La Circonferenza

Didascalia alternativa:

La circonferenza risulta tangente all'asse y. b Se a = c = 0, l'equazione della circonferenza è x² + y² + by=0. B (o,-2) La circonferenza ha il centro sull'asse y (perché a = 0) e passa per l'origine (perché c= 0). La circonferenza risulta tangente all'asse x. SI HA UNA CIRCONFERENZA QUANDO: X²E Y² HANNO STESSO COEFFICIENTE • É SEMPRE CALCOLABILE PARTENDO DA QUESTA, TROVIAMO: ESEMPIO: x² + y²-x+y+3=0 4+1-3 → 2=√ 44 IMP NON É CIRCONFERENZA LA CIRCONFERENZA E LA RETTA O LA RETTA É ESTERNA SE E SOLD SE > ESEMPIO: 12 . RETTA BISOGNA FARE IL SISTEMA TRA LE 2 EQUAZIONI: CIRCONFERENZA x² + y² +ax+by+c=0 y=mx+9 O X=K ESTERNA ACOR STABILIANO SE LA RETTA DI EQUAZIONE X+Y+3 =O É ESTERNA, TANGENTE O SECANTE RISPETTO ALLA CIRCONFERENZA x² + y²- 2x - 4y + 1 = 0 < (1₁2) 2=2 d=11·1+1·2+31 √1²+1² Sx² + y²+ax+by+c=0 cy=mx+q TANGENTE A=0 POSIZIONI RECIPROCHE RETTA-CIRCONFERENZA IN MODO ANALITICO SECANTE A>O LA RETTA É TANGENTE SE E SOLO SE d=r d O TU 12. y=mx+9 = 3√2 = 음 .4=0 ESTERNA 3√Z>2 IL RISULTATO É UN'EQUAZIONE DI 2° GRADO E RICAVIANO IL A x²+y²+ax+by+C =0 X=K 470 √=0 X=K d LA RETTA É SECANTE SE E SOLD SE d<r Ako T →PER TROVARE I PUNTI DI INTERSEZIONE SI CONTINUA E SI CALCOLANO SOUZIONI O/IMP ESTERNA 1 2 TANGENTE SECANTE RETTE TANGENTI A UNA CIRCONFERENZA 4 P SE IL PUNTO PÉ ESTERNO ALLA CIRCONFERENZA, PER PSI POSSONO CONDURRE 2 RETTE TANGENTI ALLA CIRCONFERENZA 1 PESTERNO ALLA CIRCONFERENZA Metodo analitico DETERMINARE LE EQUAZIONI DELLE RETTE TANGENTI ALLA CIRCONFERENZA PASSANTI PER P O Si costruisce il sistema formato dalle equazioni della retta e della circonferenza: fy - Yo= m(x - xo) x² + y² + ax + by + c = 0 y-yo=m₂(x-x₂) SE IL PUNTO PAPPARTIENE ALLA CIRCONFERENZA, ESISTE SOLO UNA RETTA PASSANTE PER PE TANGENTE ALLA CIRCONFERENZA se l'equazione risolvente è di secondo grado, le due soluzioni m₁, m₂ forniscono i coefficienti angolari delle due rette tangenti; O Metodo geometrico Si scrive l'equazione della generica retta passante per P(xo, Yo): Y Yo = m(x − xo) y-yo=m₂(x-xo) Si impone che sia uguale a 0 il discriminante dell'equazione risolvente questo sistema. In entrambi i casi si ottiene un'equazione in m che può essere di primo o di secondo grado: P(Xo Yo) SP É PREFERIBILE USARE QUELLO GEOMETRICO ● O SE IL PUNTO PE INTERNO ALLA CIRCONFERENZA, NON ESISTE ALGUNA RETTA