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Matematica
21 nov 2025
2620
6 pagine
elisa @elisa_xghl
I numeri complessi aprono un mondo matematico affascinante che va oltre i numeri reali che già conosci. Ti... Mostra di più
Quando ti trovi davanti a equazioni come x² + 1 = 0, i numeri reali non bastano più. Ecco dove entrano in gioco i numeri complessi! Un numero complesso è semplicemente una coppia ordinata (a; b) di numeri reali.
Il trucco magico sta nell'unità immaginaria i, dove i² = -1. Questo ci permette di scrivere ogni numero complesso nella forma algebrica z = a + bi, dove a è la parte reale e b quella immaginaria.
Il modulo di un numero complesso |a + bi| = √ funziona come la distanza dall'origine. Inoltre, per ogni numero complesso z = a + bi esiste il suo coniugato z̄ = a - bi, che ti sarà utilissimo per le divisioni.
Ricorda Quando moltiplichi un numero complesso per il suo coniugato, ottieni sempre un numero reale positivo = a² + b².
La forma trigonometrica z = r ti mostra i numeri complessi dal punto di vista geometrico. Qui r è il modulo e α l'argomento, che puoi ricavare dalle coordinate polari.
Le operazioni diventano molto più semplici per moltiplicare due numeri complessi moltiplichi i moduli e sommi gli argomenti. Per la divisione fai il contrario!
La formula di De Moivre per le potenze è geniale z^n = r^n. Ma c'è di meglio! La forma esponenziale z = re^(iα) rende tutto ancora più elegante grazie alle formule di Eulero.
Trucco La forma esponenziale trasforma moltiplicazioni in somme di esponenti, proprio come con i logaritmi!
Le radici n-esime di un numero complesso sono n numeri distinti! Per l'unità, usi la formula √{1} = cos + i sin con k = 0, 1, 2, ..., n-1.
Per le equazioni in C, non c'è più il problema del delta negativo. Se risolvi x² - 6x + 25 = 0, ottieni soluzioni come x₁ = 3 + 4i e x₂ = 3 - 4i. Elegante, vero?
La formula di Eulero e^(iα) = cos α + i sin α collega esponenziali e trigonometria in modo straordinario. Da qui derivano tutte le altre formule che ti permettono di passare tra le diverse rappresentazioni.
Curiosità La famosa formula e^(πi) + 1 = 0 lega i cinque numeri più importanti della matematica in un'unica, bellissima equazione!
Il piano di Gauss trasforma ogni numero complesso in un punto o vettore sul piano cartesiano. L'asse x rappresenta la parte reale, l'asse y quella immaginaria.
Questo approccio geometrico rende le operazioni intuitive l'addizione corrisponde alla somma vettoriale, la moltiplicazione combina rotazioni e dilatazioni. Il modulo del numero complesso coincide con la lunghezza del vettore.
Le coordinate polari (r; α) del punto P ti danno direttamente la forma trigonometrica del numero complesso corrispondente. Puoi passare facilmente dalle coordinate cartesiane a quelle polari usando r = √ e tan α = b/a.
Visualizza Ogni operazione tra numeri complessi ha un significato geometrico preciso nel piano di Gauss!
La moltiplicazione in forma trigonometrica segue una regola semplicissima moltiplichi i moduli e sommi gli argomenti. Per z₁z₂ ottieni r·s.
La divisione fa l'opposto dividi i moduli e sottrai gli argomenti. Il reciproco di z diventa 1/r · .
Le potenze seguono la regola di De Moivre z^n = r^n. Per esponenti negativi, usi z^ = 1/r^n · .
La forma esponenziale re^(iα) rende tutto ancora più diretto z₁z₂ = r₁r₂e^, mentre z₁/z₂ = e^.
Strategia Usa la forma trigonometrica per moltiplicazioni, divisioni e potenze - è molto più veloce della forma algebrica!
Passando dal piano allo spazio, ogni punto P è identificato da una terna ordinata (Xₚ; Yₚ; Zₚ). I tre assi x, y, z si intersecano perpendicolarmente nell'origine O, creando otto ottanti.
I tre piani coordinati Oxy, Oyz e Oxz dividono lo spazio e ti aiutano a visualizzare la posizione dei punti. Ogni coordinata rappresenta la proiezione del punto sul rispettivo asse.
La distanza tra due punti A e B si calcola con la formula tridimensionale |AB| = √. Il punto medio ha coordinate che sono la media delle coordinate dei due estremi.
Collegamento Le coordinate spaziali estendono naturalmente i concetti del piano cartesiano che già conosci!
Il nostro assistente AI è costruito specificamente per le esigenze degli studenti. Sulla base dei milioni di contenuti presenti sulla piattaforma, possiamo fornire agli studenti risposte davvero significative e pertinenti. Ma non si tratta solo di risposte, l'assistente è in grado di guidare gli studenti attraverso le loro sfide quotidiane di studio, con piani di studio personalizzati, quiz o contenuti nella chat e una personalizzazione al 100% basata sulle competenze e sugli sviluppi degli studenti.
È possibile scaricare l'applicazione dal Google Play Store e dall'Apple App Store.
Sì, hai accesso completamente gratuito a tutti i contenuti nell'app e puoi chattare o seguire i Creatori in qualsiasi momento. Sbloccherai nuove funzioni crescendo il tuo numero di follower. Inoltre, offriamo Knowunity Premium, che consente di studiare senza alcun limite!!
