Le disequazioni lineari sono uno strumento matematico fondamentale che ti...
Matematica7240 visualizzazioni·Aggiornato 4 lug 2026·33 pagineGuida Completa alle Disequazioni
Alessia Cecchin@alessiacecchin_
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Introduzione alle Disequazioni Lineari
Le disequazioni lineari funzionano quasi come le equazioni, ma invece dell'uguale usi i simboli <, ≤, > e ≥. La differenza principale? Invece di un singolo valore, trovi un intervallo di soluzioni.
Prendi l'esempio 5 < 2. Prima svolgi le moltiplicazioni: 5x - 5 < 2x - 6. Poi sposti tutti i termini con x da una parte: 5x - 2x < 5 - 6, ottenendo 3x < -1.
Dividi per 3 e ottieni x < -1/3. Questo significa che tutti i numeri minori di -1/3 sono soluzioni valide!
Ricorda: Quando dividi o moltiplichi per un numero negativo, il verso della disequazione si inverte!
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Disequazioni con Frazioni
Quando hai le frazioni nelle disequazioni, il trucco è trovare un denominatore comune. Nell'esempio /2 > /4, moltiplichi il primo termine per 2/2 per avere lo stesso denominatore.
Ottieni /4 > /4. Ora puoi eliminare i denominatori e lavorare con 14x - 2 > -2x + 1. Raccogli i termini: 14x + 2x > 2 + 1, quindi 16x > 3 e infine x > 3/16.
Le frazioni rendono tutto più complicato, ma il procedimento resta identico: isola la x e mantieni il verso corretto della disequazione.
Trucco: Quando hai frazioni, trova subito il denominatore comune per semplificare i calcoli!
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Casi Particolari: Equazioni Indeterminate
A volte, risolvendo una disequazione, arrivi a situazioni strane come 0 ≤ 1 (sempre vera) o 0 > 5 (sempre falsa). Questi sono casi particolari che devi saper riconoscere.
Quando ottieni una disuguaglianza sempre vera (come 0 ≤ 1), significa che ogni numero reale è soluzione. Se ottieni una disuguaglianza sempre falsa, allora non esistono soluzioni.
Nell'esempio 2 + 3 < -7, dopo tutti i passaggi arrivi a 5x < 1, quindi x < 1/5. Questa è una soluzione normale, non un caso particolare.
Attenzione: Se dopo tutti i calcoli la x scompare, hai trovato un'equazione indeterminata!
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Disequazioni Complesse
Le disequazioni più complicate richiedono pazienza e ordine. Nell'esempio 4 + 2² > 3x - 2x - 3, devi prima sviluppare tutti i prodotti notevoli e le moltiplicazioni.
Sviluppa con calma: il termine 2² diventa 2 = 18x² + 2 - 12x. Poi raccogli tutti i termini simili da entrambi i lati della disequazione.
Alla fine ottieni -5x > -1, che diventa x < 1/5 (ricorda di cambiare il verso quando dividi per -5!). Anche se sembra complicata, ogni disequazione si risolve con gli stessi passaggi base.
Metodo: Affronta le disequazioni complesse un pezzo alla volta, senza fretta!
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Il Segno di un Prodotto
Quando hai prodotti nelle disequazioni come x-1$$x+3 > 0, devi studiare il segno di ciascun fattore separatamente. Questo metodo si chiama studio del segno.
Prima risolvi x - 1 > 0, che dà x > 1. Poi risolvi x + 3 > 0, che dà x > -3. Ora devi capire quando il loro prodotto è positivo.
Il prodotto di due numeri è positivo quando hanno lo stesso segno: entrambi positivi o entrambi negativi. Questo ti aiuterà a trovare gli intervalli di soluzione.
Concetto chiave: Il prodotto è positivo quando i fattori hanno lo stesso segno!
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Tabella dei Segni
Per risolvere x-1$$x+3 > 0, costruisci una tabella dei segni. Sulla prima riga segna i valori che annullano ogni fattore: -3 e 1.
Studia il segno di ogni fattore negli intervalli: per x < -3, per -3 < x < 1, e per x > 1. Il fattore è negativo quando x < 1, positivo quando x > 1.
Il prodotto finale è positivo quando entrambi i fattori sono positivi (x > 1) o entrambi negativi . Quindi la soluzione è x < -3 ∨ x > 1.
