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Matematica

29 nov 2025

8593

6 pagine

Guida alle Disequazioni Fratte e ai Sistemi di Disequazioni

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Arianna Battaglia @ariannabattaglia_27

Le disequazioni fratte sono uno degli argomenti più importanti dell'algebra, ma non devi avere paura! Una volta che... Mostra di più

Disequazioni Fratte
2x²-3x+1 So
x²-1
ES
SUOLGIMENT
2.
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2
TROVARE G
2
x²-1
x-1=0
DENDALINATORE #0
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QUADRATI
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Come Risolvere le Disequazioni Fratte

Le disequazioni fratte contengono una frazione con l'incognita al denominatore. Il trucco è seguire sempre lo stesso procedimento!

Prendiamo l'esempio 2x23x+1x210\frac{2x^2 - 3x + 1}{x^2 - 1} \leq 0

Il primo step è trovare le condizioni di esistenza il denominatore non può mai essere zero! Quindi risolvi x210x^2 - 1 \neq 0. Usando la differenza di quadrati ottieni (x+1)(x1)0(x+1)(x-1) \neq 0, quindi x1x \neq -1 e x1x \neq 1.

💡 Ricorda Le condizioni di esistenza sono fondamentali - senza di esse la frazione non ha senso!

Il secondo step è lo studio del segno separato di numeratore e denominatore. Per il numeratore usi il segno originale (≥ se c'è ≤), per il denominatore sempre > 0.

Disequazioni Fratte
2x²-3x+1 So
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Studio del Segno - Parte Pratica

Per studiare il segno del numeratore 2x23x+102x^2 - 3x + 1 \geq 0, puoi usare Ruffini. Provi con x=1x = 1 P(1)=23+1=0P(1) = 2 - 3 + 1 = 0. Perfetto!

Applicando Ruffini ottieni (2x1)(x1)0(2x - 1)(x - 1) \geq 0. Questo significa

  • 2x10x122x - 1 \geq 0 \Rightarrow x \geq \frac{1}{2}
  • x10x1x - 1 \geq 0 \Rightarrow x \geq 1

Per il denominatore x21>0x^2 - 1 > 0, hai già la scomposizione (x+1)(x1)>0(x + 1)(x - 1) > 0

  • x+1>0x>1x + 1 > 0 \Rightarrow x > -1
  • x1>0x>1x - 1 > 0 \Rightarrow x > 1

💡 Trucco Il denominatore ha sempre segno strettamente positivo, qualunque sia il segno iniziale della disequazione!

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Il Disegno del Segno

Ora devi fare il disegno del segno sulla retta dei numeri. Segna tutti i punti critici 1-1, 12\frac{1}{2}, 11.

Per il numeratore positivo per x12x \leq \frac{1}{2} e x1x \geq 1 Per il denominatore positivo per x<1x < -1 e x>1x > 1

Il quarto step è guardare dove la frazione ha il segno che ti serve. Dato che la disequazione originale era 0\leq 0, cerchi dove è negativa.

💡 Attenzione Non dimenticare mai le condizioni di esistenza quando scrivi la soluzione finale!

Dal disegno vedi che la frazione è negativa per 1<x<12-1 < x < \frac{1}{2}. Questa è la tua soluzione!

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Sistemi di Disequazioni

I sistemi di disequazioni richiedono un approccio diverso. Prendi l'esempio \begin{cases} x+1 \leq 0\ xx22x+1x^2-2x+1 < 0 \end{cases}

Non ci sono condizioni di esistenza perché le disequazioni non sono fratte.

Per lo studio del segno

  1. x+10x1x + 1 \leq 0 \Rightarrow x \leq -1
  2. x(x22x+1)<0x(x^2-2x+1) < 0

La seconda disequazione è più complessa! Riconosci che x22x+1=(x1)2x^2-2x+1 = (x-1)^2, un quadrato perfetto.

💡 Ricorda Un quadrato è sempre ≥ 0, quindi (x1)2>0(x-1)^2 > 0 per ogni x1x \neq 1!

Quindi hai x(x1)2<0x \cdot (x-1)^2 < 0, che è negativo solo quando x<0x < 0 escluso $x = 1$.

