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Matematica
2 dic 2025
5182
7 pagine
Ioana Matei @ioanamat11
La geometria analitica ti permette di studiare punti, rette e curve usando coordinate e equazioni. È uno strumento... Mostra di più
Tutto inizia con i punti nel piano cartesiano! Per calcolare la distanza tra due punti A(x₁, y₁) e B(x₂, y₂) usi la formula - praticamente il teorema di Pitagora applicato alle coordinate.
Il punto medio tra due punti si trova facendo la media delle coordinate e . Per il baricentro di un triangolo, invece, fai la media delle tre coordinate di ogni vertice.
Le rette hanno tre forme principali implicita , esplicita e segmentaria . Il coefficiente angolare m ti dice quanto è inclinata la retta!
Trucco per gli esami Due rette sono parallele se hanno lo stesso coefficiente angolare , mentre sono perpendicolari se il prodotto dei loro coefficienti angolari è -1 .
La parabola è il luogo dei punti equidistanti da un punto fisso (fuoco) e una retta (direttrice). Sembra complicato, ma in pratica è quella curva che vedi quando lanci una palla o nei fari delle macchine!
L'equazione standard è y = ax² + bx + c quando l'asse di simmetria è verticale. Il vertice si trova in dove Δ = b² - 4ac. Questo punto è fondamentale perché rappresenta il massimo o minimo della parabola.
Il coefficiente a determina tutto se a > 0 la parabola è rivolta verso l'alto (ha un minimo), se a < 0 è rivolta verso il basso (ha un massimo). Il coefficiente c ti dice dove la parabola interseca l'asse y.
Cosa ricordare La formula di sdoppiamento per la tangente è super utile negli esercizi! Sostituisci x₀x al posto di x² e /2 al posto di x nell'equazione originale.
La circonferenza è l'insieme dei punti equidistanti da un centro fisso. L'equazione generale è x² + y² + ax + by + c = 0, da cui puoi ricavare centro e raggio con semplici calcoli.
Il centro ha coordinate C e il raggio è r = √. Attenzione se a² + b² - 4c < 0, l'equazione non rappresenta una circonferenza reale!
Due circonferenze possono essere in diverse posizioni esterne, tangenti (esterne o interne), secanti o una interna all'altra. Tutto dipende dalla distanza tra i centri confrontata con la somma o differenza dei raggi.
Formula utile L'area del cerchio è A = πr² e la circonferenza è l = 2πr. Per i settori circolari, l'area è proporzionale all'angolo se l'angolo è α gradi, l'area è (πr²α)/360°.
L'ellisse è il luogo dei punti per cui la somma delle distanze da due punti fissi (fuochi) è costante. È come se tendessi una corda fissa tra due chiodi e disegnassi mantenendo la corda sempre tesa!
L'equazione canonica è . Se a > b, l'asse maggiore è orizzontale (lungo x), altrimenti è verticale. I fuochi si trovano sull'asse maggiore a distanza c dal centro, dove c² = |a² - b²|.
L'eccentricità e = c/a (se a > b) ti dice quanto l'ellisse è "schiacciata" se e è vicino a 0 assomiglia a un cerchio, se e è vicino a 1 è molto allungata. Per un cerchio perfetto, e = 0.
Curiosità astronomica I pianeti seguono orbite ellittiche intorno al Sole, che si trova in uno dei fuochi! L'eccentricità dell'orbita terrestre è circa 0,017, quindi quasi circolare.
L'iperbole è definita come il luogo dei punti per cui la differenza (in valore assoluto) delle distanze da due fuochi è costante. A differenza dell'ellisse, qui hai due rami separati che si estendono all'infinito.
L'equazione canonica è per l'iperbole con fuochi sull'asse x. I fuochi sono a distanza c dal centro, dove c² = a² + b² .
Gli asintoti sono fondamentali hanno equazioni y = ±x e rappresentano le rette a cui l'iperbole si avvicina sempre di più senza mai toccarle. L'eccentricità e = c/a è sempre maggiore di 1.
Applicazione pratica Le iperboli descrivono le traiettorie di alcuni corpi celesti che "visitano" il sistema solare una sola volta, come certe comete che poi si allontanano per sempre.
L'iperbole equilatera è un caso particolare dove a = b. Gli asintoti diventano y = x e y = -x, cioè le bisettrici dei quadranti. L'equazione si semplifica in x² - y² = a².
