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Introduzione al Piano Cartesiano e alla Retta

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Emanuele Merletti

18/11/2025

Matematica

Piano cartesiano e retta

1288

18 nov 2025

11 pagine

Introduzione al Piano Cartesiano e alla Retta

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Emanuele Merletti

@ssighmanuu

Il piano cartesiano e lo studio delle rette sono fondamentali... Mostra di più

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PIANO CARTESIANO E
RETTA a cura di Emanuele Merletti
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f: y = 2x+6
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Esempio di una retta:

Piano Cartesiano e Equazione della Retta

Il piano cartesiano ti permette di rappresentare graficamente le funzioni matematiche. La forma più comune di una retta è y = mx + q, dove m rappresenta il coefficiente angolare e q l'ordinata all'origine.

Un esempio pratico è la retta y = 2x + 6. Qui il coefficiente angolare è 2 (la retta sale di 2 unità per ogni unità sull'asse x) e 6 è il punto dove la retta interseca l'asse y.

💡 Ricorda: Il coefficiente angolare m ti dice quanto è "ripida" la retta!

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RETTA a cura di Emanuele Merletti
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Esempio di una retta:

Distanza tra Due Punti

Calcolare la distanza tra due punti è più semplice di quanto pensi! Usi la formula: AB = √(xBxA)2+(yByA)2(xB - xA)² + (yB - yA)².

Prendiamo l'esempio con i punti A(2,2) e B(-1,6). Sostituendo nella formula ottieni: √(12)2+(62)2(-1-2)² + (6-2)² = √9+169 + 16 = √25 = 5.

Questa formula deriva dal teorema di Pitagora applicato al piano cartesiano. È uno strumento fondamentale che userai spesso negli esercizi.

💡 Trucco: Visualizza sempre i punti sul piano per controllare se il risultato ha senso!

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Esempio di una retta:

Punto Medio di un Segmento

Il punto medio è facilissimo da trovare! Fai semplicemente la media delle coordinate: xM = xA+xBxA + xB/2 e yM = yA+yByA + yB/2.

Con l'esempio A(3,-1) e B(0,-5), ottieni: xM = (3+0)/2 = 3/2 e yM = (-1-5)/2 = -3. Quindi il punto medio è M(3/2, -3).

Questo concetto è super utile per trovare il centro di un segmento o per problemi di geometria più complessi.

💡 Tip: Il punto medio è sempre esattamente a metà strada tra i due punti!

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RETTA a cura di Emanuele Merletti
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Esempio di una retta:

Tipologie di Rette

Esistono diverse tipologie di rette che devi conoscere. La retta y = mx passa per l'origine, mentre y = mx + q è la forma esplicita generale.

Il coefficiente angolare m determina la pendenza: se m > 0 la retta sale (angolo acuto), se m < 0 scende (angolo ottuso). Le rette y = q sono parallele all'asse x, mentre x = k sono parallele all'asse y.

Non dimenticare che y = 0 rappresenta l'asse x e x = 0 rappresenta l'asse y. Queste sono le basi per capire tutte le altre equazioni.

💡 Visualizza: Disegna sempre le rette per capire meglio il loro comportamento!

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Esempio di una retta:

Forme delle Equazioni

Oltre alla forma esplicita, esiste l'equazione generale della retta: Ax + By + C = 0. Questa forma è molto utile per certi calcoli e trasformazioni.

La retta y = 5 è un esempio di retta parallela all'asse x, mentre x = 6 è parallela all'asse y. Puoi sempre convertire tra forma esplicita e implicita secondo le necessità del problema.

💡 Strategia: Scegli sempre la forma più comoda per il tipo di calcolo che devi fare!

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Esempio di una retta:

Conversioni tra Forme

Convertire dalla forma implicita 2x+3y6=02x + 3y - 6 = 0 alla forma esplicita y=mx+qy = mx + q è fondamentale. Basta isolare y: 3y = -2x + 6, quindi y = -2/3x + 2.

La retta y = -5x + 36 è già in forma esplicita e mostra chiaramente coefficiente angolare (-5) e ordinata all'origine (36).

Padroneggiare queste conversioni ti renderà molto più veloce negli esercizi e ti aiuterà a capire meglio le proprietà delle rette.