PASSANTE PER PE TANGENTE ALLA CIRCONFERENZA Con la nota formula si calcola la distanza d del centro c(-2,-2) della circonferenza dalla retta. P Si impone che la distanza d sia uguale al raggio della circonferenza. y-yo=m₂(x-x₂) O se l'equazione risolvente è di primo grado, la sua soluzione m, fornisce il coefficiente angolare di una delle due rette tangenti. L'altra tangente è la retta per P parallela all'asse y, di equazione x = Xo. ⠀ x= xo P(x, yo) METODO ANALITICO P(-1;2) CIRCONFERENZA x² + y² + 4x = 0 VERIFICARE CHE PSIA ESTERNO E TRACCIARE LE TANGENT DETERMINO CENTRO C (-2;0) E RAGGIO 2 CP= √√(-2-(-1)² + (0-2)² = √5 > 2 ESTERNO d>2 C P Y=2 X²+1²+x=0 PREVEDIA HO CHE UNA RETTA SIA Y=2, TROVIAMO L'ALTRA •SCRIVIANO EQUAZIONE GENERICA DELLA RETTA PASSANTE PER P(-1; 2) Y-2= m(x+1) •PONIAMO A SISTEMA L'EQUAZIONE CON QUELLA DELLA CIRCONFERENZA <Y-2= m(x+₁) x²+y²+4x=0 Ex² + y² + • RISOLVIAMO LA PRIMA RISPETTO A YE SOSTITUIAMO NELLA SECONDA, SVOLGIAMO I CALCOLI (m²³² +₁)x² + 2 (m² + 2m +2)x+m² + am + 4 = 0 •PONIAMO A=0 4 (m² +2m +2)² - 4 (m² + ₁) (m² +4m + 4) = 0 L SEMPLIFICANDO 3m² +4m=0 m=0 Vm = -² Vm= -4/ • SOSTITUIANO IN Y-Z = m (x+1) | VALORIM TROVATI E OTTENIAMO EQ DELLE RETTE TANGENTI Y=2 y = -x + x² + y² +4x=0 METODO GEOMETRICO • SCRIVIANO EQUAZIONE DI UNA GENERICA RETTA PASSANTE PER P(-1;2) IN FORMA IMPLICITA →mx-y+m+2=0 y-z = m(x+1) Y-Yo= m(x-xo) •DISTANZA PUNTO-RETTA CONSIDERANDO COME PUNTO IL CENTRO C (-2;0) € PONENDOLO = 2 (r) Im (-2)-0 + m √m²+1 2 12-m 1 = 2√ m² +₁ (2-m) ² = 4(m²+1). 3m² + 4m = 0 m=0 v M = wis = 2 • SOSTITUIANO IN Y-Z = m (x+1) | VALORIM TROVATI E OTTENIAMO EQ DELLE RETTE TANGENTI 1 Y=2 y=-x+²/ SONO TERMINI NON NEGATIVI E SI ELEVANO AL QUADRATO ELEVANDO AL QUADRATO I DUE MEMBRI RISCRIVENDO L'EQUAZIONE IN FORMA NORMALE PAPPARTIENE ALLA CIRCONFERENZA DETERMINIAMO IL CENTRO E IL RAGGIO c(-1;-1) r= 2√2 PAPPARTIENE AL PRIMO QUADRANTE, LA SUA ASCISSA É 1 CIRCONFERENZA: x² + y² +2x+²y=6=0 •PER TROVARE LA Y DEL PUNTO P FARE SISTEMA TRA CIRCONFERENZA E XP 5x²+1²+2x+24-6=0 >x=1 (1:1)] ÉQUESTA PERCHE PSI - (1₁-3) TROVA NEL 10 QUADRANTE •LA RETTA CP PASSANTE PER C (-1;-1) € P(1; 1) HA COEFFICIENTE ANGOLARE: mcp = YP-Yc 1-(-1) XP-Xc=1-(-4)= = = 1 "LA RETTA PASSANTE IN PHAM ANTIRE CIPROCO DI 1, QUINDI Y-1 = -1 (x-1) · →→y=-x+2 FORNULE DI SDOPPIAMENTO P (xo; Yo) O EQ. RETTA TANGENTE ALLA CIRCONFERENZA