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Risolvere il Sistema - Step Finali

Ora hai le soluzioni separate

  • Prima disequazione x1x \leq -1
  • Seconda disequazione x<0x < 0 con $x \neq 1$

Il disegno delle soluzioni ti aiuta a visualizzare. Segna sulla retta

  • Per ① tutto a sinistra di 1-1 (incluso)
  • Per ② tutto a sinistra di 00 (escluso)

La soluzione del sistema è l'intersezione delle due soluzioni individuali.

💡 Metodo In un sistema cerchi dove le soluzioni si "sovrappongono"!

Guardando il disegno, le due condizioni sono soddisfatte insieme solo quando x1x \leq -1. Questa è la tua risposta finale!

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Pensavamo che non l'avreste mai chiesto....

Che cos'è l'assistente AI di Knowunity?

Il nostro assistente AI è costruito specificamente per le esigenze degli studenti. Sulla base dei milioni di contenuti presenti sulla piattaforma, possiamo fornire agli studenti risposte davvero significative e pertinenti. Ma non si tratta solo di risposte, l'assistente è in grado di guidare gli studenti attraverso le loro sfide quotidiane di studio, con piani di studio personalizzati, quiz o contenuti nella chat e una personalizzazione al 100% basata sulle competenze e sugli sviluppi degli studenti.

Dove posso scaricare l'applicazione Knowunity?

È possibile scaricare l'applicazione dal Google Play Store e dall'Apple App Store.

Knowunity è davvero gratuita?

Sì, hai accesso completamente gratuito a tutti i contenuti nell'app e puoi chattare o seguire i Creatori in qualsiasi momento. Sbloccherai nuove funzioni crescendo il tuo numero di follower. Inoltre, offriamo Knowunity Premium, che consente di studiare senza alcun limite!!

Non c'è niente di adatto? Esplorare altre aree tematiche.

Recensioni dei nostri utenti. Ci adorano - e anche tu, vedrai .

4.9/5

App Store

4.8/5

Google Play

L'applicazione è molto facile da usare e ben progettata. Finora ho trovato tutto quello che cercavo e ho potuto imparare molto dalle presentazioni! Utilizzerò sicuramente l'app per i compiti in classe! È molto utile anche come fonte di ispirazione.

Stefano S

utente iOS

Questa applicazione è davvero grande! Ci sono tantissimi appunti e aiuti con lo studio [...]. La mia materia problematica, per esempio, è il francese e l'app ha così tante opzioni per aiutarmi. Grazie a questa app ho migliorato il mio francese. La consiglio a tutti.

Samantha Klich

utente Android

Wow, sono davvero stupita. Ho appena provato l'app perché l'ho vista pubblicizzata molte volte e sono rimasta assolutamente sbalordita. Questa app è L'AIUTO che cercate per la scuola e soprattutto offre tantissime cose, come allenamenti e schede, che a me personalmente sono state MOLTO utili.

Anna

utente iOS

È bellissima questa app, la adoro. È utilissima per lo studio e mi aiuta molto, anzi moltissimo, ma soprattutto mi aiutano molto i quiz, per memorizzare anche quello che non sapevo

Anastasia

utente Android

Fantastica per qualsiasi materia avere gli appunti anche di altre persone è molto utile perchè posso confrontarmi e vedere come migliorarmi. con i quiz riesco ad apprendere al meglio.

Francesca

utente Android

moooolto utile,gli appunti sono belli e funzionanti,schoolGPT da dei consigli formidabili!!

Marianna

utente Android

L'applicazione è semplicemente fantastica! Tutto ciò che devo fare è inserire l'argomento nella barra di ricerca e ottengo la risposta molto velocemente. Non devo guardare 10 video di YouTube per capire qualcosa, quindi risparmio tempo. Consigliatissima!

Sudenaz Ocak

utente Android

A scuola andavo malissimo in matematica, ma grazie a questa applicazione ora vado meglio. Vi sono molto grato per aver creato questa app.