💡 Pratica: Fai sempre qualche conversione per riscaldarti prima degli esercizi complessi!

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Esempio di una retta:

Rette Parallele e Perpendicolari

Due rette sono parallele quando hanno lo stesso coefficiente angolare: r ∥ s ⟷ m = m₁. Esempio: y = 2x + 5 e y = 2x + 43.

Due rette sono perpendicolari quando il prodotto dei loro coefficienti angolari è -1: r ⊥ s ⟷ m · m₁ = -1. Esempio: y = 5x + 21 e y = -1/5x - 10.

Queste relazioni sono super importanti per risolvere problemi di geometria analitica e per capire le relazioni spaziali tra rette.

💡 Memoria: Parallele = stesso m, Perpendicolari = prodotto -1!

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Esempio di una retta:

Trovare Equazioni di Rette

Per trovare il coefficiente angolare tra due punti usi: m = yByAyB - yA/xBxAxB - xA. Con A(5,-4) e B(2,3) ottieni m = (3-(-4))/(2-5) = -7/3.

Per una retta passante per un punto con coefficiente noto: y - yA = mxxAx - xA. Per due punti usi: yyAy - yA/xxAx - xA = yByAyB - yA/xBxAxB - xA.

Con A(3,5) e B(-1,2), dopo i calcoli ottieni y = 3/4x + 11/4. Questi metodi ti permettono di trovare qualsiasi retta!

💡 Metodo: Parti sempre dall'identificare quali dati hai e quale formula serve!

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Esempio di una retta:

Applicazioni Pratiche

Gli esempi precedenti mostrano come applicare le formule nella pratica. La retta y = 1/3x - 11/3 deriva dall'applicazione della formula punto-coefficiente angolare.

La retta y = 3/4x + 11/4 è il risultato della formula per due punti. Vedere questi esempi graficamente ti aiuta a verificare la correttezza dei calcoli.

💡 Controllo: Verifica sempre sostituendo le coordinate dei punti originali nell'equazione finale!

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Esempio di una retta:

Fasci di Rette

Un fascio di rette è l'insieme di tutte le rette che passano per un punto fisso. L'equazione generale è: y - yA = mxxAx - xA ∨ x = xA.

Nell'esempio con centro P(2,1), tutte le rette del fascio f:y=1,g:y=1/2x+2,h:y=1/2xf: y = 1, g: y = -1/2x + 2, h: y = 1/2x passano per questo punto. La retta verticale x = 2 completa il fascio.

I fasci sono utili per studiare famiglie di rette con proprietà comuni e per risolvere problemi geometrici complessi.

💡 Concetto: Un fascio contiene infinite rette, tutte con un punto in comune!



Pensavamo che non l'avreste mai chiesto....

Che cos'è l'assistente AI di Knowunity?

Il nostro assistente AI è costruito specificamente per le esigenze degli studenti. Sulla base dei milioni di contenuti presenti sulla piattaforma, possiamo fornire agli studenti risposte davvero significative e pertinenti. Ma non si tratta solo di risposte, l'assistente è in grado di guidare gli studenti attraverso le loro sfide quotidiane di studio, con piani di studio personalizzati, quiz o contenuti nella chat e una personalizzazione al 100% basata sulle competenze e sugli sviluppi degli studenti.

Dove posso scaricare l'applicazione Knowunity?

È possibile scaricare l'applicazione dal Google Play Store e dall'Apple App Store.

Knowunity è davvero gratuita?

Sì, hai accesso completamente gratuito a tutti i contenuti nell'app e puoi chattare o seguire i Creatori in qualsiasi momento. Sbloccherai nuove funzioni crescendo il tuo numero di follower. Inoltre, offriamo Knowunity Premium, che consente di studiare senza alcun limite!!

Non c'è niente di adatto? Esplorare altre aree tematiche.

Recensioni dei nostri utenti. Ci adorano - e anche tu, vedrai .

4.9/5

App Store

4.8/5

Google Play

L'applicazione è molto facile da usare e ben progettata. Finora ho trovato tutto quello che cercavo e ho potuto imparare molto dalle presentazioni! Utilizzerò sicuramente l'app per i compiti in classe! È molto utile anche come fonte di ispirazione.

