Alessandro Borlizzi

27/11/2025

Matematica

Le funzioni

Materie

Matematica

Relazioni e funzioni

Funzioni

Trasformazioni di grafici di funzione

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•

27 nov 2025

•

8 pagine

Le Funzioni: Definizione e Tipi

Alessandro Borlizzi

@mrorange

Le funzioni sono uno dei concetti più importanti della matematica... Mostra di più

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Cos'è una funzione?

Immagina una funzione come una regola che collega ogni elemento di un insieme A (chiamato dominio) con uno e un solo elemento di un insieme B (il codominio). È come avere una mappa che ti dice esattamente dove andare!

La parte fondamentale è "uno e un solo": questo significa che per ogni valore che inserisci, ottieni sempre un unico risultato. Non puoi avere un valore che ti dà due risposte diverse.

Quando disegni una funzione, ogni freccia che parte dal dominio deve arrivare a un solo punto nel codominio. Se vedi frecce che si dividono o puntano in più direzioni, allora non hai una funzione!

💡 Ricorda: Una funzione è valida solo se ogni input ha esattamente un output!

Classificazione delle funzioni

Le funzioni possono essere classificate in tre modi principali, un po' come i supereroi hanno diversi poteri! Una funzione iniettiva è quella in cui ogni freccia del codominio riceve al massimo una freccia dal dominio - niente doppioni.

Una funzione suriettiva invece è più generosa: ogni elemento del codominio riceve almeno una freccia dal dominio. Non ci sono elementi "abbandonati" nel codominio!

Infine, una funzione biettiva è la campionessa: è sia iniettiva che suriettiva. Ogni elemento del dominio ha la sua immagine unica nel codominio, e ogni elemento del codominio riceve esattamente una freccia.

💡 Trucco: Biettiva = il meglio di entrambi i mondi!

Funzioni crescenti

Ora parliamo di come si comportano le funzioni! Una funzione strettamente crescente è come salire sempre una scala: se prendi due punti $x_1$ e $x_2$ con $x_1 < x_2$ , allora anche $f(x_1) < f(x_2)$ .

È importante capire che una funzione può essere crescente solo in certi intervalli. Per esempio, $y = x^2$ è crescente solo da 0 in poi, mentre prima di 0 sta diminuendo!

Una funzione crescente (non strettamente) è più rilassata: permette anche tratti piatti dove $f(x_1) = f(x_2)$ . È come una scala con alcuni gradini dello stesso livello.

💡 Osserva i grafici: Il modo migliore per capire se una funzione cresce è seguirla con lo sguardo da sinistra a destra!

Funzioni decrescenti

Le funzioni decrescenti fanno l'opposto: scendono! Una funzione strettamente decrescente è come scendere una scala ripida - se $x_1 > x_2$ , allora $f(x_1) > f(x_2)$ .

Anche qui vale il discorso degli intervalli. La stessa $y = x^2$ che cresce da 0 in poi, in realtà decresce prima dello zero. È tutto una questione di dove guardi!

Una funzione decrescente (non strettamente) può avere anche tratti piatti, proprio come quelle crescenti. L'importante è che nel complesso la tendenza sia verso il basso.

💡 Tip per l'esame: Studia sempre gli intervalli separatamente - una funzione può crescere in una zona e decrescere in un'altra!

Funzioni decrescenti locali e proprietà

Il concetto di funzione decrescente localmente è cruciale: significa che la funzione decresce solo in un certo intervallo. Come abbiamo visto, $y = x^2$ decresce nell'intervallo $]-∞, 0[$ ma poi cambia comportamento.

Quando analizzi una funzione, devi sempre specificare dove sta crescendo o decrescendo. Non basta dire "questa funzione cresce" - devi dire "cresce nell'intervallo $a,b$ ".

Le proprietà di monotonia $crescente/decrescente$ sono fondamentali per capire il comportamento di una funzione e per disegnarne il grafico correttamente.

