Matematica

Tecniche di Fattorizzazione dei Polinomi

fattorizzazione

Matematica

6 dic 2025

9452

11 pagine

Come Scomporre i Polinomi Passo Passo

Flavia Nardi @flavianardi_ll

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La scomposizione di polinomi è come smontare un LEGO complesso nei suoi pezzi più semplici! Invece di vedere... Mostra di più

Scomposizione di polinomi

Benvenuto nel mondo della scomposizione di polinomi! È una delle tecniche più utili che userai in matematica.

Questa skill ti permetterà di trasformare espressioni complicate in forme più semplici. Pensa a quando risolvi equazioni o semplifichi frazioni la scomposizione sarà il tuo superpotere matematico.

💡 Ricorda La scomposizione è l'opposto dello sviluppo - invece di moltiplicare, dividiamo in fattori!

Fattori riducibili e irriducibili

Scomporre significa trasformare un polinomio in un prodotto di polinomi più semplici. È come scomporre il numero 12 in 3 × 4!

Un polinomio riducibile si può spezzare in fattori più piccoli. Per esempio $y^3 + 2y^2 - 9y - 18 = (y + 2)(y^2 - 9)$ .

Un polinomio irriducibile non si può scomporre ulteriormente - è già al minimo! Tutti i binomi di primo grado $come $x + 3$$ sono sempre irriducibili.

💡 Punto chiave La scomposizione in fattori irriducibili è unica - c'è solo un modo giusto di farla!

Raccoglimento totale

Il raccoglimento totale è il metodo più semplice - cerchi il fattore comune e lo "tiri fuori"! Funziona grazie alla proprietà distributiva $A \cdot B + A \cdot C = A \cdot (B + C)$ .

Esempio pratico $12a^3 - 6a^2b^2 + 9ab$ . Il fattore comune è $3a$ , quindi ottieni $3a(4a^2 - 2ab^2 + 3b)$ .

A volte il fattore comune è un intero polinomio! Come in $5a(2x + y) - 3(2x + y) = (2x + y)(5a - 3)$ .

💡 Trucco Trova sempre il MCD (Massimo Comune Divisore) di tutti i termini!

Raccoglimento parziale

Quando non c'è un fattore comune per tutti i termini, usa il raccoglimento parziale - lavori a gruppi!

Esempio $3ax + 3bx + ay + by$ . Raggruppi i primi due e gli ultimi due termini separatamente.

Prima fase $3x(a + b) + y(a + b)$ . Seconda fase $(a + b)$ è ora comune, quindi $(3x + y)(a + b)$ .

💡 Strategia Raggruppa termini che hanno fattori comuni, poi cerca il nuovo fattore comune!

Trinomio speciale - Metodo base

Il trinomio speciale $x^2 + sx + p$ si scompone usando il metodo "somma e prodotto". Devi trovare due numeri che sommati danno $s$ e moltiplicati danno $p$ .

Formula magica $x^2 + sx + p = (x + x_1)(x + x_2)$ dove $s = x_1 + x_2$ e $p = x_1 \cdot x_2$ .

Esempio $x^2 + 5x + 6$ . Cerchi due numeri che sommati fanno 5 e moltiplicati fanno 6. Sono 2 e 3! Risultato $(x + 2)(x + 3)$ .

💡 Tip Elenca tutti i divisori del termine noto, poi prova le combinazioni!

Trinomio speciale - Casi avanzati

Quando il coefficiente di $x^2$ non è 1, come in $6x^2 + 13x + 2$ , il trucco si complica un po'.

Moltiplica il primo e l'ultimo coefficiente $6 \times 2 = 12$ . Ora trova due numeri che moltiplicati danno 12 e sommati danno 13 (il coefficiente di $x$).

I numeri sono 1 e 12! Riscrivi $6x^2 + 1x + 12x + 2$ , poi usa il raccoglimento parziale per ottenere $(6x + 1)(x + 2)$ .

💡 Ricorda Questo metodo funziona anche con coefficienti letterali!

Prodotti notevoli - Le formule base

I prodotti notevoli sono schemi che riconosci a colpo d'occhio! Memorizza queste formule fondamentali

Quadrato di binomio $A^2 + 2AB + B^2 = (A + B)^2$ . Differenza di quadrati $A^2 - B^2 = (A + B)(A - B)$ .

Cubo di binomio $A^3 + 3A^2B + 3AB^2 + B^3 = (A + B)^3$ . Quadrato di trinomio $A^2 + B^2 + C^2 + 2AB + 2AC + 2BC = (A + B + C)^2$ .

💡 Segreto Una volta che riconosci lo schema, la scomposizione diventa automatica!

Prodotti notevoli - Esempi pratici

Vediamo come applicare i prodotti notevoli con esempi concreti che potresti trovare nei compiti!

Per $x^6 - 6x^3 + 9$ riconosci $(x^3)^2 - 2 \cdot x^3 \cdot 3 + 3^2 = (x^3 - 3)^2$ .