Visualizza: La tabella dei segni ti fa vedere chiaramente dove il prodotto è positivo o negativo!
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Disequazioni con Fattori Negativi
Quando hai coefficienti negativi come in -4-x$$-x-1 > 0, puoi cambiare tutti i segni e invertire il verso della disequazione. Diventa 4-x$$-x-1 < 0.
Riscrivi in forma standard: 4 - x = 0 dà x = 4, mentre -x - 1 = 0 dà x = -1. Ora hai i punti critici per costruire la tabella dei segni.
Studia quando e hanno segni opposti, perché vuoi che il loro prodotto sia negativo. Questo ti darà l'intervallo di soluzioni.
Trucco: Cambiare tutti i segni spesso semplifica i calcoli!
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Semplificazione dei Segni
Nell'esempio -x < 0, puoi moltiplicare entrambi i membri per -1 per eliminare il segno negativo davanti. Ottieni x > 0 (ricorda di invertire il verso!).
Ora studi quando x > 0 e quando 2-x > 0 (cioè x < 2). Il prodotto è positivo quando entrambi i fattori hanno lo stesso segno.
La soluzione finale è 0 < x < 2, perché in questo intervallo sia x che sono positivi.
Strategia: Elimina i segni negativi moltiplicando per -1 e cambiando il verso!
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Disequazioni Non Strette
Quando hai il simbolo ≤ o ≥, devi includere anche i punti dove l'espressione vale zero. Per x+4$$x-9 ≤ 0, trova prima i punti critici: x = -4 e x = 9.
Costruisci la tabella dei segni come al solito, ma questa volta includi i punti dove il prodotto si annulla. Usa il pallino pieno per indicare che questi valori fanno parte della soluzione.
La soluzione diventa -4 ≤ x ≤ 9, un intervallo chiuso che include gli estremi.
Importante: Con ≤ e ≥ includi sempre i punti dove l'espressione vale zero!
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Prodotti con Tre Fattori
Per 3x-1$$5x-4 ≤ 0, hai tre fattori da considerare. Il coefficiente 3 è sempre positivo, quindi puoi ignorarlo e studiare x-1$$5x-4 ≤ 0.
I punti critici sono x = 1 e x = 4/5. Costruisci la tabella dei segni considerando tutti gli intervalli: x < 4/5, 4/5 < x < 1, e x > 1.
Il prodotto è negativo o zero negli intervalli dove i fattori hanno segni opposti, includendo i punti critici per il simbolo ≤.
Metodo: Con più fattori, la tabella dei segni diventa più grande ma il principio resta uguale!
Pensavamo che non l'avreste mai chiesto....
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L'applicazione è molto facile da usare e ben progettata. Finora ho trovato tutto quello che cercavo e ho potuto imparare molto dalle presentazioni! Utilizzerò sicuramente l'app per i compiti in classe! È molto utile anche come fonte di ispirazione.
Stefano Sutente iOS
Questa applicazione è davvero grande! Ci sono tantissimi appunti e aiuti con lo studio [...]. La mia materia problematica, per esempio, è il francese e l'app ha così tante opzioni per aiutarmi. Grazie a questa app ho migliorato il mio francese. La consiglio a tutti.
Samantha Klichutente Android
Wow, sono davvero stupita. Ho appena provato l'app perché l'ho vista pubblicizzata molte volte e sono rimasta assolutamente sbalordita. Questa app è L'AIUTO che cercate per la scuola e soprattutto offre tantissime cose, come allenamenti e schede, che a me personalmente sono state MOLTO utili.
Annautente iOS
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Alessia Cecchin@alessiacecchin_
Le disequazioni lineari sono uno strumento matematico fondamentale che ti permette di trovare tutti i valori di x che rendono vera una disuguaglianza. Imparerai a risolverle passo dopo passo e a rappresentare graficamente le soluzioni.
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Introduzione alle Disequazioni Lineari
Le disequazioni lineari funzionano quasi come le equazioni, ma invece dell'uguale usi i simboli <, ≤, > e ≥. La differenza principale? Invece di un singolo valore, trovi un intervallo di soluzioni.
Prendi l'esempio 5 < 2. Prima svolgi le moltiplicazioni: 5x - 5 < 2x - 6. Poi sposti tutti i termini con x da una parte: 5x - 2x < 5 - 6, ottenendo 3x < -1.