Stefano S

utente iOS

Questa applicazione è davvero grande! Ci sono tantissimi appunti e aiuti con lo studio [...]. La mia materia problematica, per esempio, è il francese e l'app ha così tante opzioni per aiutarmi. Grazie a questa app ho migliorato il mio francese. La consiglio a tutti.

Samantha Klich

utente Android

Wow, sono davvero stupita. Ho appena provato l'app perché l'ho vista pubblicizzata molte volte e sono rimasta assolutamente sbalordita. Questa app è L'AIUTO che cercate per la scuola e soprattutto offre tantissime cose, come allenamenti e schede, che a me personalmente sono state MOLTO utili.

Anna

utente iOS

È bellissima questa app, la adoro. È utilissima per lo studio e mi aiuta molto, anzi moltissimo, ma soprattutto mi aiutano molto i quiz, per memorizzare anche quello che non sapevo

Anastasia

utente Android

Fantastica per qualsiasi materia avere gli appunti anche di altre persone è molto utile perchè posso confrontarmi e vedere come migliorarmi. con i quiz riesco ad apprendere al meglio.

Francesca

utente Android

moooolto utile,gli appunti sono belli e funzionanti,schoolGPT da dei consigli formidabili!!

Marianna

utente Android

L'applicazione è semplicemente fantastica! Tutto ciò che devo fare è inserire l'argomento nella barra di ricerca e ottengo la risposta molto velocemente. Non devo guardare 10 video di YouTube per capire qualcosa, quindi risparmio tempo. Consigliatissima!

Sudenaz Ocak

utente Android

A scuola andavo malissimo in matematica, ma grazie a questa applicazione ora vado meglio. Vi sono molto grato per aver creato questa app.

Greenlight Bonnie

utente Android

Knowunity è un applicazione fantastica,considerando che ha degli schemi veramente molto carini e sfiziosi e che ci sono dei quiz,oltre al fatto che questa cosa dell intelligenza artificiale "school gpt" è almeno per me molto utile, perché a differenza di Chatgpt ti da le spiegazioni, ti spiega ciò che non è chiaro! Posso studiare più velocemente tramite gli schemi e che posso pubblicare io stessa gli schemi è una funzione utilissima per gli altri studenti. Knowunity è PERFETTA

Aurora

utente Android

L’app funziona benissimo e puoi trovare qualsiasi tipo di informazione. Non ho l’abbonamento ma la parte gratuita è sufficiente per uno studio approfondito.

Martina

utente iOS

in questi ultimi mesi di scuola dove il tempo è ormai poco, mi sta aiutando molto perché piuttosto che farmi io gli schemi su quello che leggo sul libro guardo questi già fatti e li uso come ripasso piuttosto che rileggermi tutto il libro

Chiara

utente IOS

Questa app è una delle migliori, nient’altro da dire.

Andrea

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L'applicazione è molto facile da usare e ben progettata. Finora ho trovato tutto quello che cercavo e ho potuto imparare molto dalle presentazioni! Utilizzerò sicuramente l'app per i compiti in classe! È molto utile anche come fonte di ispirazione.

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Questa applicazione è davvero grande! Ci sono tantissimi appunti e aiuti con lo studio [...]. La mia materia problematica, per esempio, è il francese e l'app ha così tante opzioni per aiutarmi. Grazie a questa app ho migliorato il mio francese. La consiglio a tutti.

Samantha Klich

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Wow, sono davvero stupita. Ho appena provato l'app perché l'ho vista pubblicizzata molte volte e sono rimasta assolutamente sbalordita. Questa app è L'AIUTO che cercate per la scuola e soprattutto offre tantissime cose, come allenamenti e schede, che a me personalmente sono state MOLTO utili.

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È bellissima questa app, la adoro. È utilissima per lo studio e mi aiuta molto, anzi moltissimo, ma soprattutto mi aiutano molto i quiz, per memorizzare anche quello che non sapevo

Anastasia

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moooolto utile,gli appunti sono belli e funzionanti,schoolGPT da dei consigli formidabili!!

Marianna

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L'applicazione è semplicemente fantastica! Tutto ciò che devo fare è inserire l'argomento nella barra di ricerca e ottengo la risposta molto velocemente. Non devo guardare 10 video di YouTube per capire qualcosa, quindi risparmio tempo. Consigliatissima!

