Disequazioni di Secondo Grado: Guida Completa

Cos'è una Disequazione di 2° Grado

Una disequazione di secondo grado ha sempre la forma ax² + bx + c ≤ 0 (o con altri simboli come <, >, ≥). La cosa importante è che a ≠ 0, altrimenti non sarebbe più di secondo grado!

Risolvere una disequazione significa trovare tutti i valori di x che rendono vera la disuguaglianza. Non è così complicato come sembra: basta seguire 4 passi fondamentali.

I 4 passi per risolvere qualsiasi disequazione di 2° grado:

1. Risolvi l'equazione corrispondente (cambi il simbolo con =)
2. Calcola il discriminante Δ = b² - 4ac
3. Studia il segno della parabola
4. Scrivi la soluzione finale

Trucco da ricordare: La parabola con a > 0 è una "U" sorridente, quella con a < 0 è una "U" capovolta!

I Casi Principali da Conoscere

Quando risolvi le disequazioni di secondo grado, ti troverai sempre di fronte a 3 situazioni diverse in base al valore del discriminante.

Caso 1 - Δ > 0 (due soluzioni reali): La parabola interseca l'asse x in due punti. Se a > 0, la parabola è negativa tra le radici e positiva fuori. Se a < 0, è il contrario.

Caso 2 - Δ = 0 (una soluzione doppia): La parabola tocca l'asse x in un solo punto. Se cerchi ≥ 0 e a > 0, la soluzione è tutto ℝ. Se cerchi < 0, non esistono soluzioni.

Caso 3 - Δ < 0 (nessuna soluzione reale): La parabola non tocca mai l'asse x. Se a > 0 e cerchi ≥ 0, la soluzione è tutto ℝ. Se cerchi < 0, la disequazione è impossibile.

Attenzione: Quando a < 0 (coefficiente negativo), tutti i ragionamenti sui segni si invertono!

Esempi Pratici e Casi Speciali

Vediamo alcuni esempi concreti che ti capiteranno sicuramente negli esercizi. Il discriminante nullo $Δ = 0$ è particolarmente importante da riconoscere.

Per x² + 6x + 9 ≥ 0, hai Δ = 0 e x = -3. Dato che a > 0, la parabola è sempre positiva o nulla, quindi la soluzione è tutto ℝ. Se invece avessi x² + 6x + 9 < 0, non esisterebbero soluzioni.

Caso particolare con a negativo: In -25x² + 10x - 1 ≥ 0, hai a = -25 < 0 e Δ = 0. La parabola è sempre negativa tranne nel vertice x = 1/5, quindi l'unica soluzione è x = 1/5.

Negli esercizi più complessi come le disequazioni fratte, prima devi portare tutto a forma standard moltiplicando per il denominatore (attento al segno!). Poi applichi sempre gli stessi 4 passi.

Suggerimento per l'esame: Disegna sempre un piccolo grafico della parabola per visualizzare dove è positiva o negativa!