 ²2x>-3 129 (x²+1) = eag, 10 LUXER (3) ESEMPIO 5 y= bisagua denominatore =0 log (x²+1)-1 imporre Ka argomento positivo strettamente Seag (x²+x) - 8 +0 Seag. (x²+1) #1 → scrivo s come cogaritmo: 2x²+1>0 3 LUXER a>s (CRESCENTE) • lim X→+ ·lim 4 ESERCIZIO In che punto si annulla la funzione y = log² (x+4) ? Basta imporre che l'argomento sia uguale as (y=0): Su=o Su=0 →P(-3;0) 2x+4=1 2x = -3 GRAFICI D:X-3 t (110) eagax=+ D: X<-5Ux>-3. DELE FUNZIONI JOGARITMICHE y = eagax eagax=-00 xe 1 tro sx279 sx2t3 ZUXER LUXER LUXER Okaks DECRESCENTE • lim 8478 • lim 4974 (110) lagax= 88 lagax=+00 3 1 eag () = e positivo o megativo? Risaliamo al grafico = funcione decrescente (perche o<a < 1) JANU O = e` NEGATIVO, infatti si trova sotto l'asse x. lag 1 (0,5) = eag (§) = cog₁ (1) = e positivo o negativo? lag! (1;0) 124224 (4:0) logi WIA 8⁰ eogat (0,5) = e` POSITIVO, infatti si trova sopra l'asse X. Se la base a gosse stata >1 avrei realissato il grafico della Jumeique crescente e poi applicato lo stesso cagionamiento: ie sopra casse + POSITIVO O Sotto la SS₂ x = NEGATIVO (x-5)>0 X -ld Supponiamo di cisoeverre: log 3 (x-5) <0 eog 3 (x-5)<0 4 imporgo O<a<^ → 0<x-sk₁ (x-)>0 - 4 impongo as₁ → (x-5) > g 4 impongo as1 → (X-5) >1 √x-5< 2x-530 4 imporgo O<a<² → 0<(x-5) <1 →> x-541 1×-5>0 equazioni Bogaritmiche Uma generica equatione logaritmica si presenta messa forma: loga A (x) = log B(x) C.E. A(x)= B(x) <=> [A(x) > 0 2 B(x) > 0 Per risolvere bisogna utilitzace: proprietà dei logaritmi formue a del cambiamento di base di Obiettivo arrivare, dopo qualche passaggi, ad avere: eagaf (x) = eaga B(x) → Ax) = B(x) •eoga A(x) = C ·A(X) = C N.B. Bisogna sempre impoace che logaritmi esistano! (Aegamenti 20 e basi >o e #1). ESEMPIO log₂ (x+1)+ eog₂ (x-1)-3=0 log2 (x + 1) + log₂ (x-1) = 3 log₂ (x²-1) = 3 log₂ (x²-1) = log₂ 2³ 23 2. eog 4 (x+1) + log 4 (X+1)=5 सत √x+1> 0 {x>-1 2x-x>02x>s RICORDA! → m = log₁ x²-x=8 →x²=9 → x=+3 → ACCETTABILE X₁₂₁ = 3 NOU ACC. ESEMPIO 2 C.E. 2 log₂ (x + 1) + log₁ (x+1)=5 2 egg₁(x+1) eggs (x+1)=5 log42 2 DEFINIZIONE DI LOGARITHO → 3 = log₂2³ X+A>OX>A 4 log₂ (x + ₁) + log₂ (x + ₁) = 5 1) вода Seog₁ (x+₂) = $₁ eag 4 (x+₁)=eag₁₂4 →x+1=4 → X=3 ESEMPIO 3 log₂ (x+2)=4-3eog₂ (x+2) Geniamo + = log₂ (x+2)→ CAMBIO DI VARIABILE! +²=4-3t +²+3t-4=0 A = 9+16=25+√√D=5 t₁ = -3+5_=1 __ log₂ (x+2) = { → × + 2 = 2² → x = _31 =-3-5=_8__4 → log₂ (x+2) = -4 →×+2=2²² > x=0 16 2 disequazioni logaritmiche Si usano fondamentalmente le stesse tecuiche gia discusse. per le equazioni eogaritmiche. Bisogua però ricordare che: eaga (f(x) J > NUMERO → se ass ie verso mom si eam bia →>! →se oca's si cambia verso → <!- N.B. Devo sempre impotte le C.E. del logarituro, ossia che il suo argamento sia strettamente positivo (so) ESEMPIO A Cage (2x-4) €3 C.E. 2×-4>0 ↓ 2x-423 x≤6 $x≤6 X> 2 C.E. x+2>0 x>-2) 26 S: 24×46 ESEMPIO 2 eaga (x-1) Es x -+ ² (1) - ² x<3 C.E. X-110 X>A x<3 2x>1 X> 3 45:1<x<3 eaga [ f(x)]> Coga g(x)] → se ass → stesso verso >! →Se ona41 → cambia verso <! U.B. Imponi le C.E. dei logarituri. ESEMPIO 3 log₁ (x-1) + logs (x + ₁) > Blog (2) 3 3 C.E. 5x-130 SX > s 2x+1>6 Ex>-^ eaga [(x - ¹)(x + ¹)] © ¤œ€! (2³) 3 (x-₁) (x + 1) (<8 x² <9 -3<x<3 { x ) {\ > C-3<x<3 조 2 s 3 4 ↑ ESEMPIO 4 log² (x) - 6 log₂ (x) + 8 >0 C.E. XO 5. • funzione ausiliaria = chiamo a= log₂x →S: A < x <3 a²-6a +850 A = 4 ⇒ s = 2 as −6+2-8-4 → log₂ (x) = 4 → log ₂ (x) = log₂ (16) 4 x = 16 a2=6-2 = 4 = 2 - log₂ (x) = 2 → eog₂ (x) = log₂ (4) 2 →valori esterni → X<4 Ux > 16 X>0 x < 4 U x > 16 16 نا →S: 0<x<4U×> 16