43
Strumenti Intelligenti NUOVO
Trasforma questi appunti in: ✓ 50+ Domande di Pratica ✓ Flashcard Interattive ✓ Simulazione Completa d'Esame ✓ Schemi per Saggi
grafici, caratteristiche ed equazioni sulle funzioni esponenziali
MatematicaEsponenziali
Matematicabase degli esponenziali e logaritmi
Matematicanumeri complessi, coordinate polari
Matematicaappunti sui logaritmi e le loro 3 proprietà
MatematicaDisequazioni di secondo grado con spiegazione
MatematicaApp Store
Google Play
L'applicazione è molto facile da usare e ben progettata. Finora ho trovato tutto quello che cercavo e ho potuto imparare molto dalle presentazioni! Utilizzerò sicuramente l'app per i compiti in classe! È molto utile anche come fonte di ispirazione.
Stefano S
utente iOS
Questa applicazione è davvero grande! Ci sono tantissimi appunti e aiuti con lo studio [...]. La mia materia problematica, per esempio, è il francese e l'app ha così tante opzioni per aiutarmi. Grazie a questa app ho migliorato il mio francese. La consiglio a tutti.
Samantha Klich
utente Android
Wow, sono davvero stupita. Ho appena provato l'app perché l'ho vista pubblicizzata molte volte e sono rimasta assolutamente sbalordita. Questa app è L'AIUTO che cercate per la scuola e soprattutto offre tantissime cose, come allenamenti e schede, che a me personalmente sono state MOLTO utili.
Anna
utente iOS
È bellissima questa app, la adoro. È utilissima per lo studio e mi aiuta molto, anzi moltissimo, ma soprattutto mi aiutano molto i quiz, per memorizzare anche quello che non sapevo
Anastasia
utente Android
Fantastica per qualsiasi materia avere gli appunti anche di altre persone è molto utile perchè posso confrontarmi e vedere come migliorarmi. con i quiz riesco ad apprendere al meglio.
Francesca
utente Android
moooolto utile,gli appunti sono belli e funzionanti,schoolGPT da dei consigli formidabili!!
Marianna
utente Android
L'applicazione è semplicemente fantastica! Tutto ciò che devo fare è inserire l'argomento nella barra di ricerca e ottengo la risposta molto velocemente. Non devo guardare 10 video di YouTube per capire qualcosa, quindi risparmio tempo. Consigliatissima!
Sudenaz Ocak
utente Android
A scuola andavo malissimo in matematica, ma grazie a questa applicazione ora vado meglio. Vi sono molto grato per aver creato questa app.
Greenlight Bonnie
utente Android
Knowunity è un applicazione fantastica,considerando che ha degli schemi veramente molto carini e sfiziosi e che ci sono dei quiz,oltre al fatto che questa cosa dell intelligenza artificiale "school gpt" è almeno per me molto utile, perché a differenza di Chatgpt ti da le spiegazioni, ti spiega ciò che non è chiaro! Posso studiare più velocemente tramite gli schemi e che posso pubblicare io stessa gli schemi è una funzione utilissima per gli altri studenti. Knowunity è PERFETTA
Aurora
utente Android
L’app funziona benissimo e puoi trovare qualsiasi tipo di informazione. Non ho l’abbonamento ma la parte gratuita è sufficiente per uno studio approfondito.
Martina
utente iOS
in questi ultimi mesi di scuola dove il tempo è ormai poco, mi sta aiutando molto perché piuttosto che farmi io gli schemi su quello che leggo sul libro guardo questi già fatti e li uso come ripasso piuttosto che rileggermi tutto il libro
Chiara
utente IOS
Questa app è una delle migliori, nient’altro da dire.
Andrea
utente iOS
L'applicazione è molto facile da usare e ben progettata. Finora ho trovato tutto quello che cercavo e ho potuto imparare molto dalle presentazioni! Utilizzerò sicuramente l'app per i compiti in classe! È molto utile anche come fonte di ispirazione.
Stefano S
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Anastasia
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Sudenaz Ocak
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Greenlight Bonnie
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elisa
@elisa_xghl
I numeri complessi aprono un mondo matematico affascinante che va oltre i numeri reali che già conosci. Ti permettono di risolvere equazioni impossibili come x² = -1 e di lavorare in tre dimensioni diverse: algebrica, trigonometrica ed esponenziale. Scoprirai come... Mostra di più
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Quando ti trovi davanti a equazioni come x² + 1 = 0, i numeri reali non bastano più. Ecco dove entrano in gioco i numeri complessi! Un numero complesso è semplicemente una coppia ordinata (a; b) di numeri reali.
Il trucco magico sta nell'unità immaginaria i, dove i² = -1. Questo ci permette di scrivere ogni numero complesso nella forma algebrica z = a + bi, dove a è la parte reale e b quella immaginaria.
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Ricorda: Quando moltiplichi un numero complesso per il suo coniugato, ottieni sempre un numero reale positivo: = a² + b².
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Le operazioni diventano molto più semplici: per moltiplicare due numeri complessi moltiplichi i moduli e sommi gli argomenti. Per la divisione fai il contrario!
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Per le equazioni in C, non c'è più il problema del delta negativo. Se risolvi x² - 6x + 25 = 0, ottieni soluzioni come x₁ = 3 + 4i e x₂ = 3 - 4i. Elegante, vero?
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Passando dal piano allo spazio, ogni punto P è identificato da una terna ordinata (Xₚ; Yₚ; Zₚ). I tre assi x, y, z si intersecano perpendicolarmente nell'origine O, creando otto ottanti.
I tre piani coordinati Oxy, Oyz e Oxz dividono lo spazio e ti aiutano a visualizzare la posizione dei punti. Ogni coordinata rappresenta la proiezione del punto sul rispettivo asse.
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