Sudenaz Ocak

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A scuola andavo malissimo in matematica, ma grazie a questa applicazione ora vado meglio. Vi sono molto grato per aver creato questa app.

Greenlight Bonnie

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Knowunity è un applicazione fantastica,considerando che ha degli schemi veramente molto carini e sfiziosi e che ci sono dei quiz,oltre al fatto che questa cosa dell intelligenza artificiale "school gpt" è almeno per me molto utile, perché a differenza di Chatgpt ti da le spiegazioni, ti spiega ciò che non è chiaro! Posso studiare più velocemente tramite gli schemi e che posso pubblicare io stessa gli schemi è una funzione utilissima per gli altri studenti. Knowunity è PERFETTA

Aurora

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L’app funziona benissimo e puoi trovare qualsiasi tipo di informazione. Non ho l’abbonamento ma la parte gratuita è sufficiente per uno studio approfondito.

Martina

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in questi ultimi mesi di scuola dove il tempo è ormai poco, mi sta aiutando molto perché piuttosto che farmi io gli schemi su quello che leggo sul libro guardo questi già fatti e li uso come ripasso piuttosto che rileggermi tutto il libro

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Questa app è una delle migliori, nient’altro da dire.

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Introduzione al Piano Cartesiano e alla Retta

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Emanuele Merletti

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Il piano cartesiano e lo studio delle rette sono fondamentali per capire la geometria analitica. Imparerai a calcolare distanze, trovare punti medi e lavorare con diversi tipi di equazioni di rette.

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RETTA a cura di Emanuele Merletti
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Piano Cartesiano e Equazione della Retta

Il piano cartesiano ti permette di rappresentare graficamente le funzioni matematiche. La forma più comune di una retta è y = mx + q, dove m rappresenta il coefficiente angolare e q l'ordinata all'origine.

Un esempio pratico è la retta y = 2x + 6. Qui il coefficiente angolare è 2 (la retta sale di 2 unità per ogni unità sull'asse x) e 6 è il punto dove la retta interseca l'asse y.

💡 Ricorda: Il coefficiente angolare m ti dice quanto è "ripida" la retta!

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Distanza tra Due Punti

Calcolare la distanza tra due punti è più semplice di quanto pensi! Usi la formula: AB = √(xBxA)2+(yByA)2(xB - xA)² + (yB - yA)².

Prendiamo l'esempio con i punti A(2,2) e B(-1,6). Sostituendo nella formula ottieni: √(12)2+(62)2(-1-2)² + (6-2)² = √9+169 + 16 = √25 = 5.

Questa formula deriva dal teorema di Pitagora applicato al piano cartesiano. È uno strumento fondamentale che userai spesso negli esercizi.

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Punto Medio di un Segmento

Il punto medio è facilissimo da trovare! Fai semplicemente la media delle coordinate: xM = xA+xBxA + xB/2 e yM = yA+yByA + yB/2.

Con l'esempio A(3,-1) e B(0,-5), ottieni: xM = (3+0)/2 = 3/2 e yM = (-1-5)/2 = -3. Quindi il punto medio è M(3/2, -3).

Questo concetto è super utile per trovare il centro di un segmento o per problemi di geometria più complessi.

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Tipologie di Rette

Esistono diverse tipologie di rette che devi conoscere. La retta y = mx passa per l'origine, mentre y = mx + q è la forma esplicita generale.

Il coefficiente angolare m determina la pendenza: se m > 0 la retta sale (angolo acuto), se m < 0 scende (angolo ottuso). Le rette y = q sono parallele all'asse x, mentre x = k sono parallele all'asse y.

Non dimenticare che y = 0 rappresenta l'asse x e x = 0 rappresenta l'asse y. Queste sono le basi per capire tutte le altre equazioni.

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Forme delle Equazioni

Oltre alla forma esplicita, esiste l'equazione generale della retta: Ax + By + C = 0. Questa forma è molto utile per certi calcoli e trasformazioni.

La retta y = 5 è un esempio di retta parallela all'asse x, mentre x = 6 è parallela all'asse y. Puoi sempre convertire tra forma esplicita e implicita secondo le necessità del problema.

💡 Strategia: Scegli sempre la forma più comoda per il tipo di calcolo che devi fare!