Dividi per 3 e ottieni x < -1/3. Questo significa che tutti i numeri minori di -1/3 sono soluzioni valide!
Ricorda: Quando dividi o moltiplichi per un numero negativo, il verso della disequazione si inverte!
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Disequazioni con Frazioni
Quando hai le frazioni nelle disequazioni, il trucco è trovare un denominatore comune. Nell'esempio /2 > /4, moltiplichi il primo termine per 2/2 per avere lo stesso denominatore.
Ottieni /4 > /4. Ora puoi eliminare i denominatori e lavorare con 14x - 2 > -2x + 1. Raccogli i termini: 14x + 2x > 2 + 1, quindi 16x > 3 e infine x > 3/16.
Le frazioni rendono tutto più complicato, ma il procedimento resta identico: isola la x e mantieni il verso corretto della disequazione.
Trucco: Quando hai frazioni, trova subito il denominatore comune per semplificare i calcoli!
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Casi Particolari: Equazioni Indeterminate
A volte, risolvendo una disequazione, arrivi a situazioni strane come 0 ≤ 1 (sempre vera) o 0 > 5 (sempre falsa). Questi sono casi particolari che devi saper riconoscere.
Quando ottieni una disuguaglianza sempre vera (come 0 ≤ 1), significa che ogni numero reale è soluzione. Se ottieni una disuguaglianza sempre falsa, allora non esistono soluzioni.
Nell'esempio 2 + 3 < -7, dopo tutti i passaggi arrivi a 5x < 1, quindi x < 1/5. Questa è una soluzione normale, non un caso particolare.
Attenzione: Se dopo tutti i calcoli la x scompare, hai trovato un'equazione indeterminata!
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Disequazioni Complesse
Le disequazioni più complicate richiedono pazienza e ordine. Nell'esempio 4 + 2² > 3x - 2x - 3, devi prima sviluppare tutti i prodotti notevoli e le moltiplicazioni.
Sviluppa con calma: il termine 2² diventa 2 = 18x² + 2 - 12x. Poi raccogli tutti i termini simili da entrambi i lati della disequazione.
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Il Segno di un Prodotto
Quando hai prodotti nelle disequazioni come x-1$$x+3 > 0, devi studiare il segno di ciascun fattore separatamente. Questo metodo si chiama studio del segno.
Prima risolvi x - 1 > 0, che dà x > 1. Poi risolvi x + 3 > 0, che dà x > -3. Ora devi capire quando il loro prodotto è positivo.
Il prodotto di due numeri è positivo quando hanno lo stesso segno: entrambi positivi o entrambi negativi. Questo ti aiuterà a trovare gli intervalli di soluzione.
Concetto chiave: Il prodotto è positivo quando i fattori hanno lo stesso segno!
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Tabella dei Segni
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Studia il segno di ogni fattore negli intervalli: per x < -3, per -3 < x < 1, e per x > 1. Il fattore è negativo quando x < 1, positivo quando x > 1.
Il prodotto finale è positivo quando entrambi i fattori sono positivi (x > 1) o entrambi negativi . Quindi la soluzione è x < -3 ∨ x > 1.
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Disequazioni Non Strette
Quando hai il simbolo ≤ o ≥, devi includere anche i punti dove l'espressione vale zero. Per x+4$$x-9 ≤ 0, trova prima i punti critici: x = -4 e x = 9.
Costruisci la tabella dei segni come al solito, ma questa volta includi i punti dove il prodotto si annulla. Usa il pallino pieno per indicare che questi valori fanno parte della soluzione.
La soluzione diventa -4 ≤ x ≤ 9, un intervallo chiuso che include gli estremi.
Importante: Con ≤ e ≥ includi sempre i punti dove l'espressione vale zero!
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Prodotti con Tre Fattori
Per 3x-1$$5x-4 ≤ 0, hai tre fattori da considerare. Il coefficiente 3 è sempre positivo, quindi puoi ignorarlo e studiare x-1$$5x-4 ≤ 0.
I punti critici sono x = 1 e x = 4/5. Costruisci la tabella dei segni considerando tutti gli intervalli: x < 4/5, 4/5 < x < 1, e x > 1.
Il prodotto è negativo o zero negli intervalli dove i fattori hanno segni opposti, includendo i punti critici per il simbolo ≤.
Metodo: Con più fattori, la tabella dei segni diventa più grande ma il principio resta uguale!
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