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Impara i Logaritmi: Definizione Semplice e Proprietà

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Raissa🌻

26/10/2022

Matematica

I logaritmi

Impara i Logaritmi: Definizione Semplice e Proprietà

The logarithmic functions and their properties, with a focus on Definizione logaritmo and related concepts, form the foundation of advanced mathematical analysis.

• The document comprehensively covers Proprietà dei logaritmi pdf, including basic definitions, properties, and applications in equations and inequalities.

• Key topics include Logaritmo definizione matematica, logarithmic functions and their graphs, domain and range considerations, and solving logarithmic equations.

• Special attention is given to the Logaritmo in base e and various transformation techniques for solving complex logarithmic problems.

• The material includes detailed explanations of Proprietà logaritmi potenza and other fundamental properties of logarithms.

...

26/10/2022

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logaritini
Finota Siamo sempre stati abituati a risolvere equazioni del tipo:
ax=93
ESEMPIO
2²= 2X=1
ma come facciamo quando....
a = b ?
I c

Vedi

Page 2: Properties of Logarithms

This page delves into the proprietà dei logaritmi, which are crucial for solving logarithmic equations and simplifying expressions.

Key properties include:

  1. log_a 1 = 0
  2. log_a a = 1
  3. a^(log_a b) = b

Vocabulary: The logaritmo definizione matematica states that logarithms and exponentials are inverse functions.

The page introduces three important rules:

  1. Logarithm of a Product: log_a (b * c) = log_a b + log_a c
  2. Logarithm of a Quotient: log_a (b / c) = log_a b - log_a c
  3. Logarithm of a Power: log_a (b^m) = m * log_a b

Example: log_2 (8 * 4) = log_2 8 + log_2 4 = 3 + 2 = 5

The page concludes with the change of base formula, which allows conversion between logarithms of different bases:

log_a b = (log_c b) / (log_c a)

This formula is particularly useful when using calculators, as most support only natural (base e) or common (base 10) logarithms.

logaritini
Finota Siamo sempre stati abituati a risolvere equazioni del tipo:
ax=93
ESEMPIO
2²= 2X=1
ma come facciamo quando....
a = b ?
I c

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Page 3: Logarithmic Functions

This page explores the funzione logaritmica and its properties, comparing it to its inverse, the exponential function.

Key properties of logarithmic functions:

  • Domain: All positive real numbers (x > 0)
  • Range: All real numbers
  • The function is increasing when a > 1 and decreasing when 0 < a < 1
  • The graph always passes through the point (1, 0)

Definition: The logaritmo definizione semplice states that y = log_a x is the inverse function of y = a^x.

The page discusses transformations of logarithmic functions:

  • Vertical and horizontal translations
  • Reflections over the x-axis, y-axis, and origin

Example: y = ln(x - 1) + 2 represents a logarithmic function shifted 1 unit right and 2 units up.

The page concludes with a discussion on finding the domain of logarithmic functions, emphasizing the importance of keeping the argument strictly positive.

Highlight: The grafico logaritmo naturale is a special case where the base is e (≈ 2.71828).

logaritini
Finota Siamo sempre stati abituati a risolvere equazioni del tipo:
ax=93
ESEMPIO
2²= 2X=1
ma come facciamo quando....
a = b ?
I c

Vedi

Page 4: Domains of Logarithmic Functions

This page focuses on determining the domains of more complex logarithmic functions, including those with multiple terms and fractions.

Key points:

  • For simple logarithmic functions, ensure the argument is strictly positive.
  • For functions with multiple logarithmic terms, consider each term separately and then combine the results.
  • For logarithmic functions with fractions, ensure both the argument of the logarithm and the denominator are non-zero.

Example: For y = log(x + 5) + log(x - 3), the domain is x > 3 because both (x + 5) and (x - 3) must be positive.

The page also covers more complex scenarios, such as:

  • Logarithms of quadratic expressions
  • Logarithms with absolute value arguments

Highlight: When dealing with equazioni e disequazioni logaritmiche, always check the domain to ensure the logarithms are defined.

The page concludes with a brief discussion on limits of logarithmic functions as x approaches infinity and zero.

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Finota Siamo sempre stati abituati a risolvere equazioni del tipo:
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ESEMPIO
2²= 2X=1
ma come facciamo quando....
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Page 5: Graphing Logarithmic Functions

This page delves into the graphical representation of logarithmic functions, focusing on how to interpret and sketch grafici funzioni logaritmiche.

Key points:

  • The shape of the grafico logaritmo base 10 is similar for all bases > 1, but flipped horizontally for 0 < base < 1.
  • The y-intercept is always at (1, 0) for any base.
  • For bases > 1, the function increases slowly, while for 0 < base < 1, it decreases slowly.

