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Guida al Studio di Funzione: Passaggi e Metodi

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Esther Mozie

14/11/2025

Matematica

Studio di funzione

Materie

Matematica

Relazioni e funzioni

Studi di funzione e problemi

Comportamento della derivata seconda e informazione sui punti di flesso, di convessità e concavità del grafivo di una funzione

2576

•

14 nov 2025

•

4 pagine

Guida al Studio di Funzione: Passaggi e Metodi

E

Esther Mozie

@stherozie_k71o650qe2

Lo studio di funzione è uno degli argomenti più importanti... Mostra di più

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. STORAZIONE CLASSIFICAZIONE DELLE FUNZIONI INTERE ALGEBRICHE FUNZIONI TRASCENDENTI razionali irrazionali FRATE crazionali irrazionall 2 x²+

Classificazione delle Funzioni e Studio del Dominio

Prima di tutto, devi saper classificare le funzioni per capire come approcciarle. Le funzioni si dividono in algebriche (con operazioni come addizione, moltiplicazione, radici) e trascendenti (esponenziali, logaritmiche, goniometriche).

Il primo passo dello studio è sempre trovare il dominio. Per le funzioni razionali intere come y=x4−x2y = x^4 - x^2, il dominio è sempre R\mathbb{R}. Per quelle fratte, devi escludere i valori che annullano il denominatore.

Le funzioni irrazionali con indice pari richiedono che l'argomento sia non negativo, mentre quelle con indice dispari sono definite ovunque. Per i logaritmi, ricorda che l'argomento deve essere sempre positivo.

Trucco importante: Per le funzioni goniometriche, seno e coseno sono sempre definiti, mentre la tangente ha problemi quando l'argomento vale π2+kπ\frac{\pi}{2} + k\pi.

. STORAZIONE CLASSIFICAZIONE DELLE FUNZIONI INTERE ALGEBRICHE FUNZIONI TRASCENDENTI razionali irrazionali FRATE crazionali irrazionall 2 x²+

Intersezioni, Simmetrie e Comportamento agli Estremi

Per trovare le intersezioni con gli assi, calcola f(0)f(0) per l'asse y e risolvi f(x)=0f(x) = 0 per l'asse x. Questi punti ti daranno i primi riferimenti importanti per il grafico.

Le simmetrie ti semplificano molto il lavoro! Una funzione è pari se f(−x)=f(x)f(-x) = f(x) (simmetrica rispetto all'asse y) e dispari se f(−x)=−f(x)f(-x) = -f(x) (simmetrica rispetto all'origine).

Il comportamento agli estremi rivela la presenza di asintoti. Gli asintoti verticali si hanno quando lim⁡x→x0f(x)=±∞\lim_{x \to x_0} f(x) = \pm \infty, quelli orizzontali quando lim⁡x→±∞f(x)=l\lim_{x \to \pm \infty} f(x) = l.

Attenzione: Per gli asintoti obliqui, devi verificare che il limite per x→±∞x \to \pm \infty sia infinito, poi calcolare m=lim⁡f(x)xm = \lim \frac{f(x)}{x} e q=lim⁡[f(x)−mx]q = \lim [f(x) - mx].

. STORAZIONE CLASSIFICAZIONE DELLE FUNZIONI INTERE ALGEBRICHE FUNZIONI TRASCENDENTI razionali irrazionali FRATE crazionali irrazionall 2 x²+

Derivate e Studio Completo di un Esempio

La derivata prima f′(x)f'(x) ti dice dove la funzione cresce o decresce. Quando f′(x)>0f'(x) > 0 la funzione è crescente, quando f′(x)<0f'(x) < 0 è decrescente. I punti dove f′(x)=0f'(x) = 0 possono essere massimi, minimi o flessi a tangente orizzontale.

La derivata seconda f′′(x)f''(x) determina la concavità: se f′′(x)>0f''(x) > 0 la funzione volge la concavità verso l'alto, se f′′(x)<0f''(x) < 0 verso il basso. I punti di flesso si trovano risolvendo f′′(x)=0f''(x) = 0.

Nell'esempio y=x2−4x3y = x^2 - 4x^3, vediamo che il dominio è R\mathbb{R}, le intersezioni sono in (0,0)(0,0) e (4,0)(4,0), non ha simmetrie particolari. La derivata prima y′=4x3−12x2y' = 4x^3 - 12x^2 ci mostra che la funzione è crescente per x>3x > 3.

