Guida alle Disequazioni Fratte e ai Sistemi di Disequazioni

Come Risolvere le Disequazioni Fratte

Le disequazioni fratte contengono una frazione con l'incognita al denominatore. Il trucco è seguire sempre lo stesso procedimento!

Prendiamo l'esempio: $\frac{2x^2 - 3x + 1}{x^2 - 1} \leq 0$

Il primo step è trovare le condizioni di esistenza: il denominatore non può mai essere zero! Quindi risolvi $x^2 - 1 \neq 0$. Usando la differenza di quadrati ottieni $(x+1)(x-1) \neq 0$, quindi $x \neq -1$ e $x \neq 1$.

💡 Ricorda: Le condizioni di esistenza sono fondamentali - senza di esse la frazione non ha senso!

Il secondo step è lo studio del segno separato di numeratore e denominatore. Per il numeratore usi il segno originale (≥ se c'è ≤), per il denominatore sempre > 0.

Studio del Segno - Parte Pratica

Per studiare il segno del numeratore $2x^2 - 3x + 1 \geq 0$, puoi usare Ruffini. Provi con $x = 1$: $P(1) = 2 - 3 + 1 = 0$. Perfetto!

Applicando Ruffini ottieni $(2x - 1)(x - 1) \geq 0$. Questo significa:

• $2x - 1 \geq 0 \Rightarrow x \geq \frac{1}{2}$
• $x - 1 \geq 0 \Rightarrow x \geq 1$

Per il denominatore $x^2 - 1 > 0$, hai già la scomposizione $(x + 1)(x - 1) > 0$:

• $x + 1 > 0 \Rightarrow x > -1$
• $x - 1 > 0 \Rightarrow x > 1$

💡 Trucco: Il denominatore ha sempre segno strettamente positivo, qualunque sia il segno iniziale della disequazione!

Il Disegno del Segno

Ora devi fare il disegno del segno sulla retta dei numeri. Segna tutti i punti critici: $-1$, $\frac{1}{2}$, $1$.

Per il numeratore: positivo per $x \leq \frac{1}{2}$ e $x \geq 1$ Per il denominatore: positivo per $x < -1$ e $x > 1$

Il quarto step è guardare dove la frazione ha il segno che ti serve. Dato che la disequazione originale era $\leq 0$, cerchi dove è negativa.

💡 Attenzione: Non dimenticare mai le condizioni di esistenza quando scrivi la soluzione finale!

Dal disegno vedi che la frazione è negativa per $-1 < x < \frac{1}{2}$. Questa è la tua soluzione!

Sistemi di Disequazioni

I sistemi di disequazioni richiedono un approccio diverso. Prendi l'esempio: $\begin{cases} x+1 \leq 0\\ x(x^2-2x+1) < 0 \end{cases}$

Non ci sono condizioni di esistenza perché le disequazioni non sono fratte.

Per lo studio del segno:

1. $x + 1 \leq 0 \Rightarrow x \leq -1$
2. $x(x^2-2x+1) < 0$

La seconda disequazione è più complessa! Riconosci che $x^2-2x+1 = (x-1)^2$, un quadrato perfetto.

💡 Ricorda: Un quadrato è sempre ≥ 0, quindi $(x-1)^2 > 0$ per ogni $x \neq 1$!

Quindi hai $x \cdot (x-1)^2 < 0$, che è negativo solo quando $x < 0$ (escluso $x = 1$).

Risolvere il Sistema - Step Finali

Ora hai le soluzioni separate:

• Prima disequazione: $x \leq -1$
• Seconda disequazione: $x < 0$ (con $x \neq 1$)

Il disegno delle soluzioni ti aiuta a visualizzare. Segna sulla retta:

• Per ①: tutto a sinistra di $-1$ (incluso)
• Per ②: tutto a sinistra di $0$ (escluso)

La soluzione del sistema è l'intersezione delle due soluzioni individuali.

💡 Metodo: In un sistema cerchi dove le soluzioni si "sovrappongono"!

Guardando il disegno, le due condizioni sono soddisfatte insieme solo quando $x \leq -1$. Questa è la tua risposta finale!