Disequazioni di 2° grado e la parabola

Per risolvere le disequazioni di secondo grado, è essenziale capire la parabola. Ogni parabola è associata a un'equazione del tipo y = ax² + bx + c.

La forma della parabola dipende dal valore di a: se a > 0, la concavità è rivolta verso l'alto; se a < 0, è rivolta verso il basso. I punti in cui la parabola interseca l'asse x dipendono dal valore del discriminante Δ:

• Con Δ > 0: la parabola interseca l'asse x in due punti
• Con Δ = 0: la parabola tocca l'asse x in un solo punto (soluzione doppia)
• Con Δ < 0: la parabola non interseca mai l'asse x

Vediamo un esempio: -x² + 3x - 2 > 0. Per risolverla, troviamo prima le soluzioni dell'equazione -x² + 3x - 2 = 0. Calcolando il discriminante Δ = 9 - 8 = 1, otteniamo le due soluzioni x = 1 e x = 2.

💡 Trucco utile: Disegna sempre la parabola! Ti aiuterà a visualizzare immediatamente dove si trovano le soluzioni della disequazione.

Analisi grafica delle soluzioni

Una volta trovati i punti in cui la parabola interseca l'asse x, possiamo determinare in quali intervalli la disequazione è soddisfatta.

Per la disequazione -x² + 3x - 2 > 0, abbiamo trovato i punti x = 1 e x = 2. Poiché la concavità è verso il basso (a < 0), la parabola è sopra l'asse x (quindi y > 0) nell'intervallo tra questi due valori.

Ricorda che i punti di intersezione non sono inclusi nella soluzione perché la disequazione richiede un valore strettamente maggiore di zero (abbiamo il simbolo > e non ≥).

Per verificare la tua soluzione, puoi scegliere un punto qualsiasi nell'intervallo che hai trovato e sostituirlo nella disequazione originale: se la disuguaglianza è soddisfatta, hai risolto correttamente!

🔍 Attenzione: La posizione della parabola rispetto all'asse x determina le zone in cui la disequazione è vera. Se cerchi dove y > 0, devi trovare dove la parabola sta sopra l'asse x!

La soluzione della disequazione -x² + 3x - 2 > 0 è quindi: 1 < x < 2 (o in notazione insiemistica: x ∈ (1, 2)).

Disequazioni fratte di secondo grado

Le disequazioni fratte richiedono un'analisi separata del numeratore e del denominatore. Prendiamo l'esempio: $2x-1$/$6x²+x-5$ < 0

Dobbiamo studiare quando numeratore e denominatore sono positivi o negativi:

1. Per il numeratore: 2x-1 > 0 → x > 1/2
2. Per il denominatore: 6x²+x-5 > 0

Per risolvere il denominatore, calcoliamo il discriminante dell'equazione 6x²+x-5 = 0: Δ = 1 + 120 = 121 Troviamo x₁ = -1 e x₂ = 5/6

Il denominatore è positivo quando x < -1 o x > 5/6, poiché la parabola ha concavità verso l'alto (a > 0).

Ora costruiamo il grafico del segno inserendo queste informazioni:

• Numeratore: cambia segno in x = 1/2
• Denominatore: cambia segno in x = -1 e x = 5/6

🧠 Ricorda: Una frazione è negativa quando numeratore e denominatore hanno segni opposti!

La disequazione originale $2x-1$/$6x²+x-5$ < 0 è soddisfatta quando:

• -1 < x < 1/2 oppure x > 5/6

Attenzione ai punti x = -1 e x = 5/6: sono esclusi perché il denominatore non può essere zero!

Sistemi con disequazioni di secondo grado

Per risolvere un sistema di disequazioni fratte come: $x+1$/$x²+2$ > 0 $x+1$/$x²-1$ > 0

Analizziamo separatamente ogni disequazione:

Per la prima disequazione:

• Numeratore: x+1 > 0 → x > -1
• Denominatore: x²+2 > 0 (sempre vero per ogni x reale) Quindi $x+1$/$x²+2$ > 0 quando x > -1.

Per la seconda disequazione:

• Numeratore: x+1 > 0 → x > -1
• Denominatore: x²-1 > 0 → x < -1 o x > 1 Quindi $x+1$/$x²-1$ > 0 quando x > 1.

Costruiamo ora il grafico del sistema combinando le soluzioni delle due disequazioni. La soluzione del sistema sarà l'intersezione delle singole soluzioni.

🔑 Strategia vincente: Nei sistemi, cerca sempre le zone del grafico dove tutte le disequazioni sono simultaneamente soddisfatte!

La soluzione del sistema è quindi x > 1, cioè l'insieme di valori che soddisfa contemporaneamente entrambe le disequazioni.