Consiglio pratico: Una volta calcolate entrambe le derivate, fai sempre una tabella dei segni per visualizzare meglio crescita, decrescita e concavità.

. STORAZIONE CLASSIFICAZIONE DELLE FUNZIONI INTERE ALGEBRICHE FUNZIONI TRASCENDENTI razionali irrazionali FRATE crazionali irrazionall 2 x²+

Costruzione del Grafico Finale

Ora che hai raccolto tutte le informazioni (dominio, intersezioni, limiti, derivate), è il momento di tracciare il grafico. Inizia segnando i punti di intersezione con gli assi e i punti critici trovati con le derivate.

Usa le informazioni sulla crescita e decrescita per capire come collegare i punti, rispettando sempre la concavità indicata dalla derivata seconda. Non dimenticare di rappresentare correttamente gli asintoti come linee tratteggiate.

Il grafico finale deve essere coerente con tutti i calcoli precedenti: se hai trovato un massimo in un certo punto, assicurati che il grafico effettivamente "salga e poi scenda" in quel punto.



Pensavamo che non l'avreste mai chiesto....

Che cos'è l'assistente AI di Knowunity?

Il nostro assistente AI è costruito specificamente per le esigenze degli studenti. Sulla base dei milioni di contenuti presenti sulla piattaforma, possiamo fornire agli studenti risposte davvero significative e pertinenti. Ma non si tratta solo di risposte, l'assistente è in grado di guidare gli studenti attraverso le loro sfide quotidiane di studio, con piani di studio personalizzati, quiz o contenuti nella chat e una personalizzazione al 100% basata sulle competenze e sugli sviluppi degli studenti.

Dove posso scaricare l'applicazione Knowunity?

È possibile scaricare l'applicazione dal Google Play Store e dall'Apple App Store.

Knowunity è davvero gratuita?

Sì, hai accesso completamente gratuito a tutti i contenuti nell'app e puoi chattare o seguire i Creatori in qualsiasi momento. Sbloccherai nuove funzioni crescendo il tuo numero di follower. Inoltre, offriamo Knowunity Premium, che consente di studiare senza alcun limite!!

Non c'è niente di adatto? Esplorare altre aree tematiche.

Recensioni dei nostri utenti. Ci adorano - e anche tu, vedrai .

4.9/5

App Store

4.8/5

Google Play

L'applicazione è molto facile da usare e ben progettata. Finora ho trovato tutto quello che cercavo e ho potuto imparare molto dalle presentazioni! Utilizzerò sicuramente l'app per i compiti in classe! È molto utile anche come fonte di ispirazione.

Stefano S

utente iOS

Questa applicazione è davvero grande! Ci sono tantissimi appunti e aiuti con lo studio [...]. La mia materia problematica, per esempio, è il francese e l'app ha così tante opzioni per aiutarmi. Grazie a questa app ho migliorato il mio francese. La consiglio a tutti.

Samantha Klich

utente Android

Wow, sono davvero stupita. Ho appena provato l'app perché l'ho vista pubblicizzata molte volte e sono rimasta assolutamente sbalordita. Questa app è L'AIUTO che cercate per la scuola e soprattutto offre tantissime cose, come allenamenti e schede, che a me personalmente sono state MOLTO utili.

Anna

utente iOS

È bellissima questa app, la adoro. È utilissima per lo studio e mi aiuta molto, anzi moltissimo, ma soprattutto mi aiutano molto i quiz, per memorizzare anche quello che non sapevo

Anastasia

utente Android

Fantastica per qualsiasi materia avere gli appunti anche di altre persone è molto utile perchè posso confrontarmi e vedere come migliorarmi. con i quiz riesco ad apprendere al meglio.

Francesca

utente Android

moooolto utile,gli appunti sono belli e funzionanti,schoolGPT da dei consigli formidabili!!

Marianna

utente Android

L'applicazione è semplicemente fantastica! Tutto ciò che devo fare è inserire l'argomento nella barra di ricerca e ottengo la risposta molto velocemente. Non devo guardare 10 video di YouTube per capire qualcosa, quindi risparmio tempo. Consigliatissima!

Sudenaz Ocak

utente Android

A scuola andavo malissimo in matematica, ma grazie a questa applicazione ora vado meglio. Vi sono molto grato per aver creato questa app.