PASSANTE PER P: X.Xo+Y.yo+a X+Xo 2 +by+1° +C =0 Metodo analitico 1. Si considera l'equazione in forma normale di una generica circonferenza: x² + y² + ax + by + c = 0 2. Si traducono le condizioni che la circonferenza deve soddisfare in equazioni nelle incognite a, b e c. 3. Si risolve il sistema formato da tali equazioni, determinando così a, b e c. Poiché dobbiamo determinare tre coefficienti, a, b e c, occorreranno tre condizioni indipendenti. SONO UNA SERIE DI SOSTITUZIONI DA APPLICARE PER OTTENERE L'EQUAZIONE TANGENTE ALLA CIRCONFERENZA SI PUO APPLICARE SOLO PER I PUNTI CHE APPARTENGONO AUA CIRCONFERENZA E VALE PER TUTTE LE CONICHE ● JOSCERE ESTREMI DIAMETRO 1 CALCOLO DISTANZA TRA DUE PUNTI PER IL RAGGIO 2 PUNTO MEDIO PER IL CENTRO 义。 x². y². DETERMINARE EQUAZIONE CIRCONFERENZA °] X Metodo geometrico 1. Si cerca di determinare, in base a considerazioni geometriche, il centro C(xo, Yo) e il raggio r della circonferenza richiesta. Y 2. Noti C(xo, Yo) e r, l'equazione della circonferenza sarà: (x-xo)² + (y-yo)² = r² Anche in questo caso dobbiamo determinare tre elementi, Xo, Yo er, quindi occorreranno tre condizioni indipendenti. →X.Xo y. Yo X+Xo 2 Y+Yo 2 CASI FREQUENTI: DATO IL DIAMETRO DATO CENTRO E RETTA TANGENTE DATI 3 PUNTI NON ALLINEATI · (x-xo) ² + (Y-YO)² = √² CENTRO E RETTA TANGENTE 1 CON DISTANZA PUNTO-RETTA CALCOLIAMO IL RAGGIO 2 POI SI USA FORMULA (X-Xo)² + (y-yo) ³²= 1² SI GIUNGE OPPURE 1 CON IL CENTRO SI CALCOLANO A E B (FORMULA INVERSA DEL CENTRO) 2 SISTEMA TRA EQ RETTA E EQ CIRCONFERENZA •SI PONE A=0 PER CALCOLARE C •SOSTITUIRE a; b; e NEUA EQ CIRCONFERENZA CONOSCERE ALMENO 3 PUNT ALLINEATI: SI PONE CHE 13 PUNTI NON APPARTENGONO ALLA CIRCONFERENZA QUINDI VEDERE PRIMA SE SONO ALLINEATI E IN TAL CASO NON C'E CIRCONFERENZA CONOSCERE CENTRO E RAGGIO •IMPOSTARE (x-xc)² + (y-yc)² = y² LA DISTANZA TRA 2 PUNTI GENERICI É UGUALE AL RAGGIO AL QUADRATO DIMOSTRAZIONE PROCEDIMENTI • CONOSCERE ESTREMI DIAMETRO B EQUAZIONE RETTA <(xo; Yo) 4 ABBIANO QUINDI C Er, SOSTITUIRE- (x-xo) ² (y-yo) ²³²r² • CONOSCERE RAGGIO E CENTRO A (XA; YA) B (XB; 16) 1 CALCOLIAMO IL DIAMETRO CON DISTANZA TRA 2 PUNTI: B=√(XB-XA) ² + (YB-YA) ² 2 TROVIAMO IL PUNTO MEDIO DEL SEGMENTO AB (IL CENTRO) c (xo; Yo) Xo = XA +XB 2 3 CALCOLIANO IL RAGGIO CONDISTANZA TRA 2 PUNTI: AC =√(XO-XA) ² + (Yo-YA)² c(xo; Yo) r Yo = YA+YB 2 1 