Quando ruoti l'iperbole equilatera di 45°, ottieni xy = k. Se k > 0, l'iperbole si trova nel primo e terzo quadrante; se k < 0, nel secondo e quarto. È la famosa iperbole di proporzionalità inversa!
La funzione omografica y = / è un'iperbole equilatera traslata. Ha due asintoti uno verticale x = -d/c e uno orizzontale y = a/c. Queste funzioni sono ovunque in fisica e economia!
Esempi reali La legge di Boyle per i gas ideali è proprio un'iperbole equilatera. Anche molte relazioni di proporzionalità inversa seguono questo modello.
Per sapere se un punto appartiene a una conica, sostituisci semplicemente le sue coordinate nell'equazione. Se ottieni un'uguaglianza vera, il punto ci sta; altrimenti no. Semplice ma efficace!
La posizione di una retta rispetto a una conica dipende dal discriminante Δ. Se Δ > 0 la retta è secante (due punti di intersezione), se Δ = 0 è tangente (un punto), se Δ < 0 è esterna (nessun punto reale).
Per trovare le rette tangenti hai due strategie da un punto esterno usi il fascio proprio y - y₀ = m, mentre per tangenti parallele a una direzione data usi il fascio improprio y = mx + q. In entrambi i casi, imponi Δ = 0.
Metodo sistematico Sostituisci sempre l'equazione della retta in quella della conica, sviluppa i calcoli, calcola il discriminante e analizzane il segno. Questo approccio funziona per tutte le coniche!
Il nostro assistente AI è costruito specificamente per le esigenze degli studenti. Sulla base dei milioni di contenuti presenti sulla piattaforma, possiamo fornire agli studenti risposte davvero significative e pertinenti. Ma non si tratta solo di risposte, l'assistente è in grado di guidare gli studenti attraverso le loro sfide quotidiane di studio, con piani di studio personalizzati, quiz o contenuti nella chat e una personalizzazione al 100% basata sulle competenze e sugli sviluppi degli studenti.
È possibile scaricare l'applicazione dal Google Play Store e dall'Apple App Store.
Sì, hai accesso completamente gratuito a tutti i contenuti nell'app e puoi chattare o seguire i Creatori in qualsiasi momento. Sbloccherai nuove funzioni crescendo il tuo numero di follower. Inoltre, offriamo Knowunity Premium, che consente di studiare senza alcun limite!!
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Matematicaformule
MatematicaGeometria analitica
MatematicaIl più completo!! Equazione circonferenza, equazioni di circonferenze particolari, come determinare equazione circonferenza, tangente ad una circonferenza, fascio di circonferenza, risoluzione fasci di circonferenza, grafici con circonferenza
Matematicaripasso completo di trigon
ItalianoUn formulario completo di geometria analitica
MatematicaTeoria ed esercizi svolti iperbole
Matematicaappunti di matematica sui limiti con esercizi
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L'applicazione è molto facile da usare e ben progettata. Finora ho trovato tutto quello che cercavo e ho potuto imparare molto dalle presentazioni! Utilizzerò sicuramente l'app per i compiti in classe! È molto utile anche come fonte di ispirazione.
Stefano S
utente iOS
Questa applicazione è davvero grande! Ci sono tantissimi appunti e aiuti con lo studio [...]. La mia materia problematica, per esempio, è il francese e l'app ha così tante opzioni per aiutarmi. Grazie a questa app ho migliorato il mio francese. La consiglio a tutti.
Samantha Klich
utente Android
Wow, sono davvero stupita. Ho appena provato l'app perché l'ho vista pubblicizzata molte volte e sono rimasta assolutamente sbalordita. Questa app è L'AIUTO che cercate per la scuola e soprattutto offre tantissime cose, come allenamenti e schede, che a me personalmente sono state MOLTO utili.
Anna
utente iOS
È bellissima questa app, la adoro. È utilissima per lo studio e mi aiuta molto, anzi moltissimo, ma soprattutto mi aiutano molto i quiz, per memorizzare anche quello che non sapevo
Anastasia
utente Android
Fantastica per qualsiasi materia avere gli appunti anche di altre persone è molto utile perchè posso confrontarmi e vedere come migliorarmi. con i quiz riesco ad apprendere al meglio.
Francesca
utente Android
moooolto utile,gli appunti sono belli e funzionanti,schoolGPT da dei consigli formidabili!!