Greenlight Bonnie

utente Android

Knowunity è un applicazione fantastica,considerando che ha degli schemi veramente molto carini e sfiziosi e che ci sono dei quiz,oltre al fatto che questa cosa dell intelligenza artificiale "school gpt" è almeno per me molto utile, perché a differenza di Chatgpt ti da le spiegazioni, ti spiega ciò che non è chiaro! Posso studiare più velocemente tramite gli schemi e che posso pubblicare io stessa gli schemi è una funzione utilissima per gli altri studenti. Knowunity è PERFETTA

Aurora

utente Android

L’app funziona benissimo e puoi trovare qualsiasi tipo di informazione. Non ho l’abbonamento ma la parte gratuita è sufficiente per uno studio approfondito.

Martina

utente iOS

in questi ultimi mesi di scuola dove il tempo è ormai poco, mi sta aiutando molto perché piuttosto che farmi io gli schemi su quello che leggo sul libro guardo questi già fatti e li uso come ripasso piuttosto che rileggermi tutto il libro

Chiara

utente IOS

Questa app è una delle migliori, nient’altro da dire.

Andrea

utente iOS

L'applicazione è molto facile da usare e ben progettata. Finora ho trovato tutto quello che cercavo e ho potuto imparare molto dalle presentazioni! Utilizzerò sicuramente l'app per i compiti in classe! È molto utile anche come fonte di ispirazione.

Stefano S

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Questa applicazione è davvero grande! Ci sono tantissimi appunti e aiuti con lo studio [...]. La mia materia problematica, per esempio, è il francese e l'app ha così tante opzioni per aiutarmi. Grazie a questa app ho migliorato il mio francese. La consiglio a tutti.

Samantha Klich

utente Android

Wow, sono davvero stupita. Ho appena provato l'app perché l'ho vista pubblicizzata molte volte e sono rimasta assolutamente sbalordita. Questa app è L'AIUTO che cercate per la scuola e soprattutto offre tantissime cose, come allenamenti e schede, che a me personalmente sono state MOLTO utili.

Anna

utente iOS

È bellissima questa app, la adoro. È utilissima per lo studio e mi aiuta molto, anzi moltissimo, ma soprattutto mi aiutano molto i quiz, per memorizzare anche quello che non sapevo

Anastasia

utente Android

Fantastica per qualsiasi materia avere gli appunti anche di altre persone è molto utile perchè posso confrontarmi e vedere come migliorarmi. con i quiz riesco ad apprendere al meglio.

Francesca

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moooolto utile,gli appunti sono belli e funzionanti,schoolGPT da dei consigli formidabili!!

Marianna

utente Android

L'applicazione è semplicemente fantastica! Tutto ciò che devo fare è inserire l'argomento nella barra di ricerca e ottengo la risposta molto velocemente. Non devo guardare 10 video di YouTube per capire qualcosa, quindi risparmio tempo. Consigliatissima!

Sudenaz Ocak

utente Android

A scuola andavo malissimo in matematica, ma grazie a questa applicazione ora vado meglio. Vi sono molto grato per aver creato questa app.

Greenlight Bonnie

utente Android

Knowunity è un applicazione fantastica,considerando che ha degli schemi veramente molto carini e sfiziosi e che ci sono dei quiz,oltre al fatto che questa cosa dell intelligenza artificiale "school gpt" è almeno per me molto utile, perché a differenza di Chatgpt ti da le spiegazioni, ti spiega ciò che non è chiaro! Posso studiare più velocemente tramite gli schemi e che posso pubblicare io stessa gli schemi è una funzione utilissima per gli altri studenti. Knowunity è PERFETTA

Aurora

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Martina

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Questa app è una delle migliori, nient’altro da dire.

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E

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Lo studio di funzione è uno degli argomenti più importanti dell'analisi matematica che ti permetterà di "decifrare" il comportamento di qualsiasi funzione matematica. Imparerai a classificare le funzioni e a seguire un metodo preciso per analizzarle completamente, dalla determinazione del... Mostra di più

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Classificazione delle Funzioni e Studio del Dominio

Prima di tutto, devi saper classificare le funzioni per capire come approcciarle. Le funzioni si dividono in algebriche (con operazioni come addizione, moltiplicazione, radici) e trascendenti (esponenziali, logaritmiche, goniometriche).

Il primo passo dello studio è sempre trovare il dominio. Per le funzioni razionali intere come y=x4−x2y = x^4 - x^2, il dominio è sempre R\mathbb{R}. Per quelle fratte, devi escludere i valori che annullano il denominatore.

