Propagazione degli Errori nei Calcoli

Propagazione degli errori: Somma e Sottrazione

Quando sommi o sottrai misure con incertezze, devi prestare attenzione a come si propagano gli errori. Prendiamo un esempio pratico: la misura di due lati di un rettangolo.

Per la somma, se hai a = (2.0 ± 0.1) m e b = (1.0 ± 0.2) m, il risultato P = a + b avrà come valore centrale 3.0 m. L'incertezza di P sarà la somma delle incertezze: Ea(P) = 0.1 + 0.2 = 0.3 m. Quindi il risultato finale sarà P = (3.0 ± 0.3) m.

Per la sottrazione, il procedimento è simile. Se hai x = (2.00 ± 0.01) m e y = (1.00 ± 0.02) m, il valore centrale di Z = x - y sarà 1.00 m. L'incertezza sarà ancora la somma delle singole incertezze: Ea(Z) = 0.01 + 0.02 = 0.03 m, dando come risultato Z = (1.00 ± 0.03) m.

💡 Ricorda: Nelle operazioni di somma e sottrazione, l'incertezza del risultato è sempre la somma delle singole incertezze, indipendentemente dal segno dell'operazione!

Propagazione degli errori: Moltiplicazione e Divisione

Con moltiplicazione e divisione, il procedimento è diverso e lavoriamo con gli errori relativi. Vediamo un esempio di prodotto.

Per a = (2.0 ± 0.1) m e b = (1.0 ± 0.2) m, il valore centrale di A = a×b sarà 2.0 m². Per l'incertezza, calcoliamo prima gli errori relativi: Er$a$ = 0.1/2.0 = 0.05 e Er$b$ = 0.2/1.0 = 0.2. L'errore relativo del risultato è la somma di questi: Er(A) = 0.05 + 0.2 = 0.25.

Per trovare l'errore assoluto di A, moltiplichiamo l'errore relativo per il valore centrale: Ea(A) = 0.25 × 2.0 = 0.5 m². Quindi A = (2.0 ± 0.5) m².

Per la divisione, come nel caso V = x/t con x = (2.0 ± 0.1) m e t = (1.0 ± 0.2) s, il procedimento è analogo. Dopo aver calcolato il valore centrale $2.0 m/s$, determiniamo gli errori relativi: Er$x$ = 0.05 e Er$t$ = 0.2.

🔍 Attenzione: Gli errori relativi non hanno unità di misura perché sono rapporti tra grandezze dello stesso tipo!

Errori relativi nelle operazioni complesse

Quando lavori con moltiplicazioni e divisioni, l'errore relativo del risultato è sempre la somma degli errori relativi delle misure originali. Riprendendo l'esempio precedente della velocità:

L'errore relativo di V sarà Er(V) = Er$x$ + Er$t$ = 0.05 + 0.2 = 0.25. Per ottenere l'errore assoluto, basta moltiplicare: Ea(V) = Er(V) × V = 0.25 × 2.0 = 0.5 m/s.

Il risultato finale sarà quindi V = (2.0 ± 0.5) m/s.

Questa regola funziona sia per le moltiplicazioni che per le divisioni: l'errore relativo del risultato è sempre la somma degli errori relativi delle singole misure. È una differenza importante rispetto alle operazioni di somma e sottrazione, dove sommiamo direttamente gli errori assoluti.

🧠 Suggerimento pratico: Quando hai dubbi sulla propagazione degli errori, ricorda questa semplice regola: per somme e sottrazioni sommi gli errori assoluti, per moltiplicazioni e divisioni sommi gli errori relativi!