Matematica: Teoria

Questo è il tuo manuale di riferimento per padroneggiare le funzioni matematiche. Qui troverai tutti gli strumenti necessari per affrontare con sicurezza questo argomento fondamentale.

Le funzioni non sono solo teoria astratta - le usi già nella vita quotidiana senza accorgertene! Ogni volta che calcoli quanto spendi in base a quello che compri, stai applicando una funzione.

Ricorda: La matematica diventa più facile quando capisci il "perché" dietro le regole!

Le Funzioni - Definizione Base

Una funzione è semplicemente una relazione speciale tra due insiemi A e B. La regola è semplice: ogni elemento dell'insieme A deve essere collegato a uno e un solo elemento dell'insieme B.

Pensala così: l'insieme A (chiamato dominio) contiene tutti i valori che puoi "inserire" nella funzione. L'insieme B è il codominio, mentre l'insieme immagine contiene solo i valori che ottieni realmente come risultato.

È come avere una macchina del caffè: il dominio sono tutte le monete che potresti inserire, il codominio sono tutti i tipi di bevande possibili, e l'insieme immagine sono solo le bevande che quella macchina sa fare davvero.

Trucco: Se un elemento del dominio si collega a più elementi del codominio, non è una funzione!

Le Funzioni - Notazione e Variabili

La scrittura y = f(x) è il modo standard per indicare una funzione. Qui x è la variabile indipendente (il valore che scegli tu) e y è la variabile dipendente (il risultato che ottieni).

L'espressione analitica è la formula che ti dice come calcolare y partendo da x. Per esempio, se y = 2x + 5 e inserisci x = 1, ottieni y = 7.

La funzione inversa f⁻¹(x) è come "andare al contrario": se f trasforma 1 in 7, allora f⁻¹ trasforma 7 in 1. Non tutte le funzioni hanno un'inversa, ma quando c'è può essere molto utile!

Consiglio: Prova sempre con numeri semplici per verificare se hai capito bene la funzione!

Trovare il Dominio di una Funzione

Il dominio è l'insieme di tutti i valori di x per cui la funzione "funziona" senza problemi. Ecco le regole principali che devi ricordare:

Per le funzioni polinomiali come y = 3x + 4, il dominio è sempre tutti i numeri reali (∀x ∈ ℝ). Per le frazioni come y = $x+2$/$x-4$, devi escludere i valori che renderebbero zero il denominatore (qui x ≠ 4).

Le radici con indice pari come √x richiedono che l'argomento sia positivo o nullo (x ≥ 0). Se hai più radici, devi soddisfare tutte le condizioni contemporaneamente. Le radici con indice dispari invece accettano qualsiasi numero reale.

Attenzione: Il denominatore zero e la radice di un numero negativo (con indice pari) sono i nemici principali del dominio!

Dominio e Immagine dal Grafico

Quando hai il grafico di una funzione, trovare dominio e insieme immagine diventa molto più semplice e visuale. Basta osservare attentamente!

Il dominio corrisponde a tutti i valori sull'asse x dove il grafico esiste. Guarda da sinistra a destra: da quale valore inizia e dove finisce la funzione? Nel grafico mostrato, il dominio è x > c.

L'insieme immagine sono tutti i valori sull'asse y che la funzione raggiunge effettivamente. Guarda dal basso verso l'alto: qual è il valore minimo e massimo che y può assumere? Nell'esempio, è a < y < b.

Trucco visivo: Proietta il grafico sugli assi per "leggere" dominio (asse x) e immagine (asse y)!

Intersezioni con gli Assi

Trovare le intersezioni di una funzione con gli assi è fondamentale per capire il suo comportamento. È più facile di quanto sembri!

Per l'intersezione con l'asse y, sostituisci x = 0 nella funzione. Il punto di intersezione sarà (0, f(0)). Questo punto ti dice dove la funzione "attraversa" l'asse verticale.

Per le intersezioni con l'asse x, risolvi l'equazione f(x) = 0. Questi sono i punti dove il grafico tocca o attraversa l'asse orizzontale, chiamati anche "zeri" della funzione.

Ricorda: Una funzione può avere più intersezioni con l'asse x, ma al massimo una con l'asse y!

Studio del Segno

Lo studio del segno ti dice quando la funzione è positiva, negativa o nulla. È essenziale per disegnare il grafico correttamente!

Per studiare il segno, risolvi la disequazione f(x) > 0. Questo ti dirà per quali valori di x la funzione è positiva (grafico sopra l'asse x).

I risultati possibili sono: x > A (funzione positiva per valori maggiori di A), x < A (funzione positiva per valori minori di A), oppure la funzione potrebbe non esistere per certi valori.

Strategia: Disegna sempre una linea dei segni per visualizzare dove la funzione è positiva (+) o negativa (-)!

Studio del Segno - Casi Complessi

Quando hai situazioni più complesse, il segno della funzione può alternare tra positivo e negativo in intervalli diversi.

La notazione x < A ∨ x > B significa che la funzione è positiva quando x è minore di A OPPURE maggiore di B. La notazione A < x < B indica che la funzione è positiva solo nell'intervallo tra A e B.

In alcuni casi, la funzione potrebbe non esistere per certi valori di x. Questi punti vanno sempre segnalati nello studio del segno.

Attenzione: Il simbolo ∨ significa "oppure" - la funzione è positiva in entrambi gli intervalli separati!

Funzioni Pari e Dispari

Le funzioni pari e dispari hanno proprietà di simmetria molto utili che semplificano lo studio e il disegno del grafico.

Una funzione è pari se f$-x$ = f(x). Graficamente, questo significa che è simmetrica rispetto all'asse y: se pieghi il foglio lungo l'asse verticale, le due metà coincidono perfettamente.

Una funzione è dispari se f$-x$ = -f(x). Il grafico è simmetrico rispetto all'origine (0,0): se ruoti il grafico di 180° intorno all'origine, rimane identico.

Memoria visiva: Pari = simmetria rispetto all'asse Y; Dispari = simmetria rispetto all'origine!

Riconoscere le Simmetrie dal Grafico

Guardando i grafici delle funzioni, puoi immediatamente riconoscere se sono pari, dispari o nessuna delle due.

La funzione pari ha un grafico che sembra "specchiato" rispetto all'asse y. La funzione dispari ha un grafico che, se ruotato di 180° intorno all'origine, rimane uguale a se stesso.

Molte funzioni non sono né pari né dispari - e va benissimo così! La maggior parte delle funzioni che incontrerai non ha particolari simmetrie, e questo è perfettamente normale.

Test rapido: Copri metà grafico con la mano - se riesci a "immaginare" l'altra metà per simmetria, la funzione ha una proprietà speciale!