Le funzioni irrazionali con indice pari richiedono che l'argomento sia non negativo, mentre quelle con indice dispari sono definite ovunque. Per i logaritmi, ricorda che l'argomento deve essere sempre positivo.

Trucco importante: Per le funzioni goniometriche, seno e coseno sono sempre definiti, mentre la tangente ha problemi quando l'argomento vale π2+kπ\frac{\pi}{2} + k\pi.

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Intersezioni, Simmetrie e Comportamento agli Estremi

Per trovare le intersezioni con gli assi, calcola f(0)f(0) per l'asse y e risolvi f(x)=0f(x) = 0 per l'asse x. Questi punti ti daranno i primi riferimenti importanti per il grafico.

Le simmetrie ti semplificano molto il lavoro! Una funzione è pari se f(−x)=f(x)f(-x) = f(x) (simmetrica rispetto all'asse y) e dispari se f(−x)=−f(x)f(-x) = -f(x) (simmetrica rispetto all'origine).

Il comportamento agli estremi rivela la presenza di asintoti. Gli asintoti verticali si hanno quando lim⁡x→x0f(x)=±∞\lim_{x \to x_0} f(x) = \pm \infty, quelli orizzontali quando lim⁡x→±∞f(x)=l\lim_{x \to \pm \infty} f(x) = l.

Attenzione: Per gli asintoti obliqui, devi verificare che il limite per x→±∞x \to \pm \infty sia infinito, poi calcolare m=lim⁡f(x)xm = \lim \frac{f(x)}{x} e q=lim⁡[f(x)−mx]q = \lim [f(x) - mx].

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Derivate e Studio Completo di un Esempio

La derivata prima f′(x)f'(x) ti dice dove la funzione cresce o decresce. Quando f′(x)>0f'(x) > 0 la funzione è crescente, quando f′(x)<0f'(x) < 0 è decrescente. I punti dove f′(x)=0f'(x) = 0 possono essere massimi, minimi o flessi a tangente orizzontale.

La derivata seconda f′′(x)f''(x) determina la concavità: se f′′(x)>0f''(x) > 0 la funzione volge la concavità verso l'alto, se f′′(x)<0f''(x) < 0 verso il basso. I punti di flesso si trovano risolvendo f′′(x)=0f''(x) = 0.

Nell'esempio y=x2−4x3y = x^2 - 4x^3, vediamo che il dominio è R\mathbb{R}, le intersezioni sono in (0,0)(0,0) e (4,0)(4,0), non ha simmetrie particolari. La derivata prima y′=4x3−12x2y' = 4x^3 - 12x^2 ci mostra che la funzione è crescente per x>3x > 3.

Consiglio pratico: Una volta calcolate entrambe le derivate, fai sempre una tabella dei segni per visualizzare meglio crescita, decrescita e concavità.

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Costruzione del Grafico Finale

Ora che hai raccolto tutte le informazioni (dominio, intersezioni, limiti, derivate), è il momento di tracciare il grafico. Inizia segnando i punti di intersezione con gli assi e i punti critici trovati con le derivate.

Usa le informazioni sulla crescita e decrescita per capire come collegare i punti, rispettando sempre la concavità indicata dalla derivata seconda. Non dimenticare di rappresentare correttamente gli asintoti come linee tratteggiate.

Il grafico finale deve essere coerente con tutti i calcoli precedenti: se hai trovato un massimo in un certo punto, assicurati che il grafico effettivamente "salga e poi scenda" in quel punto.

Pensavamo che non l'avreste mai chiesto....

Che cos'è l'assistente AI di Knowunity?

Il nostro assistente AI è costruito specificamente per le esigenze degli studenti. Sulla base dei milioni di contenuti presenti sulla piattaforma, possiamo fornire agli studenti risposte davvero significative e pertinenti. Ma non si tratta solo di risposte, l'assistente è in grado di guidare gli studenti attraverso le loro sfide quotidiane di studio, con piani di studio personalizzati, quiz o contenuti nella chat e una personalizzazione al 100% basata sulle competenze e sugli sviluppi degli studenti.

Dove posso scaricare l'applicazione Knowunity?

È possibile scaricare l'applicazione dal Google Play Store e dall'Apple App Store.

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4.9/5

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4.8/5

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L'applicazione è molto facile da usare e ben progettata. Finora ho trovato tutto quello che cercavo e ho potuto imparare molto dalle presentazioni! Utilizzerò sicuramente l'app per i compiti in classe! È molto utile anche come fonte di ispirazione.