Example: The grafico logaritmo base 1/2 is a decreasing function that approaches negative infinity as x approaches zero from the right.

The page also covers how to determine if a logarithmic expression is positive or negative based on its graph:

  • For bases > 1, values above the x-axis are positive, below are negative.
  • For 0 < base < 1, this is reversed.

Highlight: Understanding the grafico esponenziale helps in visualizing logarithmic functions, as they are inverses of each other.

The page concludes with examples of solving simple logarithmic inequalities graphically.

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Finota Siamo sempre stati abituati a risolvere equazioni del tipo:
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2²= 2X=1
ma come facciamo quando....
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Page 6: Logarithmic Equations

The final page focuses on solving equazioni e disequazioni logaritmiche, providing a systematic approach to these problems.

General form of a logarithmic equation: log_a A(x) = log_b B(x)

Steps to solve:

  1. Use logarithm properties to simplify if possible.
  2. Apply the change of base formula if needed.
  3. If the bases are the same, set the arguments equal: A(x) = B(x).
  4. Solve the resulting equation.
  5. Check solutions in the original equation to avoid extraneous roots.

Highlight: Always check the domain conditions (A(x) > 0 and B(x) > 0) when solving logarithmic equations.

Example: Solve log_2(x+1) + log_2(x-1) - 3 = 0 Solution:

  1. Combine logarithms: log_2((x+1)(x-1)) = 3
  2. Simplify: log_2(x^2-1) = 3
  3. Apply exponential: 2^3 = x^2-1
  4. Solve: x = ±√9 = ±3
  5. Check: x = 3 is the only valid solution as x > 1 is required for the domain.

The page emphasizes the importance of understanding proprietà logaritmi and equazioni logaritmiche schema for efficiently solving these types of problems.

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Finota Siamo sempre stati abituati a risolvere equazioni del tipo:
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ESEMPIO
2²= 2X=1
ma come facciamo quando....
a = b ?
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Vedi

Conclusione

La comprensione approfondita della definizione di logaritmi e proprietà, insieme alla padronanza delle funzioni esponenziali e logaritmiche, è essenziale per affrontare problemi matematici avanzati. Il calcolo del dominio delle funzioni logaritmiche è un passaggio cruciale che richiede attenzione alle condizioni di esistenza. Queste competenze sono fondamentali non solo in matematica pura, ma anche in molte applicazioni pratiche, dalla fisica all'economia, dove i modelli logaritmici ed esponenziali giocano un ruolo chiave.

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Page 7: Logarithmic Inequalities

The page introduces Disequazioni logaritmiche schema and techniques for solving logarithmic inequalities.

Definition: Logarithmic inequalities follow similar principles to equations but require attention to sign changes.

Example: Solving log₂(x+2) = 1

Highlight: The importance of considering the base when determining inequality direction.

Non c'è niente di adatto? Esplorare altre aree tematiche.

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Utente iOS

Adoro questa applicazione [...] consiglio Knowunity a tutti!!! Sono passato da un 5 a una 8 con questa app

Stefano S, utente iOS

L'applicazione è molto semplice e ben progettata. Finora ho sempre trovato quello che stavo cercando

Susanna, utente iOS

Adoro questa app ❤️, la uso praticamente sempre quando studio.

 

Matematica

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26 ott 2022

8 pagine

Impara i Logaritmi: Definizione Semplice e Proprietà

The logarithmic functions and their properties, with a focus on Definizione logaritmo and related concepts, form the foundation of advanced mathematical analysis.

• The document comprehensively covers Proprietà dei logaritmi pdf, including basic definitions, properties, and applications in equations... Mostra di più

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Page 2: Properties of Logarithms

This page delves into the proprietà dei logaritmi, which are crucial for solving logarithmic equations and simplifying expressions.

Key properties include:

  1. log_a 1 = 0
  2. log_a a = 1
  3. a^(log_a b) = b

Vocabulary: The logaritmo definizione matematica states that logarithms and exponentials are inverse functions.

The page introduces three important rules:

  1. Logarithm of a Product: log_a (b * c) = log_a b + log_a c
  2. Logarithm of a Quotient: log_a (b / c) = log_a b - log_a c
  3. Logarithm of a Power: log_a (b^m) = m * log_a b

Example: log_2 (8 * 4) = log_2 8 + log_2 4 = 3 + 2 = 5

The page concludes with the change of base formula, which allows conversion between logarithms of different bases:

log_a b = (log_c b) / (log_c a)

This formula is particularly useful when using calculators, as most support only natural (base e) or common (base 10) logarithms.