Greenlight Bonnie

utente Android

Knowunity è un applicazione fantastica,considerando che ha degli schemi veramente molto carini e sfiziosi e che ci sono dei quiz,oltre al fatto che questa cosa dell intelligenza artificiale "school gpt" è almeno per me molto utile, perché a differenza di Chatgpt ti da le spiegazioni, ti spiega ciò che non è chiaro! Posso studiare più velocemente tramite gli schemi e che posso pubblicare io stessa gli schemi è una funzione utilissima per gli altri studenti. Knowunity è PERFETTA

Aurora

utente Android

L’app funziona benissimo e puoi trovare qualsiasi tipo di informazione. Non ho l’abbonamento ma la parte gratuita è sufficiente per uno studio approfondito.

Martina

utente iOS

in questi ultimi mesi di scuola dove il tempo è ormai poco, mi sta aiutando molto perché piuttosto che farmi io gli schemi su quello che leggo sul libro guardo questi già fatti e li uso come ripasso piuttosto che rileggermi tutto il libro

Chiara

utente IOS

Questa app è una delle migliori, nient’altro da dire.

Andrea

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L'applicazione è molto facile da usare e ben progettata. Finora ho trovato tutto quello che cercavo e ho potuto imparare molto dalle presentazioni! Utilizzerò sicuramente l'app per i compiti in classe! È molto utile anche come fonte di ispirazione.

Stefano S

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Questa applicazione è davvero grande! Ci sono tantissimi appunti e aiuti con lo studio [...]. La mia materia problematica, per esempio, è il francese e l'app ha così tante opzioni per aiutarmi. Grazie a questa app ho migliorato il mio francese. La consiglio a tutti.

Samantha Klich

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Wow, sono davvero stupita. Ho appena provato l'app perché l'ho vista pubblicizzata molte volte e sono rimasta assolutamente sbalordita. Questa app è L'AIUTO che cercate per la scuola e soprattutto offre tantissime cose, come allenamenti e schede, che a me personalmente sono state MOLTO utili.

Anna

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È bellissima questa app, la adoro. È utilissima per lo studio e mi aiuta molto, anzi moltissimo, ma soprattutto mi aiutano molto i quiz, per memorizzare anche quello che non sapevo

Anastasia

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Fantastica per qualsiasi materia avere gli appunti anche di altre persone è molto utile perchè posso confrontarmi e vedere come migliorarmi. con i quiz riesco ad apprendere al meglio.

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moooolto utile,gli appunti sono belli e funzionanti,schoolGPT da dei consigli formidabili!!

Marianna

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L'applicazione è semplicemente fantastica! Tutto ciò che devo fare è inserire l'argomento nella barra di ricerca e ottengo la risposta molto velocemente. Non devo guardare 10 video di YouTube per capire qualcosa, quindi risparmio tempo. Consigliatissima!

Sudenaz Ocak

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A scuola andavo malissimo in matematica, ma grazie a questa applicazione ora vado meglio. Vi sono molto grato per aver creato questa app.

Greenlight Bonnie

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Knowunity è un applicazione fantastica,considerando che ha degli schemi veramente molto carini e sfiziosi e che ci sono dei quiz,oltre al fatto che questa cosa dell intelligenza artificiale "school gpt" è almeno per me molto utile, perché a differenza di Chatgpt ti da le spiegazioni, ti spiega ciò che non è chiaro! Posso studiare più velocemente tramite gli schemi e che posso pubblicare io stessa gli schemi è una funzione utilissima per gli altri studenti. Knowunity è PERFETTA

Aurora

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L’app funziona benissimo e puoi trovare qualsiasi tipo di informazione. Non ho l’abbonamento ma la parte gratuita è sufficiente per uno studio approfondito.

Martina

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in questi ultimi mesi di scuola dove il tempo è ormai poco, mi sta aiutando molto perché piuttosto che farmi io gli schemi su quello che leggo sul libro guardo questi già fatti e li uso come ripasso piuttosto che rileggermi tutto il libro

Chiara

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Questa app è una delle migliori, nient’altro da dire.

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Arianna Battaglia

@ariannabattaglia_27

Le disequazioni fratte sono uno degli argomenti più importanti dell'algebra, ma non devi avere paura! Una volta che capisci il metodo step-by-step, risolverle diventa molto più semplice di quanto sembri.

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Come Risolvere le Disequazioni Fratte

Le disequazioni fratte contengono una frazione con l'incognita al denominatore. Il trucco è seguire sempre lo stesso procedimento!