Stefano S

utente iOS

Questa applicazione è davvero grande! Ci sono tantissimi appunti e aiuti con lo studio [...]. La mia materia problematica, per esempio, è il francese e l'app ha così tante opzioni per aiutarmi. Grazie a questa app ho migliorato il mio francese. La consiglio a tutti.

Samantha Klich

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Wow, sono davvero stupita. Ho appena provato l'app perché l'ho vista pubblicizzata molte volte e sono rimasta assolutamente sbalordita. Questa app è L'AIUTO che cercate per la scuola e soprattutto offre tantissime cose, come allenamenti e schede, che a me personalmente sono state MOLTO utili.

Anna

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È bellissima questa app, la adoro. È utilissima per lo studio e mi aiuta molto, anzi moltissimo, ma soprattutto mi aiutano molto i quiz, per memorizzare anche quello che non sapevo

Anastasia

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Fantastica per qualsiasi materia avere gli appunti anche di altre persone è molto utile perchè posso confrontarmi e vedere come migliorarmi. con i quiz riesco ad apprendere al meglio.

Francesca

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moooolto utile,gli appunti sono belli e funzionanti,schoolGPT da dei consigli formidabili!!

Marianna

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L'applicazione è semplicemente fantastica! Tutto ciò che devo fare è inserire l'argomento nella barra di ricerca e ottengo la risposta molto velocemente. Non devo guardare 10 video di YouTube per capire qualcosa, quindi risparmio tempo. Consigliatissima!

Sudenaz Ocak

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A scuola andavo malissimo in matematica, ma grazie a questa applicazione ora vado meglio. Vi sono molto grato per aver creato questa app.

Greenlight Bonnie

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Knowunity è un applicazione fantastica,considerando che ha degli schemi veramente molto carini e sfiziosi e che ci sono dei quiz,oltre al fatto che questa cosa dell intelligenza artificiale "school gpt" è almeno per me molto utile, perché a differenza di Chatgpt ti da le spiegazioni, ti spiega ciò che non è chiaro! Posso studiare più velocemente tramite gli schemi e che posso pubblicare io stessa gli schemi è una funzione utilissima per gli altri studenti. Knowunity è PERFETTA

Aurora

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Martina

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in questi ultimi mesi di scuola dove il tempo è ormai poco, mi sta aiutando molto perché piuttosto che farmi io gli schemi su quello che leggo sul libro guardo questi già fatti e li uso come ripasso piuttosto che rileggermi tutto il libro

Chiara

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Questa applicazione è davvero grande! Ci sono tantissimi appunti e aiuti con lo studio [...]. La mia materia problematica, per esempio, è il francese e l'app ha così tante opzioni per aiutarmi. Grazie a questa app ho migliorato il mio francese. La consiglio a tutti.

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Wow, sono davvero stupita. Ho appena provato l'app perché l'ho vista pubblicizzata molte volte e sono rimasta assolutamente sbalordita. Questa app è L'AIUTO che cercate per la scuola e soprattutto offre tantissime cose, come allenamenti e schede, che a me personalmente sono state MOLTO utili.

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È bellissima questa app, la adoro. È utilissima per lo studio e mi aiuta molto, anzi moltissimo, ma soprattutto mi aiutano molto i quiz, per memorizzare anche quello che non sapevo

Anastasia

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Fantastica per qualsiasi materia avere gli appunti anche di altre persone è molto utile perchè posso confrontarmi e vedere come migliorarmi. con i quiz riesco ad apprendere al meglio.

Francesca

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moooolto utile,gli appunti sono belli e funzionanti,schoolGPT da dei consigli formidabili!!

Marianna

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Sudenaz Ocak

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A scuola andavo malissimo in matematica, ma grazie a questa applicazione ora vado meglio. Vi sono molto grato per aver creato questa app.

Greenlight Bonnie

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Knowunity è un applicazione fantastica,considerando che ha degli schemi veramente molto carini e sfiziosi e che ci sono dei quiz,oltre al fatto che questa cosa dell intelligenza artificiale "school gpt" è almeno per me molto utile, perché a differenza di Chatgpt ti da le spiegazioni, ti spiega ciò che non è chiaro! Posso studiare più velocemente tramite gli schemi e che posso pubblicare io stessa gli schemi è una funzione utilissima per gli altri studenti. Knowunity è PERFETTA

Aurora

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Martina

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Chiara

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Questa app è una delle migliori, nient’altro da dire.

Andrea

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