Per $4a^2 - \frac{1}{81}$ è una differenza di quadrati $(2a)^2 - (\frac{1}{9})^2 = (2a + \frac{1}{9})(2a - \frac{1}{9})$ .

💡 Attenzione Controlla sempre che il termine centrale sia davvero il doppio prodotto!

Somma e differenza di cubi

I cubi hanno formule speciali che devi memorizzare! Non confonderle con i quadrati.

Somma di cubi $A^3 + B^3 = (A + B)(A^2 - AB + B^2)$ . Differenza di cubi $A^3 - B^3 = (A - B)(A^2 + AB + B^2)$ .

Esempio $z^6 + 1 = (z^2)^3 + 1^3 = (z^2 + 1)(z^4 - z^2 + 1)$ .

I trinomi tipo $A^2 \pm AB + B^2$ si chiamano "falsi quadrati" perché sembrano quadrati ma non lo sono - e sono irriducibili!

💡 Trucco memoria Nella somma di cubi, il secondo fattore ha segni alternati (-,+)!

MCD e mcm di polinomi

Proprio come con i numeri, anche i polinomi hanno MCD (Massimo Comune Divisore) e mcm (minimo comune multiplo)!

Il MCD è il polinomio di grado massimo che divide tutti i polinomi dati. Il mcm è il polinomio di grado minimo divisibile per tutti i polinomi.

Esempio con $xy(x+7)^4$ e $x^3(x+7)^6(y-9)^2$ MCD = $x(x+7)^4$ (prendi le potenze minime), mcm = $x^3y(x+7)^6(y-9)^2$ (prendi le potenze massime).

💡 Metodo Prima scomponi tutto in fattori, poi applica le regole delle potenze!

Pensavamo che non l'avreste mai chiesto....

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Il nostro assistente AI è costruito specificamente per le esigenze degli studenti. Sulla base dei milioni di contenuti presenti sulla piattaforma, possiamo fornire agli studenti risposte davvero significative e pertinenti. Ma non si tratta solo di risposte, l'assistente è in grado di guidare gli studenti attraverso le loro sfide quotidiane di studio, con piani di studio personalizzati, quiz o contenuti nella chat e una personalizzazione al 100% basata sulle competenze e sugli sviluppi degli studenti.

Dove posso scaricare l'applicazione Knowunity?

È possibile scaricare l'applicazione dal Google Play Store e dall'Apple App Store.

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Recensioni dei nostri utenti. Ci adorano - e anche tu, vedrai .

4.9/5

App Store

4.8/5

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L'applicazione è molto facile da usare e ben progettata. Finora ho trovato tutto quello che cercavo e ho potuto imparare molto dalle presentazioni! Utilizzerò sicuramente l'app per i compiti in classe! È molto utile anche come fonte di ispirazione.

Stefano S

utente iOS

Questa applicazione è davvero grande! Ci sono tantissimi appunti e aiuti con lo studio [...]. La mia materia problematica, per esempio, è il francese e l'app ha così tante opzioni per aiutarmi. Grazie a questa app ho migliorato il mio francese. La consiglio a tutti.

Samantha Klich

utente Android

Wow, sono davvero stupita. Ho appena provato l'app perché l'ho vista pubblicizzata molte volte e sono rimasta assolutamente sbalordita. Questa app è L'AIUTO che cercate per la scuola e soprattutto offre tantissime cose, come allenamenti e schede, che a me personalmente sono state MOLTO utili.

Anna

utente iOS

È bellissima questa app, la adoro. È utilissima per lo studio e mi aiuta molto, anzi moltissimo, ma soprattutto mi aiutano molto i quiz, per memorizzare anche quello che non sapevo

Anastasia

utente Android

Fantastica per qualsiasi materia avere gli appunti anche di altre persone è molto utile perchè posso confrontarmi e vedere come migliorarmi. con i quiz riesco ad apprendere al meglio.

Francesca

utente Android

moooolto utile,gli appunti sono belli e funzionanti,schoolGPT da dei consigli formidabili!!

Marianna

utente Android

L'applicazione è semplicemente fantastica! Tutto ciò che devo fare è inserire l'argomento nella barra di ricerca e ottengo la risposta molto velocemente. Non devo guardare 10 video di YouTube per capire qualcosa, quindi risparmio tempo. Consigliatissima!

Sudenaz Ocak

utente Android

A scuola andavo malissimo in matematica, ma grazie a questa applicazione ora vado meglio. Vi sono molto grato per aver creato questa app.

Greenlight Bonnie

utente Android

Knowunity è un applicazione fantastica,considerando che ha degli schemi veramente molto carini e sfiziosi e che ci sono dei quiz,oltre al fatto che questa cosa dell intelligenza artificiale "school gpt" è almeno per me molto utile, perché a differenza di Chatgpt ti da le spiegazioni, ti spiega ciò che non è chiaro! Posso studiare più velocemente tramite gli schemi e che posso pubblicare io stessa gli schemi è una funzione utilissima per gli altri studenti. Knowunity è PERFETTA

Aurora

utente Android

L’app funziona benissimo e puoi trovare qualsiasi tipo di informazione. Non ho l’abbonamento ma la parte gratuita è sufficiente per uno studio approfondito.