💡 Strategia di studio: Dividi sempre il dominio in intervalli e studia il comportamento in ognuno!

Funzioni pari e dispari

Le funzioni pari hanno una simmetria speciale: sono identiche se le rifletti rispetto all'asse y. La regola è semplice: $f(x) = f(-x)$ per ogni x. Il coseno è un esempio perfetto!

Le funzioni dispari invece sono simmetriche rispetto all'origine. Se ruoti il grafico di 180°, ottieni lo stesso grafico! La formula è $f(-x) = -f(x)$ , e il seno è l'esempio classico.

Queste simmetrie non sono solo belle da vedere - ti aiutano enormemente nei calcoli! Se sai che una funzione è pari, devi studiare solo metà del grafico.

💡 Test rapido: Per controllare se una funzione è pari o dispari, sostituisci x con -x e vedi cosa succede!

Studio completo delle funzioni e composizione

Quando studi una funzione completa, devi analizzare tutti i suoi comportamenti: dove cresce, dove decresce, eventuali asintoti e punti di discontinuità. È come fare il ritratto completo della funzione!

La composizione di funzioni è un'operazione potente: prendi due funzioni $f(x)$ e $g(x)$ e crei una nuova funzione $g[f(x)]$ . È come collegare due macchine in serie.

Il processo è semplice: la prima funzione $f(x)$ trasforma $x$ in $y$ , poi la seconda funzione $g$ trasforma questo $y$ in $z$ . Il risultato finale collega direttamente $x$ a $z$ .

💡 Attenzione: L'ordine conta! $g \circ f$ è diverso da $f \circ g$ - non è commutativa!

Calcolo pratico delle funzioni composte

Per calcolare una funzione composta $g \circ f$ , devi sostituire ogni x nella funzione $g(x)$ con l'intera espressione $f(x)$ . Sembra complicato ma con la pratica diventa automatico!

Nell'esempio: se $f(x) = 3x + 1$ e $g(x) = 2x^2$ , allora $g \circ f = 2(3x + 1)^2 = 18x^2 + 12x + 2$ . Vedi come abbiamo sostituito $(3x + 1)$ al posto di ogni x in $g(x)$ ?

Ricorda sempre che $g \circ f$ è completamente diverso da $f \circ g$ . Nel nostro esempio, $f \circ g = 6x^2 + 1$ , che è totalmente diverso dal risultato precedente!

💡 Metodo infallibile: Scrivi sempre i passaggi intermedi - ti salverà da molti errori di calcolo!

Pensavamo che non l'avreste mai chiesto....

Che cos'è l'assistente AI di Knowunity?

Il nostro assistente AI è costruito specificamente per le esigenze degli studenti. Sulla base dei milioni di contenuti presenti sulla piattaforma, possiamo fornire agli studenti risposte davvero significative e pertinenti. Ma non si tratta solo di risposte, l'assistente è in grado di guidare gli studenti attraverso le loro sfide quotidiane di studio, con piani di studio personalizzati, quiz o contenuti nella chat e una personalizzazione al 100% basata sulle competenze e sugli sviluppi degli studenti.

Dove posso scaricare l'applicazione Knowunity?

È possibile scaricare l'applicazione dal Google Play Store e dall'Apple App Store.

Knowunity è davvero gratuita?

Sì, hai accesso completamente gratuito a tutti i contenuti nell'app e puoi chattare o seguire i Creatori in qualsiasi momento. Sbloccherai nuove funzioni crescendo il tuo numero di follower. Inoltre, offriamo Knowunity Premium, che consente di studiare senza alcun limite!!

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L'applicazione è molto facile da usare e ben progettata. Finora ho trovato tutto quello che cercavo e ho potuto imparare molto dalle presentazioni! Utilizzerò sicuramente l'app per i compiti in classe! È molto utile anche come fonte di ispirazione.