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Page 3: Logarithmic Functions

This page explores the funzione logaritmica and its properties, comparing it to its inverse, the exponential function.

Key properties of logarithmic functions:

  • Domain: All positive real numbers (x > 0)
  • Range: All real numbers
  • The function is increasing when a > 1 and decreasing when 0 < a < 1
  • The graph always passes through the point (1, 0)

Definition: The logaritmo definizione semplice states that y = log_a x is the inverse function of y = a^x.

The page discusses transformations of logarithmic functions:

  • Vertical and horizontal translations
  • Reflections over the x-axis, y-axis, and origin

Example: y = ln(x - 1) + 2 represents a logarithmic function shifted 1 unit right and 2 units up.

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Highlight: The grafico logaritmo naturale is a special case where the base is e (≈ 2.71828).

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Page 4: Domains of Logarithmic Functions

This page focuses on determining the domains of more complex logarithmic functions, including those with multiple terms and fractions.

Key points:

  • For simple logarithmic functions, ensure the argument is strictly positive.
  • For functions with multiple logarithmic terms, consider each term separately and then combine the results.
  • For logarithmic functions with fractions, ensure both the argument of the logarithm and the denominator are non-zero.

Example: For y = log(x + 5) + log(x - 3), the domain is x > 3 because both (x + 5) and (x - 3) must be positive.

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  • Logarithms of quadratic expressions
  • Logarithms with absolute value arguments

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Page 5: Graphing Logarithmic Functions

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Key points:

  • The shape of the grafico logaritmo base 10 is similar for all bases > 1, but flipped horizontally for 0 < base < 1.
  • The y-intercept is always at (1, 0) for any base.
  • For bases > 1, the function increases slowly, while for 0 < base < 1, it decreases slowly.

Example: The grafico logaritmo base 1/2 is a decreasing function that approaches negative infinity as x approaches zero from the right.

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  • For bases > 1, values above the x-axis are positive, below are negative.
  • For 0 < base < 1, this is reversed.

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Page 6: Logarithmic Equations

The final page focuses on solving equazioni e disequazioni logaritmiche, providing a systematic approach to these problems.

General form of a logarithmic equation: log_a A(x) = log_b B(x)

Steps to solve:

  1. Use logarithm properties to simplify if possible.
  2. Apply the change of base formula if needed.
  3. If the bases are the same, set the arguments equal: A(x) = B(x).
  4. Solve the resulting equation.
  5. Check solutions in the original equation to avoid extraneous roots.

Highlight: Always check the domain conditions (A(x) > 0 and B(x) > 0) when solving logarithmic equations.

Example: Solve log_2(x+1) + log_2(x-1) - 3 = 0 Solution:

  1. Combine logarithms: log_2((x+1)(x-1)) = 3
  2. Simplify: log_2(x^2-1) = 3
  3. Apply exponential: 2^3 = x^2-1
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  5. Check: x = 3 is the only valid solution as x > 1 is required for the domain.

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Page 7: Logarithmic Inequalities

The page introduces Disequazioni logaritmiche schema and techniques for solving logarithmic inequalities.

Definition: Logarithmic inequalities follow similar principles to equations but require attention to sign changes.

Example: Solving log₂(x+2) = 1

Highlight: The importance of considering the base when determining inequality direction.

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Page 1: Introduction to Logarithms

The first page introduces the concept of logarithms as a solution to equations where traditional methods fall short. It explains the definizione logaritmo and its basic properties.

Definition: A logarithm is the exponent to which a base must be raised to produce a given number. Mathematically, if a^x = b, then x = log_a b.

Key points:

  • Logarithms are defined only for positive arguments (b > 0).
  • The base (a) must be positive and not equal to 1.
  • If no base is specified, it's assumed to be 10.

Example: log_2 8 = 3 because 2^3 = 8

The page also notes that logarithms can be irrational numbers when the argument is not a rational power of the base.

Highlight: Both the base and the argument of a logarithm must be positive, and the base cannot be 1.

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Recensioni dei nostri utenti. Ci adorano - e anche tu, vedrai .

4.9/5

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4.8/5

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L'applicazione è molto facile da usare e ben progettata. Finora ho trovato tutto quello che cercavo e ho potuto imparare molto dalle presentazioni! Utilizzerò sicuramente l'app per i compiti in classe! È molto utile anche come fonte di ispirazione.

Stefano S

utente iOS

Questa applicazione è davvero grande! Ci sono tantissimi appunti e aiuti con lo studio [...]. La mia materia problematica, per esempio, è il francese e l'app ha così tante opzioni per aiutarmi. Grazie a questa app ho migliorato il mio francese. La consiglio a tutti.