Martina

utente iOS

in questi ultimi mesi di scuola dove il tempo è ormai poco, mi sta aiutando molto perché piuttosto che farmi io gli schemi su quello che leggo sul libro guardo questi già fatti e li uso come ripasso piuttosto che rileggermi tutto il libro

Chiara

utente IOS

Questa app è una delle migliori, nient’altro da dire.

Andrea

utente iOS

Stefano S

utente iOS

Samantha Klich

utente Android

Anna

utente iOS

È bellissima questa app, la adoro. È utilissima per lo studio e mi aiuta molto, anzi moltissimo, ma soprattutto mi aiutano molto i quiz, per memorizzare anche quello che non sapevo

Anastasia

utente Android

Fantastica per qualsiasi materia avere gli appunti anche di altre persone è molto utile perchè posso confrontarmi e vedere come migliorarmi. con i quiz riesco ad apprendere al meglio.

Francesca

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Marianna

utente Android

Sudenaz Ocak

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A scuola andavo malissimo in matematica, ma grazie a questa applicazione ora vado meglio. Vi sono molto grato per aver creato questa app.

Greenlight Bonnie

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Aurora

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Martina

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Come Scomporre i Polinomi Passo Passo

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Scomposizione di polinomi

Benvenuto nel mondo della scomposizione di polinomi! È una delle tecniche più utili che userai in matematica.

Questa skill ti permetterà di trasformare espressioni complicate in forme più semplici. Pensa a quando risolvi equazioni o semplifichi frazioni: la scomposizione sarà il tuo superpotere matematico.

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Un polinomio riducibile si può spezzare in fattori più piccoli. Per esempio: $y^3 + 2y^2 - 9y - 18 = (y + 2)(y^2 - 9)$ .

Un polinomio irriducibile non si può scomporre ulteriormente - è già al minimo! Tutti i binomi di primo grado $come $x + 3$$ sono sempre irriducibili.

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Esempio pratico: $12a^3 - 6a^2b^2 + 9ab$ . Il fattore comune è $3a$ , quindi ottieni: $3a(4a^2 - 2ab^2 + 3b)$ .

A volte il fattore comune è un intero polinomio! Come in $5a(2x + y) - 3(2x + y) = (2x + y)(5a - 3)$ .

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Esempio: $x^2 + 5x + 6$ . Cerchi due numeri che sommati fanno 5 e moltiplicati fanno 6. Sono 2 e 3! Risultato: $(x + 2)(x + 3)$ .

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Moltiplica il primo e l'ultimo coefficiente: $6 \times 2 = 12$ . Ora trova due numeri che moltiplicati danno 12 e sommati danno 13 (il coefficiente di $x$).

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Quadrato di binomio: $A^2 + 2AB + B^2 = (A + B)^2$ . Differenza di quadrati: $A^2 - B^2 = (A + B)(A - B)$ .

Cubo di binomio: $A^3 + 3A^2B + 3AB^2 + B^3 = (A + B)^3$ . Quadrato di trinomio: $A^2 + B^2 + C^2 + 2AB + 2AC + 2BC = (A + B + C)^2$ .

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Per $x^6 - 6x^3 + 9$ : riconosci $(x^3)^2 - 2 \cdot x^3 \cdot 3 + 3^2 = (x^3 - 3)^2$ .

Per $4a^2 - \frac{1}{81}$ : è una differenza di quadrati $(2a)^2 - (\frac{1}{9})^2 = (2a + \frac{1}{9})(2a - \frac{1}{9})$ .

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Somma e differenza di cubi

I cubi hanno formule speciali che devi memorizzare! Non confonderle con i quadrati.

Somma di cubi: $A^3 + B^3 = (A + B)(A^2 - AB + B^2)$ . Differenza di cubi: $A^3 - B^3 = (A - B)(A^2 + AB + B^2)$ .

Esempio: $z^6 + 1 = (z^2)^3 + 1^3 = (z^2 + 1)(z^4 - z^2 + 1)$ .

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MCD e mcm di polinomi

Proprio come con i numeri, anche i polinomi hanno MCD (Massimo Comune Divisore) e mcm (minimo comune multiplo)!

Il MCD è il polinomio di grado massimo che divide tutti i polinomi dati. Il mcm è il polinomio di grado minimo divisibile per tutti i polinomi.

Esempio con $xy(x+7)^4$ e $x^3(x+7)^6(y-9)^2$ : MCD = $x(x+7)^4$ (prendi le potenze minime), mcm = $x^3y(x+7)^6(y-9)^2$ (prendi le potenze massime).

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