SOSTITUIAMO NELLA FORMULA (x-xo) ²³+ (y-yo)² = √² • CONOSCERE CENTRO E RETTA TANGENTE c(xo; Yo) ONOSCERE TRE PUNTI NON HRS C S HTS r T T 6 ABBIANO RAGGIO E CENTRO, SOSTITUIANO (x-xo)² + (y-yo) ² = √² 1 CONDISTANZA PUNTO-RETTA CALCOLO IL RAGGIO r= |axo+byo+el √a²+6² ax+by+e=0 ZABBIANO CEDY, SOSTITUIAMO (x-xo)² + (y-yo)² = √² ATI R (XR; YR) S (xs; YS) T (XT; YT) 1. CALCOLIANO COEFF. ANGOLARE (M) DIRSE TS AY AY AX AX MRS = MRS= - Ys-YR XS-XR 2 TROVIANO IL PUNTO MEDIO DEI 2 SEGHENTI 3 = (XR+XS; VARYS) mys = ASSE RS Y-YR =-11 (X-XR) ASSETS Y-YT=(x-x₁) → Y-YR =-11 (X-XR) ZY-YT=/(X-XT) MTS = Ys-YT XS-XT 3 = (x++X5; X++YS) 3 TROVIAMO L'EQUAZIONE DELLIASSE SAPENDO CHE IC Suo COEFF. ANGOLARE E L'ANTIRECIPROCO DIM. FORMULAY-Yo =-¹²/1 (x-xo) Xo E YO SONO 1 DEI PUNTI DEI SEG & TROVIANO PUNTO D'INCONTRO DELLE ASSI METTENDOLE A SISTEMA SOWZIONI SONO COORDINATE DEL CENTRO <(xo; Yo) 5 CALCOLIANO Y COME DISTANZA TRA 2 PUNTI CONSIDERANDO IL CENTRO E UNO TRA I TRE PUNTI CT=r=√(XT-XC) ²³+ (YT-YC) ² POSIZIONI RECIPROCHE Pવારાowા •CONSIDERIANO DUE CIRCONFERENZE DI CENTRI CE C' CON RAGGI rer' (r>r') ESSE SONO: •ESTERNE TANGENTI ESTERNAMENTE TANGENTI INTERNAMENTE ● SECANTI ● INTERNE • CONCENTRICHE → d>r+r¹ SISTEN EQUI- VALENG x²+y² + ax+by+e=0 → d<r'-r Δ > 0 r'-r<d< v+v¹ retta dei centri - CEC √x² + y² + ax+by+e=0 ·Ex₁² + y ₁² + a²x+b'y+el = 0 SE ABBIAMO DUE CIRCONFERENZE E DOBBIANO TROVARE LA LORO POSIZIONE RECIPROCA, ANALITICAMENTE SI FA SISTEMA TRA LE DUE E POI SI TROVANO ASSE RADICALE E A x₁² + y²² + ax + by +e¹=0 d=r+r¹ d=r'-r S x² + y² +ax+by+e=0 (a-a¹)x+ (b-b')y+e-e' =o (CIOÈ a. Il sistema ammette due soluzioni distinte, quindi le circonferenze sono secanti. L'asse radicale è la retta passante per i punti d'intersezione. HANNO STESSO A=0 retta dei centri CENTRO) TROVIANO E IN BASE A QUESTO LE POSIZIONI RECIPROCHE: asse radicale asse radicale do SOTTRARRE HEMBRO A NEMBRO PER TROVARE ASSE RADICALE E SI HETTE A SISTEMA ICON UNA CIRCONFERENZA b. Il sistema ammette due soluzioni coincidenti, quindi le circonferenze sono tangenti (esternamente come in figura o internamente). L'asse radicale è la tangente comune nel punto di contatto. PER TROVARE PUNTI DI INCONTRO BASTA CONTINUARE DAL SESI TROVANO LE SOLUZIONI A <0 retta dei centri asse radicale c. Il sistema non ammette soluzioni reali, quindi le circonferenze non hanno punti in