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Conversioni tra Forme

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La retta y = -5x + 36 è già in forma esplicita e mostra chiaramente coefficiente angolare (-5) e ordinata all'origine (36).

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Rette Parallele e Perpendicolari

Due rette sono parallele quando hanno lo stesso coefficiente angolare: r ∥ s ⟷ m = m₁. Esempio: y = 2x + 5 e y = 2x + 43.

Due rette sono perpendicolari quando il prodotto dei loro coefficienti angolari è -1: r ⊥ s ⟷ m · m₁ = -1. Esempio: y = 5x + 21 e y = -1/5x - 10.

Queste relazioni sono super importanti per risolvere problemi di geometria analitica e per capire le relazioni spaziali tra rette.

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Trovare Equazioni di Rette

Per trovare il coefficiente angolare tra due punti usi: m = yByAyB - yA/xBxAxB - xA. Con A(5,-4) e B(2,3) ottieni m = (3-(-4))/(2-5) = -7/3.

Per una retta passante per un punto con coefficiente noto: y - yA = mxxAx - xA. Per due punti usi: yyAy - yA/xxAx - xA = yByAyB - yA/xBxAxB - xA.

Con A(3,5) e B(-1,2), dopo i calcoli ottieni y = 3/4x + 11/4. Questi metodi ti permettono di trovare qualsiasi retta!

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Applicazioni Pratiche

Gli esempi precedenti mostrano come applicare le formule nella pratica. La retta y = 1/3x - 11/3 deriva dall'applicazione della formula punto-coefficiente angolare.

La retta y = 3/4x + 11/4 è il risultato della formula per due punti. Vedere questi esempi graficamente ti aiuta a verificare la correttezza dei calcoli.

💡 Controllo: Verifica sempre sostituendo le coordinate dei punti originali nell'equazione finale!

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Fasci di Rette

Un fascio di rette è l'insieme di tutte le rette che passano per un punto fisso. L'equazione generale è: y - yA = mxxAx - xA ∨ x = xA.

Nell'esempio con centro P(2,1), tutte le rette del fascio f:y=1,g:y=1/2x+2,h:y=1/2xf: y = 1, g: y = -1/2x + 2, h: y = 1/2x passano per questo punto. La retta verticale x = 2 completa il fascio.

I fasci sono utili per studiare famiglie di rette con proprietà comuni e per risolvere problemi geometrici complessi.

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4.8/5

Google Play

L'applicazione è molto facile da usare e ben progettata. Finora ho trovato tutto quello che cercavo e ho potuto imparare molto dalle presentazioni! Utilizzerò sicuramente l'app per i compiti in classe! È molto utile anche come fonte di ispirazione.

Stefano S

utente iOS

Questa applicazione è davvero grande! Ci sono tantissimi appunti e aiuti con lo studio [...]. La mia materia problematica, per esempio, è il francese e l'app ha così tante opzioni per aiutarmi. Grazie a questa app ho migliorato il mio francese. La consiglio a tutti.

Samantha Klich

utente Android

Wow, sono davvero stupita. Ho appena provato l'app perché l'ho vista pubblicizzata molte volte e sono rimasta assolutamente sbalordita. Questa app è L'AIUTO che cercate per la scuola e soprattutto offre tantissime cose, come allenamenti e schede, che a me personalmente sono state MOLTO utili.

Anna

utente iOS

È bellissima questa app, la adoro. È utilissima per lo studio e mi aiuta molto, anzi moltissimo, ma soprattutto mi aiutano molto i quiz, per memorizzare anche quello che non sapevo

Anastasia

utente Android

Fantastica per qualsiasi materia avere gli appunti anche di altre persone è molto utile perchè posso confrontarmi e vedere come migliorarmi. con i quiz riesco ad apprendere al meglio.

Francesca

utente Android

moooolto utile,gli appunti sono belli e funzionanti,schoolGPT da dei consigli formidabili!!

Marianna

utente Android

L'applicazione è semplicemente fantastica! Tutto ciò che devo fare è inserire l'argomento nella barra di ricerca e ottengo la risposta molto velocemente. Non devo guardare 10 video di YouTube per capire qualcosa, quindi risparmio tempo. Consigliatissima!

Sudenaz Ocak

utente Android

A scuola andavo malissimo in matematica, ma grazie a questa applicazione ora vado meglio. Vi sono molto grato per aver creato questa app.

