Basi delle Disequazioni di Secondo Grado

Quando hai una disequazione di secondo grado come $ax^2 + bx + c \leq 0$, il primo passo è sempre guardare l'equazione associata $ax^2 + bx + c = 0$. È come trovare i "punti di svolta" che ti aiuteranno a capire dove la disequazione è vera.

La formula risolutiva è quella che conosci già: $x_{1/2} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$. Ma la vera chiave è il discriminante $\Delta = b^2 - 4ac$, quella roba sotto la radice.

Il discriminante ti dice tutto: se Δ > 0 hai due soluzioni distinte, se Δ = 0 hai una soluzione doppia, se Δ < 0 non ci sono soluzioni reali. Questo determinerà completamente come risolvere la tua disequazione.

💡 Trucco: Il discriminante è il tuo migliore amico - calcola sempre quello per primo!

La Tabella Magica per Risolvere Tutto

Ecco la tabella riassuntiva che ti salverà la vita negli esercizi. Per $a > 0$, guarda il segno della disequazione e il valore di Δ:

Per disequazioni > o ≥: Se Δ > 0, la soluzione è $x < x_1$ oppure $x > x_2$. Se Δ = 0, tutti i valori tranne $x_{1/2}$. Se Δ < 0, tutti i numeri reali.

Per disequazioni < o ≤: Se Δ > 0, la soluzione è $x_1 < x < x_2$. Se Δ = 0, nessuna soluzione tranne nel caso ≤ dove hai solo $x = x_{1/2}$. Se Δ < 0, nessuna soluzione.

Attenzione: Se $a < 0$, moltiplica tutto per -1 e cambia il verso della disequazione! Questo è fondamentale per non sbagliare.

💡 Ricorda: Con a negativo, devi sempre "girare" la disequazione dopo aver moltiplicato per -1!

Esempi con Segno >

Vediamo come funziona con esempi pratici. Nel primo esempio $2x^2 + 3x + 3 > 0$, il discriminante viene Δ = -15 < 0. Siccome cerchi > e Δ < 0, la soluzione è tutti i numeri reali (∀x ∈ ℝ).

Nel secondo esempio $x^2 - 3x + 2 > 0$, trovi Δ = 1 > 0 con $x_1 = 1$ e $x_2 = 2$. Con segno > e Δ > 0, la soluzione è $x < 1$ oppure $x > 2$.

Il metodo è sempre uguale: semplifica la disequazione, calcola il discriminante dell'equazione associata, trova le radici se esistono, poi consulta la tabella. Non c'è trucco, solo metodo!

💡 Pro tip: Disegna sempre una parabola mentale per visualizzare dove la funzione è positiva o negativa!

Casi Particolari da Ricordare

Quando hai coefficiente a negativo, come in $-x^2 - 4x - 4 < 0$, moltiplica per -1 e ottieni $x^2 + 4x + 4 > 0$. Qui Δ = 0 e $x_{1/2} = -2$, quindi la soluzione è $x \neq -2$.

L'esempio $x^2 + 4x + 5 < 0$ mostra un caso interessante: Δ = -4 < 0 con segno <. Risultato? Nessuna soluzione (∅). Una parabola rivolta verso l'alto non può mai essere negativa se non ha radici reali!

Questi casi ti insegnano che non sempre le disequazioni hanno soluzioni. A volte il risultato è "nessuna soluzione" o "tutti i numeri reali" - e va benissimo così.

💡 Attenzione: Quando Δ < 0 e cerchi il segno <, spesso non ci sono soluzioni!

Disequazioni con Segno <

Con le disequazioni minori, le cose si fanno interessanti. Nell'esempio $3x^2 + 6x + 3 < 0$, hai Δ = 0 e $x_{1/2} = -1$. Una parabola che tocca l'asse x in un solo punto non può essere strettamente negativa, quindi ∅.

L'esempio $-x^2 + 2x + 3 > 0$ diventa $x^2 - 2x - 3 < 0$ dopo aver moltiplicato per -1. Con Δ > 0 e radici $x_1 = -1$, $x_2 = 3$, la soluzione è $-1 < x < 3$.

La differenza principale: con il segno < e Δ > 0, la soluzione sta tra le due radici. È l'opposto di quello che succede con il segno >.

💡 Visualizza: Con <, stai cercando dove la parabola sta sotto l'asse x!

Disequazioni con ≥ e ≤

Le disequazioni con uguale includono anche i punti dove la funzione vale zero. Nell'esempio $2x^2 + 3x + 3 ≥ 0$ con Δ < 0, la soluzione è ancora tutti i reali perché la parabola non tocca mai l'asse x.

Con $x^2 - 3x + 2 ≥ 0$ (Δ > 0, radici 1 e 2), la soluzione è $x ≤ 1$ oppure $x ≥ 2$. Nota le disuguaglianze non strette - includono le radici!

Quando hai Δ = 0 come in $x^2 + 4x + 4 ≥ 0$, la parabola tocca l'asse in $x = -2$. Siccome è rivolta verso l'alto, la soluzione è tutti i reali - la parabola è sempre sopra o sull'asse.

💡 Differenza chiave: ≥ e ≤ includono sempre i punti dove la funzione vale zero!

Ultimi Esempi e Casi Limite

L'esempio $-x^2 - 4x - 4 ≤ 0$ mostra un caso particolare: dopo la trasformazione diventa $x^2 + 4x + 4 ≥ 0$. Con Δ = 0 e radice doppia in $x = -2$, una parabola verso l'alto è sempre ≥ 0, quindi ∀x ∈ ℝ.

Il caso $x^2 + 4x + 5 ≤ 0$ con Δ < 0 conferma la regola: una parabola verso l'alto senza radici reali non può mai essere ≤ 0, quindi ∅.

Questi esempi ti mostrano tutti i casi possibili. Con la pratica costante, riconoscerai subito quale situazione hai davanti e saprai come procedere senza esitazioni.

💡 Strategia finale: Memorizza i pattern principali e i risultati ti verranno automatici!

Conclusioni e Strategie Vincenti

Gli ultimi esempi consolidano tutto: $3x^2 + 6x + 3 ≤ 0$ con Δ = 0 ha come soluzione solo $x = -1$ (il vertice della parabola). Quando cerchi ≤ e la parabola tocca l'asse in un punto, quel punto è la tua unica soluzione.

L'esempio finale $-x^2 + 2x + 3 ≥ 0$ diventa $x^2 - 2x - 3 ≤ 0$ con soluzione $-1 ≤ x ≤ 3$. Perfetto esempio di come le disequazioni ≤ con Δ > 0 abbiano soluzioni nell'intervallo tra le radici.

Il metodo è sempre identico: porta tutto a sinistra, controlla il segno di a, calcola Δ, trova le radici, applica la regola. La matematica premia la costanza, non la genialità!

💡 Ricetta del successo: Metodo fisso + tabella di riferimento + tanta pratica = voti alti garantiti!