Matematica

Disequazioni Lineari nel Piano Cartesiano

Sistema di Disequazioni

9158

•

2 feb 2026

•

6 pagine

Guida alle Disequazioni Fratte e ai Sistemi di Disequazioni

Arianna Battaglia

@ariannabattaglia_27

Le disequazioni fratte sono uno degli argomenti più importanti dell'algebra,... Mostra di più

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$# Disequazioni Fratte ES. $\frac{2x^2-3x+1}{x^2-1} \leq 0$ SUOLGIMENT 1. TROVARE LE CONDIZIONI DI ESISTENZA * DENOMINATORE $\neq 0$$

Come Risolvere le Disequazioni Fratte

Le disequazioni fratte contengono una frazione con l'incognita al denominatore. Il trucco è seguire sempre lo stesso procedimento!

Prendiamo l'esempio: $\frac{2x^2 - 3x + 1}{x^2 - 1} \leq 0$

Il primo step è trovare le condizioni di esistenza: il denominatore non può mai essere zero! Quindi risolvi $x^2 - 1 \neq 0$ . Usando la differenza di quadrati ottieni $(x+1)(x-1) \neq 0$ , quindi $x \neq -1$ e $x \neq 1$ .

💡 Ricorda: Le condizioni di esistenza sono fondamentali - senza di esse la frazione non ha senso!

Il secondo step è lo studio del segno separato di numeratore e denominatore. Per il numeratore usi il segno originale (≥ se c'è ≤), per il denominatore sempre > 0.

$# Disequazioni Fratte ES. $\frac{2x^2-3x+1}{x^2-1} \leq 0$ SUOLGIMENT 1. TROVARE LE CONDIZIONI DI ESISTENZA * DENOMINATORE $\neq 0$$

Studio del Segno - Parte Pratica

Per studiare il segno del numeratore $2x^2 - 3x + 1 \geq 0$, puoi usare Ruffini. Provi con $x = 1$ : $P(1) = 2 - 3 + 1 = 0$ . Perfetto!

Applicando Ruffini ottieni $(2x - 1)(x - 1) \geq 0$ . Questo significa:

$2x - 1 \geq 0 \Rightarrow x \geq \frac{1}{2}$
$x - 1 \geq 0 \Rightarrow x \geq 1$

Per il denominatore $x^2 - 1 > 0$ , hai già la scomposizione $(x + 1)(x - 1) > 0$ :

$x + 1 > 0 \Rightarrow x > -1$
$x - 1 > 0 \Rightarrow x > 1$

💡 Trucco: Il denominatore ha sempre segno strettamente positivo, qualunque sia il segno iniziale della disequazione!

$# Disequazioni Fratte ES. $\frac{2x^2-3x+1}{x^2-1} \leq 0$ SUOLGIMENT 1. TROVARE LE CONDIZIONI DI ESISTENZA * DENOMINATORE $\neq 0$$

Il Disegno del Segno

Ora devi fare il disegno del segno sulla retta dei numeri. Segna tutti i punti critici: $-1$ , $\frac{1}{2}$ , $1$.

Per il numeratore: positivo per $x \leq \frac{1}{2}$ e $x \geq 1$ Per il denominatore: positivo per $x < -1$ e $x > 1$

Il quarto step è guardare dove la frazione ha il segno che ti serve. Dato che la disequazione originale era $\leq 0$ , cerchi dove è negativa.

💡 Attenzione: Non dimenticare mai le condizioni di esistenza quando scrivi la soluzione finale!

Dal disegno vedi che la frazione è negativa per $-1 < x < \frac{1}{2}$ . Questa è la tua soluzione!

$# Disequazioni Fratte ES. $\frac{2x^2-3x+1}{x^2-1} \leq 0$ SUOLGIMENT 1. TROVARE LE CONDIZIONI DI ESISTENZA * DENOMINATORE $\neq 0$$

Sistemi di Disequazioni

I sistemi di disequazioni richiedono un approccio diverso. Prendi l'esempio: \begin{cases} x+1 \leq 0\ x $x^2-2x+1$ < 0 \end{cases}

Non ci sono condizioni di esistenza perché le disequazioni non sono fratte.

Per lo studio del segno:

$x + 1 \leq 0 \Rightarrow x \leq -1$
$x(x^2-2x+1) < 0$

La seconda disequazione è più complessa! Riconosci che $x^2-2x+1 = (x-1)^2$ , un quadrato perfetto.

💡 Ricorda: Un quadrato è sempre ≥ 0, quindi $(x-1)^2 > 0$ per ogni $x \neq 1$ !

Quindi hai $x \cdot (x-1)^2 < 0$ , che è negativo solo quando $x < 0$ $escluso $x = 1$$ .

$# Disequazioni Fratte ES. $\frac{2x^2-3x+1}{x^2-1} \leq 0$ SUOLGIMENT 1. TROVARE LE CONDIZIONI DI ESISTENZA * DENOMINATORE $\neq 0$$

Risolvere il Sistema - Step Finali

Ora hai le soluzioni separate:

Prima disequazione: $x \leq -1$
Seconda disequazione: $x < 0$ $con $x \neq 1$$

Il disegno delle soluzioni ti aiuta a visualizzare. Segna sulla retta:

Per ①: tutto a sinistra di $-1$ (incluso)
Per ②: tutto a sinistra di $0$ (escluso)

La soluzione del sistema è l'intersezione delle due soluzioni individuali.

💡 Metodo: In un sistema cerchi dove le soluzioni si "sovrappongono"!

Guardando il disegno, le due condizioni sono soddisfatte insieme solo quando $x \leq -1$ . Questa è la tua risposta finale!

$# Disequazioni Fratte ES. $\frac{2x^2-3x+1}{x^2-1} \leq 0$ SUOLGIMENT 1. TROVARE LE CONDIZIONI DI ESISTENZA * DENOMINATORE $\neq 0$$

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