Prendiamo l'esempio: 2x23x+1x210\frac{2x^2 - 3x + 1}{x^2 - 1} \leq 0

Il primo step è trovare le condizioni di esistenza: il denominatore non può mai essere zero! Quindi risolvi x210x^2 - 1 \neq 0. Usando la differenza di quadrati ottieni (x+1)(x1)0(x+1)(x-1) \neq 0, quindi x1x \neq -1 e x1x \neq 1.

💡 Ricorda: Le condizioni di esistenza sono fondamentali - senza di esse la frazione non ha senso!

Il secondo step è lo studio del segno separato di numeratore e denominatore. Per il numeratore usi il segno originale (≥ se c'è ≤), per il denominatore sempre > 0.

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Studio del Segno - Parte Pratica

Per studiare il segno del numeratore 2x23x+102x^2 - 3x + 1 \geq 0, puoi usare Ruffini. Provi con x=1x = 1: P(1)=23+1=0P(1) = 2 - 3 + 1 = 0. Perfetto!

Applicando Ruffini ottieni (2x1)(x1)0(2x - 1)(x - 1) \geq 0. Questo significa:

  • 2x10x122x - 1 \geq 0 \Rightarrow x \geq \frac{1}{2}
  • x10x1x - 1 \geq 0 \Rightarrow x \geq 1

Per il denominatore x21>0x^2 - 1 > 0, hai già la scomposizione (x+1)(x1)>0(x + 1)(x - 1) > 0:

  • x+1>0x>1x + 1 > 0 \Rightarrow x > -1
  • x1>0x>1x - 1 > 0 \Rightarrow x > 1

💡 Trucco: Il denominatore ha sempre segno strettamente positivo, qualunque sia il segno iniziale della disequazione!

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Per il numeratore: positivo per x12x \leq \frac{1}{2} e x1x \geq 1 Per il denominatore: positivo per x<1x < -1 e x>1x > 1

Il quarto step è guardare dove la frazione ha il segno che ti serve. Dato che la disequazione originale era 0\leq 0, cerchi dove è negativa.

💡 Attenzione: Non dimenticare mai le condizioni di esistenza quando scrivi la soluzione finale!

Dal disegno vedi che la frazione è negativa per 1<x<12-1 < x < \frac{1}{2}. Questa è la tua soluzione!

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Sistemi di Disequazioni

I sistemi di disequazioni richiedono un approccio diverso. Prendi l'esempio: \begin{cases} x+1 \leq 0\ xx22x+1x^2-2x+1 < 0 \end{cases}

Non ci sono condizioni di esistenza perché le disequazioni non sono fratte.

Per lo studio del segno:

  1. x+10x1x + 1 \leq 0 \Rightarrow x \leq -1
  2. x(x22x+1)<0x(x^2-2x+1) < 0

La seconda disequazione è più complessa! Riconosci che x22x+1=(x1)2x^2-2x+1 = (x-1)^2, un quadrato perfetto.

💡 Ricorda: Un quadrato è sempre ≥ 0, quindi (x1)2>0(x-1)^2 > 0 per ogni x1x \neq 1!

Quindi hai x(x1)2<0x \cdot (x-1)^2 < 0, che è negativo solo quando x<0x < 0 escluso $x = 1$.

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Risolvere il Sistema - Step Finali

Ora hai le soluzioni separate:

  • Prima disequazione: x1x \leq -1
  • Seconda disequazione: x<0x < 0 con $x \neq 1$

Il disegno delle soluzioni ti aiuta a visualizzare. Segna sulla retta:

  • Per ①: tutto a sinistra di 1-1 (incluso)
  • Per ②: tutto a sinistra di 00 (escluso)

La soluzione del sistema è l'intersezione delle due soluzioni individuali.

💡 Metodo: In un sistema cerchi dove le soluzioni si "sovrappongono"!

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Recensioni dei nostri utenti. Ci adorano - e anche tu, vedrai .

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L'applicazione è molto facile da usare e ben progettata. Finora ho trovato tutto quello che cercavo e ho potuto imparare molto dalle presentazioni! Utilizzerò sicuramente l'app per i compiti in classe! È molto utile anche come fonte di ispirazione.

Stefano S

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Anastasia

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Sudenaz Ocak

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Greenlight Bonnie

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Aurora

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Martina

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