Marianna
utente Android
L'applicazione è semplicemente fantastica! Tutto ciò che devo fare è inserire l'argomento nella barra di ricerca e ottengo la risposta molto velocemente. Non devo guardare 10 video di YouTube per capire qualcosa, quindi risparmio tempo. Consigliatissima!
Sudenaz Ocak
utente Android
A scuola andavo malissimo in matematica, ma grazie a questa applicazione ora vado meglio. Vi sono molto grato per aver creato questa app.
Greenlight Bonnie
utente Android
Knowunity è un applicazione fantastica,considerando che ha degli schemi veramente molto carini e sfiziosi e che ci sono dei quiz,oltre al fatto che questa cosa dell intelligenza artificiale "school gpt" è almeno per me molto utile, perché a differenza di Chatgpt ti da le spiegazioni, ti spiega ciò che non è chiaro! Posso studiare più velocemente tramite gli schemi e che posso pubblicare io stessa gli schemi è una funzione utilissima per gli altri studenti. Knowunity è PERFETTA
Aurora
utente Android
L’app funziona benissimo e puoi trovare qualsiasi tipo di informazione. Non ho l’abbonamento ma la parte gratuita è sufficiente per uno studio approfondito.
Martina
utente iOS
in questi ultimi mesi di scuola dove il tempo è ormai poco, mi sta aiutando molto perché piuttosto che farmi io gli schemi su quello che leggo sul libro guardo questi già fatti e li uso come ripasso piuttosto che rileggermi tutto il libro
Chiara
utente IOS
Questa app è una delle migliori, nient’altro da dire.
Andrea
utente iOS
L'applicazione è molto facile da usare e ben progettata. Finora ho trovato tutto quello che cercavo e ho potuto imparare molto dalle presentazioni! Utilizzerò sicuramente l'app per i compiti in classe! È molto utile anche come fonte di ispirazione.
Stefano S
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Questa applicazione è davvero grande! Ci sono tantissimi appunti e aiuti con lo studio [...]. La mia materia problematica, per esempio, è il francese e l'app ha così tante opzioni per aiutarmi. Grazie a questa app ho migliorato il mio francese. La consiglio a tutti.
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Wow, sono davvero stupita. Ho appena provato l'app perché l'ho vista pubblicizzata molte volte e sono rimasta assolutamente sbalordita. Questa app è L'AIUTO che cercate per la scuola e soprattutto offre tantissime cose, come allenamenti e schede, che a me personalmente sono state MOLTO utili.
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È bellissima questa app, la adoro. È utilissima per lo studio e mi aiuta molto, anzi moltissimo, ma soprattutto mi aiutano molto i quiz, per memorizzare anche quello che non sapevo
Anastasia
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Sudenaz Ocak
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A scuola andavo malissimo in matematica, ma grazie a questa applicazione ora vado meglio. Vi sono molto grato per aver creato questa app.
Greenlight Bonnie
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Knowunity è un applicazione fantastica,considerando che ha degli schemi veramente molto carini e sfiziosi e che ci sono dei quiz,oltre al fatto che questa cosa dell intelligenza artificiale "school gpt" è almeno per me molto utile, perché a differenza di Chatgpt ti da le spiegazioni, ti spiega ciò che non è chiaro! Posso studiare più velocemente tramite gli schemi e che posso pubblicare io stessa gli schemi è una funzione utilissima per gli altri studenti. Knowunity è PERFETTA
Aurora
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Martina
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in questi ultimi mesi di scuola dove il tempo è ormai poco, mi sta aiutando molto perché piuttosto che farmi io gli schemi su quello che leggo sul libro guardo questi già fatti e li uso come ripasso piuttosto che rileggermi tutto il libro
Chiara
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Questa app è una delle migliori, nient’altro da dire.
Andrea
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Ioana Matei
@ioanamat11
La geometria analitica ti permette di studiare punti, rette e curve usando coordinate e equazioni. È uno strumento potentissimo che unisce algebra e geometria per risolvere problemi che altrimenti sarebbero molto complessi!
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Tutto inizia con i punti nel piano cartesiano! Per calcolare la distanza tra due punti A(x₁, y₁) e B(x₂, y₂) usi la formula - praticamente il teorema di Pitagora applicato alle coordinate.
Il punto medio tra due punti si trova facendo la media delle coordinate: e . Per il baricentro di un triangolo, invece, fai la media delle tre coordinate di ogni vertice.