Samantha Klich

utente Android

Wow, sono davvero stupita. Ho appena provato l'app perché l'ho vista pubblicizzata molte volte e sono rimasta assolutamente sbalordita. Questa app è L'AIUTO che cercate per la scuola e soprattutto offre tantissime cose, come allenamenti e schede, che a me personalmente sono state MOLTO utili.

Anna

utente iOS

È bellissima questa app, la adoro. È utilissima per lo studio e mi aiuta molto, anzi moltissimo, ma soprattutto mi aiutano molto i quiz, per memorizzare anche quello che non sapevo

Anastasia

utente Android

Fantastica per qualsiasi materia avere gli appunti anche di altre persone è molto utile perchè posso confrontarmi e vedere come migliorarmi. con i quiz riesco ad apprendere al meglio.

Francesca

utente Android

moooolto utile,gli appunti sono belli e funzionanti,schoolGPT da dei consigli formidabili!!

Marianna

utente Android

L'applicazione è semplicemente fantastica! Tutto ciò che devo fare è inserire l'argomento nella barra di ricerca e ottengo la risposta molto velocemente. Non devo guardare 10 video di YouTube per capire qualcosa, quindi risparmio tempo. Consigliatissima!

Sudenaz Ocak

utente Android

A scuola andavo malissimo in matematica, ma grazie a questa applicazione ora vado meglio. Vi sono molto grato per aver creato questa app.

Greenlight Bonnie

utente Android

Knowunity è un applicazione fantastica,considerando che ha degli schemi veramente molto carini e sfiziosi e che ci sono dei quiz,oltre al fatto che questa cosa dell intelligenza artificiale "school gpt" è almeno per me molto utile, perché a differenza di Chatgpt ti da le spiegazioni, ti spiega ciò che non è chiaro! Posso studiare più velocemente tramite gli schemi e che posso pubblicare io stessa gli schemi è una funzione utilissima per gli altri studenti. Knowunity è PERFETTA

Aurora

utente Android

L’app funziona benissimo e puoi trovare qualsiasi tipo di informazione. Non ho l’abbonamento ma la parte gratuita è sufficiente per uno studio approfondito.

Martina

utente iOS

in questi ultimi mesi di scuola dove il tempo è ormai poco, mi sta aiutando molto perché piuttosto che farmi io gli schemi su quello che leggo sul libro guardo questi già fatti e li uso come ripasso piuttosto che rileggermi tutto il libro

Chiara

utente IOS

Questa app è una delle migliori, nient’altro da dire.

Andrea

utente iOS

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Stefano S

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Samantha Klich

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Wow, sono davvero stupita. Ho appena provato l'app perché l'ho vista pubblicizzata molte volte e sono rimasta assolutamente sbalordita. Questa app è L'AIUTO che cercate per la scuola e soprattutto offre tantissime cose, come allenamenti e schede, che a me personalmente sono state MOLTO utili.

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Anastasia

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Francesca

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moooolto utile,gli appunti sono belli e funzionanti,schoolGPT da dei consigli formidabili!!

Marianna

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L'applicazione è semplicemente fantastica! Tutto ciò che devo fare è inserire l'argomento nella barra di ricerca e ottengo la risposta molto velocemente. Non devo guardare 10 video di YouTube per capire qualcosa, quindi risparmio tempo. Consigliatissima!

Sudenaz Ocak

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A scuola andavo malissimo in matematica, ma grazie a questa applicazione ora vado meglio. Vi sono molto grato per aver creato questa app.

Greenlight Bonnie

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Knowunity è un applicazione fantastica,considerando che ha degli schemi veramente molto carini e sfiziosi e che ci sono dei quiz,oltre al fatto che questa cosa dell intelligenza artificiale "school gpt" è almeno per me molto utile, perché a differenza di Chatgpt ti da le spiegazioni, ti spiega ciò che non è chiaro! Posso studiare più velocemente tramite gli schemi e che posso pubblicare io stessa gli schemi è una funzione utilissima per gli altri studenti. Knowunity è PERFETTA

Aurora

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L’app funziona benissimo e puoi trovare qualsiasi tipo di informazione. Non ho l’abbonamento ma la parte gratuita è sufficiente per uno studio approfondito.

Martina

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in questi ultimi mesi di scuola dove il tempo è ormai poco, mi sta aiutando molto perché piuttosto che farmi io gli schemi su quello che leggo sul libro guardo questi già fatti e li uso come ripasso piuttosto che rileggermi tutto il libro

Chiara

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Questa app è una delle migliori, nient’altro da dire.

Andrea

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