Greenlight Bonnie

utente Android

Knowunity è un applicazione fantastica,considerando che ha degli schemi veramente molto carini e sfiziosi e che ci sono dei quiz,oltre al fatto che questa cosa dell intelligenza artificiale "school gpt" è almeno per me molto utile, perché a differenza di Chatgpt ti da le spiegazioni, ti spiega ciò che non è chiaro! Posso studiare più velocemente tramite gli schemi e che posso pubblicare io stessa gli schemi è una funzione utilissima per gli altri studenti. Knowunity è PERFETTA

Aurora

utente Android

L’app funziona benissimo e puoi trovare qualsiasi tipo di informazione. Non ho l’abbonamento ma la parte gratuita è sufficiente per uno studio approfondito.

Martina

utente iOS

in questi ultimi mesi di scuola dove il tempo è ormai poco, mi sta aiutando molto perché piuttosto che farmi io gli schemi su quello che leggo sul libro guardo questi già fatti e li uso come ripasso piuttosto che rileggermi tutto il libro

Chiara

utente IOS

Questa app è una delle migliori, nient’altro da dire.

Andrea

utente iOS

L'applicazione è molto facile da usare e ben progettata. Finora ho trovato tutto quello che cercavo e ho potuto imparare molto dalle presentazioni! Utilizzerò sicuramente l'app per i compiti in classe! È molto utile anche come fonte di ispirazione.

Stefano S

utente iOS

Questa applicazione è davvero grande! Ci sono tantissimi appunti e aiuti con lo studio [...]. La mia materia problematica, per esempio, è il francese e l'app ha così tante opzioni per aiutarmi. Grazie a questa app ho migliorato il mio francese. La consiglio a tutti.

Samantha Klich

utente Android

Wow, sono davvero stupita. Ho appena provato l'app perché l'ho vista pubblicizzata molte volte e sono rimasta assolutamente sbalordita. Questa app è L'AIUTO che cercate per la scuola e soprattutto offre tantissime cose, come allenamenti e schede, che a me personalmente sono state MOLTO utili.

Anna

utente iOS

È bellissima questa app, la adoro. È utilissima per lo studio e mi aiuta molto, anzi moltissimo, ma soprattutto mi aiutano molto i quiz, per memorizzare anche quello che non sapevo

Anastasia

utente Android

Fantastica per qualsiasi materia avere gli appunti anche di altre persone è molto utile perchè posso confrontarmi e vedere come migliorarmi. con i quiz riesco ad apprendere al meglio.

Francesca

utente Android

moooolto utile,gli appunti sono belli e funzionanti,schoolGPT da dei consigli formidabili!!

Marianna

utente Android

L'applicazione è semplicemente fantastica! Tutto ciò che devo fare è inserire l'argomento nella barra di ricerca e ottengo la risposta molto velocemente. Non devo guardare 10 video di YouTube per capire qualcosa, quindi risparmio tempo. Consigliatissima!

Sudenaz Ocak

utente Android

A scuola andavo malissimo in matematica, ma grazie a questa applicazione ora vado meglio. Vi sono molto grato per aver creato questa app.

Greenlight Bonnie

utente Android

Knowunity è un applicazione fantastica,considerando che ha degli schemi veramente molto carini e sfiziosi e che ci sono dei quiz,oltre al fatto che questa cosa dell intelligenza artificiale "school gpt" è almeno per me molto utile, perché a differenza di Chatgpt ti da le spiegazioni, ti spiega ciò che non è chiaro! Posso studiare più velocemente tramite gli schemi e che posso pubblicare io stessa gli schemi è una funzione utilissima per gli altri studenti. Knowunity è PERFETTA

Aurora

utente Android

L’app funziona benissimo e puoi trovare qualsiasi tipo di informazione. Non ho l’abbonamento ma la parte gratuita è sufficiente per uno studio approfondito.

Martina

utente iOS

in questi ultimi mesi di scuola dove il tempo è ormai poco, mi sta aiutando molto perché piuttosto che farmi io gli schemi su quello che leggo sul libro guardo questi già fatti e li uso come ripasso piuttosto che rileggermi tutto il libro

Chiara

utente IOS

Questa app è una delle migliori, nient’altro da dire.

Andrea

utente iOS