Punti e Rette nel Piano Cartesiano

Imparare la geometria analitica significa padroneggiare gli strumenti base del piano cartesiano. La distanza tra due punti A(x₁,y₁) e B(x₂,y₂) si calcola con la formula √$(x₂-x₁)² + (y₂-y₁)²$, derivata dal teorema di Pitagora.

Le coordinate del punto medio sono semplicemente la media delle coordinate: M$(x₁+x₂)/2, (y₁+y₂)/2$. Per il baricentro di un triangolo, fai la media delle coordinate dei tre vertici.

La retta può essere scritta in tre forme: implicita $ax + by + c = 0$, esplicita $y = mx + q$ e segmentaria. Il coefficiente angolare m indica l'inclinazione della retta: due rette sono parallele se hanno lo stesso m, perpendicolari se m₁ · m₂ = -1.

Ricorda: La distanza di un punto da una retta è fondamentale per molti problemi di geometria analitica!

La Parabola

La parabola è una delle coniche più studiate: è l'insieme dei punti equidistanti da un punto fisso (fuoco) e una retta (direttrice). L'equazione generale è y = ax² + bx + c per parabole con asse verticale.

Le coordinate del vertice sono V$-b/2a, -Δ/4a$ dove Δ = b² - 4ac. Il fuoco si trova a F$-b/2a, (1-Δ)/4a$ e la direttrice ha equazione y = (-1-Δ)/4a. L'asse di simmetria è la retta x = -b/2a.

Il segno del coefficiente a determina la concavità: se a > 0 la parabola è rivolta verso l'alto, se a < 0 verso il basso. Il parametro c rappresenta l'intersezione con l'asse y.

Trucco: Per trovare rapidamente il vertice, ricorda che ha ascissa -b/2a e sostituisci questo valore nell'equazione per trovare l'ordinata!

La Circonferenza

La circonferenza è l'insieme dei punti equidistanti da un centro C. L'equazione generale è x² + y² + ax + by + c = 0, mentre quella canonica è $x-α$² + $y-β$² = r².

Il centro ha coordinate C$-a/2, -b/2$ e il raggio è r = √$α² + β² - c$. Perché esista una circonferenza reale, deve essere α² + β² - c > 0.

La retta tangente in un punto P₀(x₀,y₀) della circonferenza si ottiene con la formula di sdoppiamento: sostituisci x² con x₀·x, y² con y₀·y, x con $x₀+x$/2 e y con $y₀+y$/2.

Due circonferenze possono essere esterne, tangenti esterne, secanti, tangenti interne, interne o concentriche a seconda della distanza tra i centri rispetto alla somma e differenza dei raggi.

Attenzione: Controlla sempre che il discriminante α² + β² - c sia positivo, altrimenti non hai una circonferenza reale!

L'Ellisse

L'ellisse è definita come il luogo dei punti per cui è costante la somma delle distanze da due punti fissi chiamati fuochi: PF₁ + PF₂ = 2a. L'equazione canonica è x²/a² + y²/b² = 1.

Se a > b, l'asse maggiore è orizzontale con lunghezza 2a, quello minore verticale con lunghezza 2b. I fuochi sono in F₁$-c,0$ e F₂(c,0) dove c² = a² - b². Se a < b, tutto si scambia tra assi x e y.

L'eccentricità e = c/a misura quanto l'ellisse sia "schiacciata": 0 < e < 1. Quando e = 0 hai una circonferenza. L'area dell'ellisse è A = πab.

Per un'ellisse traslata con centro in O(α,β), l'equazione diventa $x-α$²/a² + $y-β$²/b² = 1.

Curiosità: La formula di Ramanujan per il perimetro dell'ellisse è solo un'approssimazione, perché il calcolo esatto richiede integrali complessi!

L'Iperbole

L'iperbole è il luogo dei punti per cui è costante la differenza in valore assoluto delle distanze da due fuochi: |PF₁ - PF₂| = 2a. L'equazione canonica è x²/a² - y²/b² = 1.

L'iperbole ha due rami e due asintoti con equazioni y = ±$b/a$x. I fuochi sono in F₁$-c,0$ e F₂(c,0) dove c² = a² + b². L'eccentricità e = c/a è sempre maggiore di 1.

L'iperbole equilatera ha a = b, quindi equazione x² - y² = a² e asintoti y = ±x. Se ruotata di 45°, diventa xy = k (iperbole equilatera riferita agli asintoti).

La funzione omografica y = $ax + b$/$cx + d$ rappresenta un'iperbole equilatera traslata e ruotata, con asintoti x = -d/c e y = a/c.

Distinzione chiave: Nell'ellisse sommi le distanze dai fuochi, nell'iperbole ne fai la differenza in valore assoluto!

Iperbole Equilatera e Funzione Omografica

L'iperbole equilatera è un caso particolare dove a = b, con equazione x² - y² = a². Gli asintoti sono y = ±x e i fuochi si trovano in F₁$-c,0$ e F₂(c,0) con c² = 2a².

Quando l'iperbole equilatera è ruotata di ±45°, ottieni l'equazione xy = k. Se k > 0, l'iperbole si trova nel primo e terzo quadrante; se k < 0, nel secondo e quarto. I fuochi diventano F₁$-√(2k), -√(2k)$ e F₂(√(2k), √(2k)).

La funzione omografica y = $ax + b$/$cx + d$ rappresenta un'iperbole equilatera traslata e ruotata. Le condizioni sono c ≠ 0 e ad - bc ≠ 0. Gli asintoti sono x = -d/c (verticale) e y = a/c (orizzontale).

Applicazione pratica: Le funzioni omografiche sono fondamentali per modellare fenomeni di proporzionalità inversa in fisica e economia!

Proprietà Comuni delle Coniche

Per verificare se un punto appartiene a una conica, sostituisci le sue coordinate nell'equazione. Se ottieni un'identità (0 = 0), il punto appartiene alla curva.

La posizione di una retta rispetto a una conica dipende dal discriminante Δ: se Δ > 0 la retta è secante (due punti di intersezione), se Δ = 0 è tangente (un punto), se Δ < 0 è esterna (nessun punto reale).

Per trovare le rette tangenti da un punto esterno, usa il fascio di rette y - y₀ = m$x - x₀$, sostituisci nell'equazione della conica e imponi Δ = 0. Per tangenti parallele a una retta data, usa y = mx + q e imponi la stessa condizione.

La formula di sdoppiamento permette di scrivere rapidamente l'equazione della tangente in un punto della conica: sostituisci x² con x₀x, y² con y₀y, x con $x₀+x$/2, y con $y₀+y$/2.

Metodo universale: Il controllo del discriminante funziona per tutte le coniche e ti permette di classificare rapidamente la posizione relativa!