comune. L'asse radicale è una retta che non interseca le due circonferenze. FASCI DI CIRCONFERENZE • SI OTTIENE DA DUE CIRCONFENZE YE Y'DI EQUAZIONI x ² + y² + ax+by+e=0 EQUAZIONE DEL FASCIO x² + y² +ox+by+e+ K (x¹² + y ₁² + a²x+by+e') ASSE RADICALE DEL FASCIO PUNTI BASE GENERATRICE (8) asse radicale VARI TIPI DI FASCI 2 SE LE GENERATRICI SONO SECANTI IN A &B, IL FASCIO É COSTITUITO DA TUTTE LE CIRCONFERENZE PASSANTI DA A & B a. Fascio di circonferenze con due punti base. ASSE RADICALE TRA LE CIRCONFERENZE, SI TROVA DALLA SOTTRAZIONE HENBRO A HEHBRO. LA SUA EQUAZIONE SI OTTIENE CON K=1 INTERSEZIONI TRA LE CIRCONFERENZE GENERATRICI, SI TROVANO CON SISTEMA TRA UNA GENERATRICE E L'ASSE RADICALE SE LE GENERATRICI SONO TANGENTI IN UN PUNTO TAD UNA RETTA E, IL FASCIO É COSTITUITO DA TUTTE LE CIRCONFERENZE PASSANTI DA TE TANGENTIA E GENERATRICE (8¹) e SE LE GENERATRICI NON HANNO PUNTI DI INTERSEZIONE E NON SONO CONCETRICHE, IL FASCIO NON HA PUNTI BASE E 2 QUALSIASI CIRCONFERENZE DEL FASCIO NON HANNO PUNTI IN COMUNE d ·SE LE GENERATRICI SONO CONCENTRICHE, IL FASCIO É COSTITUITO DA TUTTE LE CIRCONFERENZE AD ESSE CONCENTRICHE asse radicale b. Fascio di circonferenze con un solo punto base. x² ² + y²¹² + a²x+by+e' = =O x²+y²+ax+by+e+K (x¹² + y ₁² + a²x+by+e¹) PUÒ ESSERE EQUAZIONE DEL FASCIO asse radicale c. Fascio di circonferenze non concentriche, privo di punti base. d. Fascio di circonferenze concentriche. » (₁+K) x² + (₁+K) y² + (a-a²)x+(b-b¹³)y + e- e²= TROVA SOLUZIONI PASCO TROVARE GENERATRICI FASCIO 1 SVOLGERE TUTTE LE HOLTIPLICAZIONI 2 ISOLARE IL K TROVARE PUNTI BASE TROVARE ASSE RADICALE FARE SISTEMA TRA LE 2 GENERATRICI SOTTRAZIONE MEMBRO A MEMBRO (ATTENTO AI SEGNI) TROVARE PRINA ASSE RADICALE SISTEMA TRA UNA GENERATRICE E L'ASSE RADICALE TROVARE IL FASCIO 1 COPIARE UNA CIRCONFERENZA COSÌ COME STA EL'ALTRA SI MOLTIPLICA PER K RISOLVO E LE SOWZIONI SONO COORDINATE PUNTI BASE 2 RACCOGLIANO TERMINI SIMILIE TROVIAMO FASCIO TROVARE CIRCONFERENZA SIMMETRICA ALL'ASSE X • ANNULLARE Y, TROVIAMO VALORE K CHE ANNULLA Y GRAZIE ALLE CONDIZIONI DI ESISTENZA K... TROVARE CIRCONFERENZA SIMMETRICA ALL'ASSE Y • ANNULLARE X, TROVIAMO VALORE K CHE ANNULLA X GRAZIE ALLE CONDIZIONI DI ESISTENZA K‡. TROVARE CIRCONFERENZA SIMMETRICA RISPETTO ALL'ORIGINE • ANNULLARE X e Y, TROVIAMO VALORE K CHE ANNULLA Xey TROVARE EQ DEL FASCIO DI