Stefano S

utente iOS

Questa applicazione è davvero grande! Ci sono tantissimi appunti e aiuti con lo studio [...]. La mia materia problematica, per esempio, è il francese e l'app ha così tante opzioni per aiutarmi. Grazie a questa app ho migliorato il mio francese. La consiglio a tutti.

Samantha Klich

utente Android

Wow, sono davvero stupita. Ho appena provato l'app perché l'ho vista pubblicizzata molte volte e sono rimasta assolutamente sbalordita. Questa app è L'AIUTO che cercate per la scuola e soprattutto offre tantissime cose, come allenamenti e schede, che a me personalmente sono state MOLTO utili.

Anna

utente iOS

È bellissima questa app, la adoro. È utilissima per lo studio e mi aiuta molto, anzi moltissimo, ma soprattutto mi aiutano molto i quiz, per memorizzare anche quello che non sapevo

Anastasia

utente Android

Fantastica per qualsiasi materia avere gli appunti anche di altre persone è molto utile perchè posso confrontarmi e vedere come migliorarmi. con i quiz riesco ad apprendere al meglio.

Francesca

utente Android

moooolto utile,gli appunti sono belli e funzionanti,schoolGPT da dei consigli formidabili!!

Marianna

utente Android

L'applicazione è semplicemente fantastica! Tutto ciò che devo fare è inserire l'argomento nella barra di ricerca e ottengo la risposta molto velocemente. Non devo guardare 10 video di YouTube per capire qualcosa, quindi risparmio tempo. Consigliatissima!

Sudenaz Ocak

utente Android

A scuola andavo malissimo in matematica, ma grazie a questa applicazione ora vado meglio. Vi sono molto grato per aver creato questa app.

Greenlight Bonnie

utente Android

Knowunity è un applicazione fantastica,considerando che ha degli schemi veramente molto carini e sfiziosi e che ci sono dei quiz,oltre al fatto che questa cosa dell intelligenza artificiale "school gpt" è almeno per me molto utile, perché a differenza di Chatgpt ti da le spiegazioni, ti spiega ciò che non è chiaro! Posso studiare più velocemente tramite gli schemi e che posso pubblicare io stessa gli schemi è una funzione utilissima per gli altri studenti. Knowunity è PERFETTA

Aurora

utente Android

L’app funziona benissimo e puoi trovare qualsiasi tipo di informazione. Non ho l’abbonamento ma la parte gratuita è sufficiente per uno studio approfondito.

Martina

utente iOS

in questi ultimi mesi di scuola dove il tempo è ormai poco, mi sta aiutando molto perché piuttosto che farmi io gli schemi su quello che leggo sul libro guardo questi già fatti e li uso come ripasso piuttosto che rileggermi tutto il libro

Chiara

utente IOS

Questa app è una delle migliori, nient’altro da dire.

Andrea

utente iOS

Stefano S

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Samantha Klich

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Anna

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È bellissima questa app, la adoro. È utilissima per lo studio e mi aiuta molto, anzi moltissimo, ma soprattutto mi aiutano molto i quiz, per memorizzare anche quello che non sapevo

Anastasia

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Fantastica per qualsiasi materia avere gli appunti anche di altre persone è molto utile perchè posso confrontarmi e vedere come migliorarmi. con i quiz riesco ad apprendere al meglio.

Francesca

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Marianna

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Sudenaz Ocak

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A scuola andavo malissimo in matematica, ma grazie a questa applicazione ora vado meglio. Vi sono molto grato per aver creato questa app.

Greenlight Bonnie

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L’app funziona benissimo e puoi trovare qualsiasi tipo di informazione. Non ho l’abbonamento ma la parte gratuita è sufficiente per uno studio approfondito.

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Ricorda sempre che $g \circ f$ è completamente diverso da $f \circ g$ . Nel nostro esempio, $f \circ g = 6x^2 + 1$ , che è totalmente diverso dal risultato precedente!

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