Le rette hanno tre forme principali: implicita , esplicita e segmentaria . Il coefficiente angolare m ti dice quanto è inclinata la retta!
Trucco per gli esami: Due rette sono parallele se hanno lo stesso coefficiente angolare , mentre sono perpendicolari se il prodotto dei loro coefficienti angolari è -1 .
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La parabola è il luogo dei punti equidistanti da un punto fisso (fuoco) e una retta (direttrice). Sembra complicato, ma in pratica è quella curva che vedi quando lanci una palla o nei fari delle macchine!
L'equazione standard è y = ax² + bx + c quando l'asse di simmetria è verticale. Il vertice si trova in dove Δ = b² - 4ac. Questo punto è fondamentale perché rappresenta il massimo o minimo della parabola.
Il coefficiente a determina tutto: se a > 0 la parabola è rivolta verso l'alto (ha un minimo), se a < 0 è rivolta verso il basso (ha un massimo). Il coefficiente c ti dice dove la parabola interseca l'asse y.
Cosa ricordare: La formula di sdoppiamento per la tangente è super utile negli esercizi! Sostituisci x₀x al posto di x² e /2 al posto di x nell'equazione originale.
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La circonferenza è l'insieme dei punti equidistanti da un centro fisso. L'equazione generale è x² + y² + ax + by + c = 0, da cui puoi ricavare centro e raggio con semplici calcoli.
Il centro ha coordinate C e il raggio è r = √. Attenzione: se a² + b² - 4c < 0, l'equazione non rappresenta una circonferenza reale!
Due circonferenze possono essere in diverse posizioni: esterne, tangenti (esterne o interne), secanti o una interna all'altra. Tutto dipende dalla distanza tra i centri confrontata con la somma o differenza dei raggi.
Formula utile: L'area del cerchio è A = πr² e la circonferenza è l = 2πr. Per i settori circolari, l'area è proporzionale all'angolo: se l'angolo è α gradi, l'area è (πr²α)/360°.
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L'ellisse è il luogo dei punti per cui la somma delle distanze da due punti fissi (fuochi) è costante. È come se tendessi una corda fissa tra due chiodi e disegnassi mantenendo la corda sempre tesa!
L'equazione canonica è . Se a > b, l'asse maggiore è orizzontale (lungo x), altrimenti è verticale. I fuochi si trovano sull'asse maggiore a distanza c dal centro, dove c² = |a² - b²|.
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Curiosità astronomica: I pianeti seguono orbite ellittiche intorno al Sole, che si trova in uno dei fuochi! L'eccentricità dell'orbita terrestre è circa 0,017, quindi quasi circolare.
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Quando ruoti l'iperbole equilatera di 45°, ottieni xy = k. Se k > 0, l'iperbole si trova nel primo e terzo quadrante; se k < 0, nel secondo e quarto. È la famosa iperbole di proporzionalità inversa!
La funzione omografica y = / è un'iperbole equilatera traslata. Ha due asintoti: uno verticale x = -d/c e uno orizzontale y = a/c. Queste funzioni sono ovunque in fisica e economia!
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Per sapere se un punto appartiene a una conica, sostituisci semplicemente le sue coordinate nell'equazione. Se ottieni un'uguaglianza vera, il punto ci sta; altrimenti no. Semplice ma efficace!
La posizione di una retta rispetto a una conica dipende dal discriminante Δ. Se Δ > 0 la retta è secante (due punti di intersezione), se Δ = 0 è tangente (un punto), se Δ < 0 è esterna (nessun punto reale).
Per trovare le rette tangenti hai due strategie: da un punto esterno usi il fascio proprio y - y₀ = m, mentre per tangenti parallele a una direzione data usi il fascio improprio y = mx + q. In entrambi i casi, imponi Δ = 0.
Metodo sistematico: Sostituisci sempre l'equazione della retta in quella della conica, sviluppa i calcoli, calcola il discriminante e analizzane il segno. Questo approccio funziona per tutte le coniche!
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Stefano S
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Samantha Klich
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Wow, sono davvero stupita. Ho appena provato l'app perché l'ho vista pubblicizzata molte volte e sono rimasta assolutamente sbalordita. Questa app è L'AIUTO che cercate per la scuola e soprattutto offre tantissime cose, come allenamenti e schede, che a me personalmente sono state MOLTO utili.
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Francesca
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Sudenaz Ocak
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Greenlight Bonnie
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Aurora
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