CIRC. TANGENTI IN P(xo; Yo) ALLA RETTA ax+by+e=0 •RETTA DATA CORRISPONDE AD ASSE RADICALE •TROVIANO CIRC. DEGENERE (V=O) DI CENTRO P. (x-xo) ²+ (y-yo)² = 0 • COMBINIANO EQ OTTENUTA E ASSE RADICALE (HOLTIPLICATA PER K) E POI RACCOGLIANO TERMINI SIMILI TROVARE EQ FASCIO DI CIRC. CHE HA COME PUNTI BASE A e B •TROVIANO ASSE RADICALE COME RETTA PASSANTE PER 2 PUNTI • SCRIVIAMO EQ CIRC DI DIAMETRO AB (DIST. TRA 2 PUNTI)E CENTRO PUNTO MEDIO DI AB. POI RAGGLO •CON CENTRO E RAGGIO TROVIANO EQ CIRC CON (X-XO)² + (Y-YO)² = r² E LA COMBINIAMO CON ASSE RADICALE TROVARE EQ CIRC DEL FASCIO CHE HA CENTRO IN ax+by+e=0 TROVIAMO CIRCONFERENZA DEL FASCIO CON CENTRO SU 3x-ay=0 c (x₁³x) 3x-4y=0 -> Y=²³/²x X X = 3-2K4=3-2K →→ -²K = -₁ => K = 11/12/1 ↓ c(4; 3) y=x + — ³X — {=X²^> (E+ !x²-5+) ►— (² ! −2²³3+) ³ ³ 2 SOSTIZIANO K NEL FASCIO => x² + y² -16x = 12Y+34 =O TROVARE EQ CIRC. DEGENERE (r=0) •DALLA FORMULA DEL RAGGIO SI CALCOLA IN BASE AD a, b, e DEL FASCIO •SI PONE INTERNO DELLA RADICE 20 E SI SVOLGE HOLTIPLICAZIONE. SOWZIONI FINALI CON: +/+* ● TROVARE CIRC. CON CENTRO APPARTENENTE A ax+byte =0 • SI CALCOLA CENTRO CON a eb DEL FASCIO C(X;Y) SOSTITUIRE COORDINATE CENTRO IN XeY DELLA RETTA TROVARE EQ CIRC DI RAGGIO es: √TO • TROVIANO RAGGIO CON a eb DEL FASCIO E LO PONIAMO = AL RAGGIO DA TO GRAFICI DI FUNZIONI IRRAZIONALI QUESTO NON É UN GRAFICO DI UNA NORMALE FUNZIONE PERCHE VI SONO RETTE PARALLELE ALL'ASSEX CHE LO INTERSECANO Z VOLTE • x² + y² = r². RISOLVIANO RISPETTO ADY: Y = √√√²-x²² o SEMICIRCONFERENZA APPARTENENTE AL SEMIPIANO DELLE NON NEGATIVE y = √√√√²-x² &. Y = √ax-x² - ESEMPI TRACCIAMO IL GRAFICO DI Y = √ax-x² CE AX-X²20 0≤x≤4 ESEMPIO Z AD X CORRISPONO PIÙ VALORIY Y=3-√25-x² y=-√r²x² SEMICIRCONFERENZA APPARTENENTE AL SENIPIANO DELLE NON POSITIVE S-4+320 225-x²=(3-4)² CE 25-X²20-SEX≤S -Y+3=√√√25-x² Jy==√²-x² Y= x²+y²-ax=0 c = (-2₁0) r=2 cs 120 CONSIDERIAMO YZO PANTI SOPNA ASSE X) y=√4x-x² CONSIDERIAMO SEMICIRCONFERENZA) (Y≤3 (AL DI SO TCO DI 3 > x² + y²-64-16 = 0 c(0;3) X •INTERPRETAZIONE DI EQUAZIONE IRRAZIONALE √√₁-x² = 1/2 x + ²/² 슬사를 FACCIANO GRAFICO CIRCONFERENZA (Y=√√9-x²) E QUELLO DELLA RETTA (y=x+²) √√ax-x² > 1/2 x CALCOLIANO GRAFICO DI CIRC. (Y=√√ax-x²) E RETTA Y= •CONSIDERIAMO PANTE AL DI SOPRA DI RETA CALCOLARE LA X DEL PUNTO PERCHÈ PANTE DA CONSIDERARE E INTERVALLO SOPNA RETTA •RISOLUI EQUAZIONE E TWOVI SOLUZION